Universit¨at Karlsruhe 9. Dezember 2005 Mathematisches Institut I.
PD Dr. Hannes Uecker Dipl.-Math. Borb´ala Fazekas
7. Tutorium - Analysis I. - WS 05/06
Aufgabe T32
Beweisen Sie, dass lim
n→∞
n
√
n! = ∞.
Aufgabe T33
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
a) ∞ X n=1 n! nn; b) ∞ X n=1 (n + 1)n nn+1 , c) ∞ X n=1 n + (−1)n n + 2 n2 . Aufgabe T34
Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt der beiden Reihen und berechnen Sie ihre Summe im Falle der Konvergenz: a) ∞ X n=0 (n + 1)qn und ∞ X n=0 qn (|q| < 1); b) ∞ X n=1 (−1)n+1 √ n und ∞ X n=1 (−1)n+1 √ n . Aufgabe T35
Sei (an)n∈N eine beschr¨ankte Folge reeller Zahlen und H die Menge ihrer H¨aufungspunkte.
Zeigen Sie, dass
a) lim supn→∞ an = sup H;
b) lim infn→∞ an= inf H.
Aufgabe T36
Sei (an)n∈Neine Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass (an) genau dann gegen a ∈ R konvergiert,
wenn lim sup n→∞ an = lim inf n→∞ an= a gilt. Aufgabe T37
Es seien A, B nichtleere, beschr¨ankte Teilmengen in R. Die Menge A + B, A − B und A · B sei definiert durch
(i) A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, (ii) A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B}, (iii) A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}.
Zeigen Sie oder widerlegen Sie folgende Aussagen: (i) sup(A + B) = sup A + sup B,
(ii) sup(A − B) = sup A − inf B, (iii) sup(A · B) = sup A · sup B.
