Trigonometrische Funktionen
Definitionen am rechtwinkligen Dreieck (Winkel zwischen 0◦ und 90◦.)
sin(α)= Gegenkathete Hypothenuse cos(α)= Ankathete
Hypothenuse tan(α)= Gegenkathete
Ankathete = sin(α) cos(α) cot(α)= Ankathete
Gegenkathete = cos(α) sin(α)
Ziel: Aus Winkeln Strecken berechnen.
sin(α) = h
s → s= 20m
sin(40◦) ≈ 20m
0,64 = 31,25m
Bestimmung des Winkels bei gegebenem sin-Wert Tastesin−1 benutzen.
22. Oktober 2017
Bogenmaß
Umrechnung Grad ↔Bogenmaß
Wenn x das Bogenmaß eines Winkels α ist, dann gilt: x
2π = α 360◦ Grad Bogenmaß
0 0
90 π2
180 π
270 32π
360 2π
sin und cos am Einheitskreis
x 0 π4 π2 π 32π 2π
sin(x) 0 z 1 0 -1 0
cos(x) 1 z 0 -1 0 1
Eigenschaften Sinusfunktion
Die Sinus-Funktion ist punktsymmetrischzum Ursprung.
Nullstellen, Extremwerteu. Wendestellen s. Abbildung.
Periode = 2π.
Ableitung sin0(x)=cos(x)
Eigenschaften Cosinusfunktion
Die Cosinus-Funktion ist achsensymmetrischzur y-Achse.
Nullstellen, Extremwerteu. Wendestellen s. Abbildung.
Periode = 2π.
Ableitung cos0(x)=−sin(x)
22. Oktober 2017
Tangens tan(x)
Cotangenscot(x)
Verschiebung u. Streckung/Stauchung
F¨ur die allgemeine Gleichung einer Sinus-Funktion f(x) =a·sin(bx+c) +d gilt:
Amplitude: a Periode: 2π
b Verschiebung in x-Richtung: −c
b Verschiebung in y-Richtung: d
Aufgaben
Graph zeichnen Zeichne f(x) = 3sin(1
2x+ π
4)−1,5.
Berechne Schnittstellen mit x-Achse im Intervall[−2π,2π].
Nullstellen berechnen
Formel f¨ur Nullstellen der Funktion f(x) =sin(2x).
Funktionsgleichung aufstellen Wie lautet die Gleichung der Funktion
22. Oktober 2017
Aufgabe: Modellierung Sinusfunktion:
Die Punkte A und B sollen durch den Graph einer Sinusfunktion so verbunden werden, dass sich ein m¨oglichst “glatter“ Verlauf ergibt. Die Punkte haben sowohl in waagrechter als auch in senkrechter Richtung einen Abstand 4.
L¨osung:
In der “normalen Sinusfunktion“ f(x) =sin(x)gibt es einen solchen Verlauf zwischen 32π und2π:
Zwischen den markierten Punkten beim obigen sin besteht in waagrechter Richtung ein Abstand von π2 und in senkrechter Richtung ein Abstand von 1.
D.h. die Amplitude muss von 1 auf 4 vergr¨oßert werden, und aus dem Abstand π2 muss ein Abstand 4 werden. Letzteres bedeutet, dass sich die Periode von2π auf 16 erh¨ohen muss.
Generell gilt: Die Funktiony =sin(b·x) hat die Periode 2πb . Man muss alsob = π8 w¨ahlen.
Eine m¨ogliche L¨osung ist also die Funktion
f(x) = 4·sin(π8 ·x).
