Einführung in die Roboterregelung (unvollständig)

Einf¨ uhrung in die Roboterregelung

Dieses Fach wurde bis 2013 unter dem Namen “Grundlagen intelligenter Roboter” gelehrt.

HINWEIS:Die Formelsammlung ist eine einfache Mitschrift, sehr unge- ordnet und kann grobe Fehler enthalten. Sie dient lediglich als ¨Uberblick zum Fach. Wenn jemand die FS erg¨anzen/¨uberarbeiten m¨ochte, einfach melden

1. Mathematik

R˙ e

= S

e

(t) · R(t) mit S e

(t) = S

e

(ω(t)) =







0 −ω_z ωy

ωz 0 −ω_x

−ω_yωx 0







Ableitung von₀R˙ e

= e

0R_m−1·_m−1R e m

2. Allgemeines

R¨aumliche Anordnung RAN=x1, x2, x3, ϕ1, ϕ2, ϕ3 Homogene Transformation _bT

e a=

"

R e

r 0^> s

#

∈R^4×4

Weltkoordinaten w=

"

r Ω

#

Gelenkkordinaten q

Frame-Konzept: jedes Objekt hat sein eigenes KOSY(Frame).

Richtungscosinusmatrix _AR e

B bzw. _AC e

B =







c_xx0 c_xy0 c_xz0 c_yx0 c_yy0 c_yz0 c_zx0 c_zy0 c_zz0







Redundant, da Basisvektoren orthogonal.

Self-Motion: Nur zus¨atzliche Freiheitsgrade werden bewegt, Effektor beh¨alt seine aktuelle RAN

holonom: System, welches sich lokal in alle Richtungen gleichzeitig bewegen kann

2.1. Transformation

Elementare Rotationsmatrizen (sind orthogonalR e

>=R e

−1):







1 0 0

0 cθ_x −sθ_x 0 sθ_x cθ_x













cθ_y 0 sθ_y

0 1 0

−sθ_y 0 cθ_y













cθ_z −sθ_z 0 sθ_z cθ_z 0

0 0 1





 Verkettung von Rotationen nicht kommutativ!R

e ges=R

e n· · ·R

e 2·R

e 1 RPY-Winkel:Roll(α), Pitch(β), Yaw(γ) umx, y, z-Weltachsen R

e

=R e

z(γ)·R e

y(β)·R e

x(α)

Eulersche WinkelΨ,Θ,Φ: Drehung um die aktuellenz, x⁰, z⁰⁰-Achsen.

R e

=R e

z(Ψ)·R e

x(θ)·R e

z(φ) Homogene Transformation_BT

e A=

"

BR e

A r⁰ f^> w

#

∈R^4×4 mit RotationR

e

, Translationr⁰, Verzerrungfund Skalierungw Inverse:_BT

e

−1 A =_AT

e B=

"

BR e

>

A −_BR e

>

A Br⁰ 0^> 1

#

hom. Translationsmatrix:_BT e

A=

"

E e

o⁰ 0^> 1

#

Matrixmultiplikation:

Von links nach rechts: Um Achse im aktuellen KOSY (Euler) Von rechts nach links: Um Achse im urspr¨unglichen KOSY (RPY)

2.2. Weltmodellierung

Ein Frame kann Bezugsystem f¨ur beliebig viele andere Frames sein aber darf selber nur an ein einziges Bezugsystem gebunden sein.

Effektortransforamtion₀T e E

2.3. Denavit-Hartenberg-Konvetion

Regeln, zum Aufstellen der einzelnen Frames:

1. zn-Achse ist Drehachse des Gelenksn+ 1umd Winkelθ_n+1 2. x_nist die gemeinsame Normale vonz_n−1zuz_n

3. Erg¨anzeynso, dass ein Rechtssystem entsteht.

Damit ergeben sich pro Gelenk nur 4 Parameter zur Bestimmung der RAN desn-ten KOSY im(n−1)-ten KOSY

rot(xn−1, αn), trans(xn−1, an), trans(zn−1, dn), rot(zn−1, θn) θ_nDrehwinkel/Translation um/entlangz_n−1

α_nVerdrehwinkel vonz_n−1nachz_numx_n−1

anMinimaler Abstand (gemeinsame Normale) zw.zn−1, znentlang xn

d_nVerschiebung der KOSY entlangz_n−1

3. Kinematik

Vorw¨artskinematik DIR-KIN w=f(q) R¨uckw¨artskinematik INV-KIN q=g(w) Translatorische Geschwindigkeit:v=^dr_dt Rotatorische Geschwindigkeit: 1.Ω˙ =_dt^d[Ψ,Θ, φ]

2. Drehwinkelgeschwindigkeitω

Weltkoordinatenwund Gelenkkoordinatenq 0T

e E(q) =

"

0R e

E(q) r(q) 0^> 1

#

Weltkoordinatenw=

"

r Ω

#

=f(q)

Analytisch:w˙=

"

˙ r Ω˙

#

=J e

f(q)q˙ Geometrisch:v˙=

"

˙ r

˙ ω

#

=J e

g(q)q˙ Bewegung von Gelenken:

0ω_m=₀ω_m−1+₀R e

m−1·ω_m−1,m

0r˙_m=₀r˙_m−1+₀r˙_m−1,m+₀ω_m−1×₀r_m−1,m

Prismatisches Gelenk Rotatorisches Gelenk 0ω_m−1,m=0 ₀ω_m−1,m= ˙Θm·₀z_m 0r˙_m−1,m= ˙G

e

m·₀z_{m−1 0}r˙_m−1,m=₀ω_m−1×r_m−1,m Vorw¨artsl¨osung R¨uckw¨artsl¨osung

KOSY w=f(q) q=g(w)

Geschw. w˙=J e

f(q)q˙ q˙=J e

−1 f (q)w˙ Momente τ=J

e

>(q)·F F= J e

>(q)−1

·τ

3.1. Gelenkmomente

τ=J

e

>(q)·F

3.2. Bahnplanung (Trajektorienplanung)

Eine Bahn sollte m¨oglichst weich, als mit geringen Ruck durchfahren werden.

StartpunktS, ZielpunktZ

DurchpunktDmuss mit definierter Geschwindigkeit exakt durchfahren werden.

ViapunktVmuss m¨oglichst nahe passiert werden.

Ubergangszeit¨ τ≥max(τq1, τq2,· · ·, τqn)

4. Manipulatordynamik

LagrangefunktionL=T(q,q)˙ −V(q) Euler-Lagrange:_dt^d _∂^∂L_˙

qi−^∂L

∂qi =Q_i

4.1. Modell in Gelenkkoordinaten (Normalform)

M f

(q)¨q+N(q,q) +˙ G(q) +F(q,q) =˙ U Tr¨agheitsmatrixM

f

, Kreiselkr¨afteN, Gravitationskr¨afteG, D¨ampfkr¨afte F, Steuerkr¨afteU

4.2. Modell in Weltkoordinaten

M f

w(q) ¨w+N_w(q,w) +˙ G_w(q) +F_w(q,w) =˙ U_Welt

5. Aktoren

5.1. Harmonic Drive Getriebe

Wave Generator(WG), Flexspline(FS), Circular-Spline(CS)

6. Sensoren

F¨ur innere Zustandsgr¨oßen: Gelenkwinkel Kontaktsensoren im Nahbereichd≈1 mm Ann¨aherungssensoren im Mittelbereichd <25 cm Abbildungssensoren im Fernbereichd >1 m

7. Appoximationstheorie

Approximationssatz von Stone-Weierstraß: In einem kompakten Intervall kann jede stetige Funktion beliebig genau durch Polynome angen¨ahert wer- den (Taylorreihe). Jede periodische stetige Funktion kann beliebig genau durch trigonometrische Funktionen angen¨ahert werden. (Fouriereihe) Fehler der Approximationf=O(xⁿ)

7.1. Interpolation

versucht diskrete Punkte durch eine stetige – und im besten Fall mehr- mals differenzierbare – Funktion zu verbinden. Meist ist das Ziel abprupte Uberg¨¨ ange “weicher” und “glatter” zu machen. Meist wird mit Polynomen interpoliert, da diese leicht zu differenzieren, zu integrieren und auszurech- nen sind. Meist wird zur Bestimmung das Taylorverfahren genutzt. Peri- odische Funktionen lassen sich leichter durch Fourierreihen in eine Summe aus Sinus und Cosinus entwickeln (Trigonometrische Interpolation). Um die Qualit¨at zu beurteilen, muss der Fehler der Approximation abgesch¨atzt werden.

7.2. Ausgleichsrechnung

versucht die Parameter einer bestimmten Funktion so zu w¨ahlen, dass die Funktion m¨oglichst gut diskrete Werte ann¨ahert. Meist wird die Methode der kleinsten Quadrate verwendet.

8. Technische Realisierung

8.1. Programmierung

Textuell: Geometriedaten werden am Rechnerterminal programmiert (Offline)

Grafisch: Textuell mit Simulator auf CAD-Datenbasis

Manuell: Langsames f¨uhren der Gelenke in einer Trainingsphase. RAN wird mitgespeichert (Online)

Sensoriell:Online Aktualisierung eines Bewegungsablaufs durch Sensor- daten.

Icon-basiert:?

8.2. Antriebskonzepte

dezentral: Motoren direkt an den Gelenken.

zentral: Motoren an der Basis, mechanische Kraf¨ubertragung zu den Gelenken.

8.3. Technische Praxis

Die kinematische Vorw¨artsl¨osung sollte mit einer Zykluszeit von 1 ms in Gleitkommadarstellung berechnet werden.

9. Regelungskonzepte

•Lage/Bahnregelung: Kontaktfrei

Vorsteuerung: Sollwerte f¨ur Geschwindigkeit und Beschleunigung.

•Kraft/Momentregelung: Kontakt mit Umgebung

•Hybridregelung: Bahn + Kraftregelung

•visuell/Kameragef¨uhrte Roboterregelung

10. Maschinelles sehen

Ortsfilterung mittels Faltung.

Frequenzfilterung durch Fouriertransformation

Kantendetektion mit Sobel-Operator (extrahiert beliebige Kantenrichtun- gen)

Zusammen mit Laplace Operator ¨Uberg¨ange finden.

Bildsegmentierung mit Schwellenwerttabfrage

Hough-Transformation: Globale Verbindungsanalyse, findet Geraden.

10.1. Bildbeschreibung durch Merkmale

Drehlageninvariante Merkmale ohne Bezugspunkt.

•ObjektumfangU=´ g(x, y) ds

•Objektfl¨acheA=˜

g(x, y) dxdy

•Lochanzahl, Lochfl¨ache

Mit Bezugspunkt: Schwerpunkt, Inkreis, Umkreis

10.2. Bildvergleich durch Template Matching

Drehlagenbestimmung

11. Praktikum

Planare Roboter mit Gelenkarmen.

Vorw¨artsl¨osung:





 rx ry φ





=





 cos(P

θ_i)an+...+ cos(θ₁)a₁ sin(P

θ_i)an+...+ sin(θ₁)a₁ Pθ_i







Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von Emanuel Regnath und Martin Zellner - Mail:info@latex4ei.de Stand: 26. Februar 2019 um 20:38 Uhr 1