Vektoren
Ein Vektor ist eine gerichtete, orientierte Strecke im Raum. Dabei werden diejenigen „Pfeile“
als gleich angesehen, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen. Vektoren besitzen Länge, Richtung und Orientierung. Zwei Vektoren sind gleich, wenn diese in Betrag, Richtung und Orientierung übereinstimmen. Der Vektor mit dem Betrag 0 heißt Nullvektor und wird mit~0bezeichnet. Dieser Vektor ist eindeutig bestimmt. Die so definierten Vektoren sind „freie“
Vektoren, d.h. der Anfangspunkt des Vektors ist beliebig.
Vektoren kann man durch algebraische Operationen miteinander verknüpfen.
• Addition :
Für~v, ~w∈R3 gilt:
~v+w~ =
vx vy
vz
+
wx wy
wz
=w~+~v= (vx+wx)~ex+ (vy+wy)~ey+ (vz+wz)~ez =
vx+wx vy +wy
vz+wz
Der Vektor~ex wird als Einheitsvektor inx-Richtung bezeichnet. Er sieht wie folgt aus:
~ ex=
1 0 0
Analog dazu ist~ey und~ez. Somit ergibt sich für die erste Komponente der Summe zweier Vektoren:
(vx+wx)~ex= (vx+wx)·
1 0 0
=
vx+wx 0 0
• Länge/Betrag eines Vektors : Für~v∈R3 gilt:
|~v|= q
vx2+vy2+v2z
• Subtraktion : Für~v, ~w∈R3 gilt:
~
v−w~ = (vx−wx)~ex+ (vy−wy)~ey+ (vz−wz)~ez =
vx−wx vy −wy
vz−wz
• Skalare Multiplikation : Fürα∈R und~v∈R3 gilt
α~v=αvxex+αvyey+αvzez =
αvx
αvy αvz
• Skalarprodukt : Für~v, ~w∈R3 gilt:
~v·w~ = (vx·wx) + (vy·wy) + (vz·wz) Eine alternative Definition ist:
~v·w~ =|~v| · |w| ·~ cos(ϕ)
Wobeiϕder eingeschlossene Winkel zwischen den Vektoren ist.
Man kann hier erkennen, dass zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander sind, wenn gilt:
~v·w~ = 0 Dacos(ϕ) = cos(90◦) = 0gilt.
• Der eingeschlossene Winkel zwischen Vektoren : Für~v, ~w∈R3 gilt:
ϕ= arccos
~v·w~
|~v| · |w|~
• Das Kreuzprodukt : Für~v, ~w∈R3 gilt:
~v×w~ =
vx
vy vz
×
wx
wy wz
=
vywz−vzwy
vzwx−vxwz vxwy−vywx
• Graßmann-Identität (BAC-CAB-Regel) : Für~a,~b, ~c∈R3 gilt:
~a×(~b×~c) =~b·(~a·~c)−~c·(~a·~b)
Trigonometrische Funktionen
Betrachten wir ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seitenaundbdes Dreiecks seien die Katheten.
Die Seitec sei die Hypothenuse. So sind die Winkelfunktionen gegeben durch:
Sinus eines Winkels= Gegenkathete des Winkels Hypothenuse
Kosinus eines Winkels= Ankathete des Winkels Hypothenuse
Tangens eines Winkels= Gegenkathete des Winkels Ankathete des Winkels Tangens eines Winkels= Sinus eines Winkels
Kosinus eines Winkels
Abbildung 1: http://elsenaju.info/Rechnen/Rechtwinkliges-Dreieck-4.png
Machen wir uns dies am Beispiel des Winkelsα klar.
sin(α) = b c cos(α) =a c tan(α) = b a Durch Pythagoras gilt zudem:
a2+b2=c2 ⇒ c=p a2+b2
Somit kann man die Seiten des Dreiecks auch nur mit der Hypothenuse und einer Winkelfunk- tion beschreiben:
a=c·cos(α) a=c·sin(β) b=c·sin(α) b=c·cos(β) c=c·
q
cos2(α) + sin2(α) Durch die letzte Gleichung erkennt man, dass:
cos2(x) + sin2(x) = 1
Der Sinus und der Kosinus sind außerdem periodische Funktionen. Bedeutet, dass sich die Funktionen nach einem bestimmten Intervall wiederholen.
Abbildung 2: https://www.3htam.de Es gilt zudem:
sin(α+β) = sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α) cos(α+β) = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β) Wennα=β ist, ist:
cos(2α) = cos2(α)−sin2(α)
= 2 cos2(α)−1 Daraus folgt:
cos(α) =
rcos(2α) + 1 2
Polarkoordinaten
Für bestimmte Situationen ist es einfacher, anstatt kartesische Koordinaten, andere Koordina- ten zu betrachten. Wenn man sich zum Beispiel eine Kreisbewegung anschauen möchte, ist es sehr aufwendig, dies in kartesischen Koordinaten zu machen. Eine bessere Alternative bieten da die Polarkoordinaten.
Punkte in Polarkoordinatendarstellung werden durch einen Abstand zum Ursprung (Radius) und einem Winkel zwischen Radius undx-Achse beschrieben.
Hat man nun einen Punkt in kartesischen Koordinaten, so kann man mit dem Satz des Py- thagoras herleiten, dass
r =p
x2+y2
gilt. Und durch die eben kennengelernten trigonometrischen Funktionen, ergibt sich tan(ϕ) = y
x ⇒ ϕ= tan−1 y
x
Dabei ist hiertan−1 die Umkehrfunktion des Tangens. Man sagt zutan−1 auch Arkustangens.
Man kann auch Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen. Hierbei gilt:
x=r·cos(ϕ) y=r·sin(ϕ)
Differenziation
Die Idee einer Ableitung besteht darin, die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt herauszufinden. Die Steigung zwischen zwei Punktena und a+b einer Funktionf(x) ist gegeben durch:
s(a, b) = f(a+b)−f(a)
a+b−a = f(a+b)−f(a) b
Wenn man nun die Steigung an genau einem Punktabestimmen möchte (also die Ableitung), muss unserb „gegen 0 gehen“, da bin unserem Fall ja gerade der Abstand zwischen Punkt a und Punkta+bwar. Also:
f0(a) = lim
b→0
f(a+b)−f(a) b
Wir machen uns dies am Beispiel fürf(x) =x2 einmal klar.
f0(x) = lim
b→0
f(x+b)−f(x) b
= lim
b→0
(x+b)2−x2 b
= lim
b→0
x2+ 2xb+b2−x2 b
= lim
b→0
2xb+b2 b
= lim
b→02x+b
= 2x
Man sieht, dass Polynome, also Funktionen der Formf(x) =xn, wie folgt abgeleitet werden:
f0(x) =n·xn−1 Kommen wir nun zu den bekannten Ableitungsregeln:
(a) Konstante Funktionen:
Seic∈Rkonstant und f(x) =c, dann ist:
f0(x) = 0 (b) Faktorregel:
Seia∈Rund f(x) eine differenzierbare Funktion:
(a·f(x))0 =a·f0(x) (c) Summenregel:
Seienf(x) undh(x)differenzierbare Funktionen:
(f±h)0 =f0±h0 (d) Produktregel:
Seienf(x) undh(x)differenzierbare Funktionen:
(f ·h)0=f0·h+f·h0 (e) Quotientenregel:
Seienf(x) undh(x)differenzierbare Funktionen:
f h
0
= h·f0−f·h0 h2 (f) Kettenregel:
Seienf(x) undh(x)differenzierbare Funktionen:
(f(h(x)))0=f0(h(x))·h0(x) (g) Logarithmische Ableitungsregel:
Aus der Kettenregel folgt für die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktionf: (ln(f))0 = f0
f (h) Ableitung trigonometrischer Funktionen:
d
dxsin(x) = cos(x) d
dxcos(x) =−sin(x)
Die Bezeichnung dxd ist auch eine übliche Schreibweise der Ableitung einer Funktion nach der Variable x.
Integralrechnung
Veranschaulichung des Integrals
Der Grundgedanke des Integrals liegt darin, eine Fläche S unter einer Funktion f(x) in den Grenzenaund b zu bestimmen.
Abbildung 3: https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung
Die Fläche kann man annähern, indem man das Intervall a, b in gleichgroße Stücke ∆x aufteilt und dieses∆xmit dem Funktionswert f(xi)an der Stellexi, welches in dem Intervall a,b ist, multipliziert. Man erhält somit ein Rechteck mit der Fläche
Ai =f(xi)·∆x
Wenn man nun alle Rechtecke in dem Intervall a, b aufsummiert, bekommt man eine gute Annäherung an die eigentliche FlächeS.
S≈A=
N
X
i
f(xi)·∆x
Wenn man nun die Breite ∆x der Rechtecke „gegen 0 laufen lässt“, also infinitessimal klein werden lässt, so gilt:
S =A= lim
∆x→0 N
X
i
f(xi)·∆x
= Z b
a
f(x)dx
Stammfunktion
Gegeben sei eine Funktionf(x). Gesucht ist eine FunktionF(x) so, dass d
dxF(x) =f(x)
Die FunktionF(x) heißt Stammfunktion. Man spricht auch von dem unbestimmten Integral.
Die suche nach einer Stammfunktion ist also formal das Gegenteil des Differenzierens.
Die Stammfunktion ist nur bis auf eine beliebige Konstante C eindeutig bestimmt. Sei also F(x) eine Stammfunktion. Dann ist auchF(x) +C eine Stammfunktion, da
d
dx(F(x) +C) = d
dxF(x) + d
dxC = d
dxF(x) =f(x) Integrationstechniken
Die partielle Integration erhalten wir aus der Produktregel beim Ableiten:
d
dx(u(x)·v(x)) = du dxv+ dv
dxu⇔d(uv) =vdu+udv Wir sortieren um und integrieren. Man erhält:
Z b a
udv=uv |ba− Z b
a
vdu
Für verschachtelte Integrationen braucht man eine Regel, ähnlich zur Kettenregel beim Ab- leiten. Wir veranschaulichen dies an einem Beispiel. Was gibt:
Z π/2 0
sin(2x+ 1)dx
Wir substituieren y = 2x+ 1 und somit dx = 12dy. Die neuen Grenzen ergeben sich durch 2(0) + 1 = 1und 2(π2) + 1 =π+ 1. Durch einsetzen erhält man:
Z π
2
0
sin(2x+ 1)dx= Z π+1
1
1
2sin(y)dy=−1
2cos(y)
π+1 1
Zusammenfassung
Um die Fläche S unter der Funktion f(x) in den Grenzen a und b zu bestimmen, muss man zuerst die Stammfunktion
Z
f(x)dx=F(x) +C
bestimmen. Um dann den eigentlichen Wert zu bestimmen, muss man nun noch die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen und voneinander abziehen.
Z b a
f(x)dx=F(b) +C−F(a)−C=F(b)−F(a)
Beispiel
Seif(x) = cos(x) und g(x) =ex. Dann gilt:
Z
f(x)dx= Z
cos(x)dx= sin(x) Z
g(x)dx= Z
exdx=ex Z 5
1
x2dx= 1
3x3 5
1
= 1 353−1
313 ≈41,33
Komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahlzhat im allgemeinen die folgende Form z=a+bi,mit a, b∈R
Nun müssen wir deminoch Eigenschaften zuordnen. Dies macht man, indem man i2 =−1
setzt. Gelegentlich sieht man auch weitere Definitionen, wie etwa i = √
−1 allerdings ergibt sich dort folgender Widerspruch
−1 =i2 =i·i=√
−1·√
−1 =p
(−1)2=√ 1 = 1
Wir nennen a den Realteil und b den Imaginärteil. In einem Koordinatensystem mit x der reellen Achse undy die imaginäre Achse kann man dies wie folgt darstellen
Auf den komplexen Zahlen C sind auch wie in den reellen Zahlen R gewisse Operationen/
Verknüpfungen erlaubt. Diese sind:
1) Addition 2) Subtraktion 3) Multiplikation 4) Division
Seiz= 3 + 2i und seinw=−1−2i. Dann gilt
z+w=w+z= (3 + 2i) + (−1−2i) = (3−1) + (2−2)i= 2
z−w= (3 + 2i)−(−1−2i) = (3 + 1) + (2 + 2)i= 4 + 4i= 4(1 +i)
z·w=w·v= (3 + 2i)·(−1−2i) =−3−6i−2i+ 4 = 1−8i
Bei der Division machen wir uns zunächst zunutze, dass nach der dritten binomischen Formel (a−b)(a+b) =a2−b2 gilt.
z
w = 3 + 2i
−1−2i = 3 + 2i
−1−2i·−1 + 2i
−1 + 2i = (3 + 2i)(−1−2i)
(−1−2i)(−1 + 2i) = 1−8i 5 = 1
5−8 5i
Diekomplex konjugierte Zahl einer komplexen Zahlz=a+biwirdz∗ oderz¯geschrieben, und beschreibt die Spiegelung an der reellen Achse. Es gilt also:
z∗=a−bi Die komplexe Exponentialfunktion
Man kann die komplexe Zahl auch im Exponenten zu einer Basis zulassen. Insbesondere ist für uns von Interesse, wenn die Basis die eulersche Zahleist.
Eine wichtige Darstellung der komplexen Exponentialfunktion liefert die eulersche Gleichung eiφ = cos(φ) +isin(φ)
Insbesondere folgt damit für die komplexe Darstellung des Sinus und des Cosinus cos(φ) = eiφ+e−iφ
2
sin(φ) = eiφ−e−iφ 2i
Differentialgleichungen in der Physik
Differentialgleichungen sind im allgemeinen Gleichungen, für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen.
Der freie ungedämpfte Oszillator
Ein an einer Feder hängender Körper mit der Massem hat eine Ruhelage beix= 0, in der die Schwerkraft gerade durch die rücktreibende Federkraft kompensiert wird. Beix= 0ist daher die Gesamtkraft Null. Wird nun m aus der Ruhelage bei x = 0 ausgelenkt, so tritt mittels Hookeschen Gesetz eine rücktreibende Kraft
F =−kx
auf, die den Massenpunkt wieder zurück in die Ruhelage zu bringen versucht, wobei k die Federkonstante ist. Somit erhält man eine Bewegungsgleichung, da die KraftF auch als F = m·adargestellt wird.
F =m·a=−kx
aist hierbei die Beschleunigung, also die zweite zeitliche Ableitung vonx. Daraus folgt:
m·d2x
dt2 =−kx Nun kann man diese Gleichung umstellen:
m·d2x
dt2 +kx= 0 Zudem kann man noch durchm teilen:
d2x dt2 + k
mx= 0 Nun nennt man mk =ω20. Daraus folgt:
d2x
dt2 +ω20x= 0
Diese Gleichung ist die Schwingungsgleichung desharmonischen Oszillators. Die Lösung dieser Differentialgleichung kann man über das Charakteristische Polynom bestimmen. Es gilt:
d2x
dt2 +ω20x= 0 λ2+ω02= 0
Diese quadratische Gleichung kann man nun lösen. Die Lösungen fürλlauten:
λ1 = + q
−ω02= +iω0 λ2 =−
q
−ω02=−iω0 Somit hat die Schwingungsgleichung die Lösungen:
x1(t) =c1eλ1t=c1eiω0t x2(t) =c2eλ2t=c2e−iω0t
Die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung (man nennt die Differen- tialgleichunghomogen, weil die Störfunktion gleich Null ist, also die rechte Seite der Gleichung gleich Null ist), ist eine Linearkombination beider Lösungen, also:
x(t) =c1eiω0t+c2e−iω0t
Die Lösung muss eine reelle Funktion sein. Daher folgt für die komplexen Konstanten c1 = c;c2 =c∗, sodass unsere Lösungsfunktion für die Schwingungsamplitude
x(t) =ceiω0t+c∗e−iω0t mit c=a+ib
wird. Die reellen Konstanten müssen aus den Randbedingungen des spezifischen Schwingungs- problems bestimmt werden.
Beispiel
Wenn die Masse m zur Zeit t = 0 durch x = 0 mit einer Geschwindigkeit v(0) = ˙x(0) = v0
läuft, dann ergibt sich:
x(0) =ceiω0·0+c∗e−iω0·0
=c+c∗
=a+ib+a−ib
= 0!
⇒2a= 0 ⇒a= 0
⇒x(t) =−2bsin(ω0t)
Somit hat man mit der ersten Anfangsbedinung (x(0) = 0) eine Bedingung der Konstanten ermittelt, und zwar, dass a = 0 sein muss. Nun betrachtet man die zweite Randbedingung (v(0) = ˙x(0) =v0).
˙
x(t) =iω0ceiω0t−iω0c∗e−iω0t
˙
x(0) =iω0c−iω0c∗
=iω0(c−c∗)
=iω0(a+ib−(a−ib))
=i22ω0b
=−2ω0b
⇒b=− v0 2ω0
Somit hat man die Differentialgleichung mit den Randbedingungen x(0) = 0 und v(0) = v0 gelöst. Die explizite Lösung lautet nun:
x(t) = v0
ω0sin(ω0t)
Der freie gedämpfte Oszillator
Lässt man die Masse des freien Oszillators in einer Flüssigkeit schwingen, so kann man die Reibung nicht mehr vernachlässigen und zur rücktreibenden FederkraftF =−kxkommt noch die Stokessche Reibungskraft:
FR=−6πηr·v für eine mit der Geschwindigkeit v= ˙x bewegte Kugel hinzu.
Ganz allgemein können wir Schwingungen, bei denen die ReibungskraftFR=−b·x˙ entgegen- gerichtet zum Geschwindigkeitsvektor und proportional zum Geschwindigkeitsbetrag |v| ist, durch die Differentialgleichung
m·x¨=−k·x−b·x˙ beschrieben. Mit den Abkürzungen
ω02= k
m, 2γ = b m erhalten wir die allgemeine Bewegungsgleichung
¨
x+ 2γx˙ +ω02x= 0
der gedämpften Schwingung mit der Dämpfungskonstanten γ. Wir machen wie beim unge- dämpften Oszillator den Ansatz des Charakteristischen Polynoms. Somit bekommen wir die Bestimmungsgleichung:
λ2+ 2γλ+ω20 = 0
Dies ist wieder eine quadratische Gleichung, welche man einfach lösen kann:
λ1,2 =−γ± q
γ2−ω02
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist nun wieder die Linearkombination aus beiden Lösungen:
x(t) =c1·eλ1t+c2·eλ2t
=c1·e
−γ+q γ2−ω20
t+c2·e
−γ−q γ2−ω02
t
=c1·e−γt·e
q γ2−ω02t
+c2·e−γt·e−
q γ2−ω20t
=e−γt
c1·e
q γ2−ω20t
+c2·e−
q
γ2−ω02t
Man muss nun mehrere Fälle betrachten.
1) γ < ω0 (schwache Dämpfung):
Mit der Abkürzung ω2 =ω02−γ2 wird:
λ1,2 =−γ± q
γ2−ω02
=−γ± q
(−1)·(ω20−γ2)
=−γ±p (−1)·
q
(ω02−γ2)
=−γ±i·√ ω2
=−γ±iω
Die Lösung muss wieder reellwertig sein. Somit gilt wie oben c1 = c, c2 = c∗. Dadurch erhalten wir die Lösung:
x(t) =c·eλ1t+c∗·eλ2t
=c·e(−γ+iω)t+c∗·e(−γ−iω)t
=c·e−γt·eiωt+c∗e−γt·e−iωt
=e−γt
c·eiωt+c∗·e−iωt
Erinnern wir uns an die Exponentialdarstellung des Kosinuns, welche lautet:
cos(ωt) = eiωt+e−iωt 2 Somit gilt:
x(t) =e−γt
c·eiωt+c∗·e−iωt
= 2|c| ·e−γt·cos(ωt+ϕ)
=Ae−γtcos(ωt+ϕ) mitA= 2|c|und ϕ= tan−1Im(c)
Re(c)
.
Diese Gleichung stellt eine gedämpfte Schwingung dar, deren Amplitude A·exp(−γt) ex- ponentiell abklingt. Die Schwingung ist in der unteren Abbildung dargestellt. Dabei gelten
0 1 2 3 4 5
t 10.0
7.5 5.0 2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
x(t)
gedämpfte Schwingung, = 0 gedämpfte Schwingung, = 3 /2 Einhüllende
Abbildung 4: Gedämpfte Schwingung mit Dämpfungskonstante γ = 1, Kreisfrequenzω = 10, Amplitude A= 10 und einmalφ= 0 (blau) und einmal φ= 3π2 .
für die blaue Schwingung die Randbedingungen x(0) = A und x(0) =˙ v0, wie man dem Graphen entnehmen kann. Leitet man:
x(t) =A·e−γtcos(ωt)
einmal zeitlich ab, so bekomman man die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit,
also:
˙
x(t) =−Aγe−γt·cos(ωt) +Ae−γt[−ωsin(ωt)]
=−Aγe−γt·cos(ωt)−Ae−γt[ωsin(ωt)]
=−Aγe−γt·
cos(ωt) +ω
γ sin(ωt)
Definiert man nun v0 =−A·γ, so gilt:
v(t) =v0e−γ
cos(ωt) +ω
γ sin(ωt)
Merke: Die Kreisfrequenzω=p
ω02−γ2 der gedämpften Schwingung bei gleicher Rückstell- kraft ist kleiner als die der ungedämpften Schwingung. Die Frequenzverschiebung wächst mit steigender Dämpfung.
2) γ > ω0 (starke Dämpfung):
Daraus folgt für die Koeffizienten:
λ1,2=−γ± q
γ2−ω20
=−γ±α mitα=p
γ2−ω20.
Diese Koeffizienten sind nun reell. Die allgemeine Lösung lautet daher:
x(t) =e−γt
c1·eαt+c2·e−αt Mit den Anfangsbedinungen x(0) = 0und x(0) =˙ v0 ergibt sich:
x(0) =e−γ0
c1·eα0+c2·e−α0
= 1·[c1·1 +c2·1]
=c1+c2
= 0!
⇒c1 =−c2 Außerdem:
˙
x(t) =−γe−γt
c1eαt+c2e−αt
+e−γt
c1αeαt−c2αe−αt
=e−γt
−γ c1eαt+c2e−αt
+ c1αeαt−c2αe−αt
⇒x(0) =˙ e−γ·0
−γ c1eα·0+c2e−α·0
+ c1αeα·0−c2αe−α·0
= 1·[−γ(c1+c2) + (c1α−c2α)]
Wir wissen von der ersten Randbedingung, dass c1 =−c2 gilt. Daraus folgt:
˙
x(0) =v0=c1α−c2α
=α(c1−c2)
⇒c1−c2= v0
α
Somit haben wir wieder eine spezielle Lösung für diese speziellen Randbedingung berechnet.
Diese lautet:
x(t) = v0
2αe−γt
eαt−e−αt
Der Sinus hyperbolicus kann auch durch Exponentialfunktionen beschrieben werden, es gilt:
sinh(αt) = 1
2 eαt−e−αt Daraus folgt:
x(t) = v0
αe−γtsinh(αt)
Merke: Die „Schwingung“ besteht aus einer einzigen Auslenkung, die für t → ∞ langsam gegen Null geht. Man nennt diesen Fall auch Kriechfall, weil die Amplitude nach Erreichen ihres Maximums nur sehr langsam gegen Null „kriecht“.
0 10 20 30 40 50
t 0.00
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
x(t)
Abbildung 5: Auslenkungx(t) des gedämpften Oszillators für den Kriechfall:γ = 10,ω = 1
Erzwungene Schwingungen
Wird das obere Ende einer Feder nicht fest montiert, sondern durch eine periodisch wirken- de Kraft Fext = F0cos(ωt) auf- und abbewegt, so wirkt auf die Masse m (durch die Feder übertragen) eine zusätzliche Kraft. Die Bewegungsgleichung heißt daher:
m·x¨=−kx−bx˙+F0cos(ωt) welche mit den Abkürzungen:
ω02 = k
m; γ = b 2m
in die inhomogene Differentialgleichung (sie istinhomogen, da jetzt die Störfunktion ungleich Null ist.)
¨
x+ 2γx˙ +ω02x= F0
m ·cos(ωt)
übergeht.
Die allgemeine Lösung einer solchen inhomogenen linearen Differentialgleichung setzt sich zu- sammen aus derallgemeinen Lösung der homogenen plus einer speziellen Lösung der inhomo- genen Gleichung. Sie muss daher die Form:
x(t) =xhom(t) +xinhom(t)
=A1e−γt·cos(ω1t+ϕ1) +A2cos(ωt+ϕ) haben. Wobei ω1 =p
ω02−γ2 die Frequenz der freien gedämpften Schwingung ist (schwache Dämpfung).
Für genügen lange Zeiten t 1/γ (also nach dem Einschwingvorgang) wird die Amplitude A1e−γt des ersten Terms so klein, dass wir sie gegenüber dem zweiten Term vernachlässigen können.
Der zweite Term hängt von der Frequenzωder äußeren Kraft ab, die ihre Schwingungsfrequenz dem System aufzwingt (deshalb erzwungene Schwingung).
Der zweite Term gibt daher den durch die äußere periodische Kraft bewirkten stationären Schwingungszustand an, während die Überlagerung
x(t) =A1e−γt·cos(ω1t+ϕ1) +A2cos(ωt+ϕ) für Zeiten t≤1/γ den Einschwingvorgang beschreibt.
Der stationäre Zustand
Wir betrachhten nun den stationären Zustand der erzwungenen Schwingungen, bei dem die gedämpfte Eigenschwingung des Systems bereits abgeklungen ist. Deshalb könnte man den Ansatz:
x(t) =A2·cos(ωt+ϕ)
machen, der als zwei frei zu bestimmende Parameter die AmplitudeA2 und die Phasenverschie- bungϕder erzwungenen Schwingung enthält. Wir machen nun aber einen komplexen Ansatz, da dieser schneller und eleganter ist:
z(t) =A·eiωt
Somit ergibt dich die inhomogene Differentialgleichung von oben zu:
¨
z+ 2γz˙+ω02z= F0 m ·eiωt Bestimmen wir nun die zeitlichen Ableitungen vonz
z(t) =A·eiωt
˙
z(t) =iωA·eiωt
¨
z(t) = (i)2ω2A·eiωt
=−ω2A·eiωt
und setzten diese in die Differentialgleichung ein:
¨
z+ 2γz˙+ω02z= F0 m ·eiωt
−ω2A·eiωt+ 2γiωA·eiωt+ω20A·eiωt= F0
m ·eiωt (−ω2+ 2γiω+ω02)·Aeiωt= F0
m ·eiωt (−ω2+ 2γiω+ω20)·A= F0
m
A= F0/m (−ω2+ 2γiω+ω20)
= F0/m
(2γiω+ (ω02−ω2))
Nun bedient man sich einem guten Trick. Man möchte nichts komplexes im Nenner stehen haben, also multipliziert man den komplex konjugierten Nenner als „gedachte Eins“ an das Ergebnis dran. Somit steht im Nenner das Betragsquadrat dieser komplexen Zahl und im Zähler der komplex konjugierte Nenner multipliziert mit dem vorherigen Zähler. Also:
A= F0/m (2γiω+ (ω02−ω2))
= F0/m
(2γiω+ (ω02−ω2))·(−2γiω+ (ω02−ω2)) (−2γiω+ (ω02−ω2))
= F0/m(−2γiω+ (ω02−ω2)) (2γω)2+ (ω02−ω2)2
Die Amplitude ist eine komplexe Zahl, als hat sie die Form A = a+ib= |A| ·eiϕ. Mit dem Realteil:
Re(A) =a= F0/m(ω02−ω2)
(2γω)2+ (ω02−ω2)2 =A2cos(ϕ) und dem Imaginärteil:
Im(A) =b= −2(F0/m)γω
(2γω)2+ (ω02−ω2)2 =A2·sin(ϕ) Die Phase bestimmt man durch:
tan(ϕ) = Im(A) Re(A) Daraus folgt:
tan(ϕ) = b a
= −2(F0/m)γω
(2γω)2+ (ω02−ω2)2 ·(2γω)2+ (ω02−ω2)2 F0/m(ω20−ω2)
= −2(F0/m)γω F0/m(ω02−ω2)
= −2γω ω20−ω2
Merke: Die Phasenverschiebungϕ(ω)einer erzwungenen Schwingung mitγ >0wächst fürω ≤ ω0 von 0 bis −π2 , für ω≥ω0 von −π2 bis −π. Sie ist negativ, d.h. die erzwungene Schwingung
„hinkt“ der Erregerschwingung nach ! Sie hängt von der Dämpfung γ, der Erregerfrequenz ω und ihrer Lage zur Eigenfrequenzω0 ab. Für ω= 0 istϕ= 0, für wachsende Werte vonω wird die Verzögerung ϕ < 0 der erzwungenen Schwingung immer größer, erreicht bei ω =ω0 den Wertϕ=−π/2 und für ω→ ∞ den maximalen Wert ϕ=−π.
Abbildung 6: Phasenverschiebung ϕ zwischen erzwungener und Erregerschwingung für ver- schiedene Dämpfungen. Quelle: Demtröder, Experimentalphysik 1.
Nun möchte man den Betrag der Amplitude bestimmen. Es gilt:
|A|=p
[Re(A)]2+ [Im(A)]2
=p a2+b2
= s
F0/m(ω20−ω2) (2γω)2+ (ω02−ω2)2
2
+
−2(F0/m)γω (2γω)2+ (ω20−ω2)2
2
= F0/m
p(ω02−ω2)2+ (2γω)2
Merke: Die Amplitude der erzwungenen Schwingung hängt ab
• von der Amplitude Fm0 der äußeren Kraft
• von der Dämpfungγ
• von der Frequenz ω der Erregerschwingung und der Eigenfrequenz ω0 des erregten Sys- tems.
Weiter lässt sich anmerken, dass nur der Imaginärteil dauernd Energie verbraucht, die von der treibenden Kraft geliefert wird. Der Realteil führt zu einer periodischen Energieaufnahme und Abgabe.
Abbildung 7: Komplexe Darstellung der erzwungenen Schwingung mit a = Re(A) und b = Im(A). Quelle: Demtröder, Experimentalphysik 1.
Die Wellengleichung
Eine Wellengleichung ist einepartielleDifferentialgleichung. Eine partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält, also nicht nur die Ableitung nach zum Beispiel der Zeit enthält, sondern gleichzeitig auch eine Ableitung nach zum Beispiel der Position z enthält. In der Wellengleichung ist dies der Fall. Wir haben eine harmonische Schwingung, aber gleichzeitig auch eine translationsbewegung in eine bestimmte Richtung.
Wir suchen nun eine Funktion, die von der Zeittund der Position zabhängt und gleichzeitig die Wellengleichung:
∂2y(z, t)
∂z2 = 1
v2 ·∂2y(z, t)
∂t2 löst.
Eine Lösung dieser Gleichung ist:
y(z, t) =y0·cos(z−vt+φ)
=y0·cos(kz−ωt+φ)
Dabei isty0 die Amplitude,zdie Position,ωdie Winkelfrequenz undk= 2πλ der Wellenvektor.
λ ist die Wellenlänge, also der Abstand ∆z zwischen zwei äquivalenten Punkten z1 und z2, für die sich das Argument der Kosinusfunktion um2π unterscheidet, für die die Auslenkungen y(z1, t) = y(z2, t) zur gleichen Zeit also gleich sind. Diese Welle wird auch ebene Welle in z-Richtung genannt, da die Auslenkung nicht von xoder y abhängt, sondern nur vonzund t.
Durch einsetzen kann man sich leicht vergewissern, dass diese Lösung wirklich korrekt ist, und zwar genau dann, wenn:
v = ω k = λ
T
gilt, mit T = 2πω. Diese Beziehung für die Geschwindigkeit lässt sich auch darüber herleiten, dass(kz−ωt) =const. gelten muss. Eine Funktion ist konstant, wenn die zeitliche Ableitung
gleich Null ist. Also:
kz−ωt=const.
⇒ ∂
∂t[kz−ωt]= 0!
= ∂(kz)
∂t −∂(ωt)
∂t
=k·∂z
∂t −ω
Da ∂z∂t die zeitliche Ableitung einer Position ist (Definition der Geschwindigkeit), gilt:
k·∂z
∂t −ω= 0 k·v−ω= 0 k·v=ω
v= ω k
Wir haben schon weiter oben gesehen, dass Schwingungen auch durch komplexe Funktionen beschrieben werden können. Dies bedeutet, dass sowohl Realteil als auch Imaginärteil der komplexen Funktion:
eiωt= cos(ωt) +isin(ωt) Lösungen der Schwingungsgleichung sind.
Genauso lassen sich harmonische Wellen in komplexer Form als:
y(z, t) =C·ei(ωt−kz)+C∗·e−i(ωt−kz) darstellen, was äquivalent ist zu:
y(z, t) =A·cos(ωt−kz) +B·sin(ωt−kz)
wobei A = C+C∗ und B =i(C −C∗). Häufig schreibt man verkürzt einfach die komplexe Amplitude:
y(z, t) =C·ei(ωt−kz)
deren Real- und Imaginärteil dann Darstellungen der reellen Welle sind.
Zusammenfassung
Jede der oben beschriebenen Darstellungen einer harmonischen Welle beschreibt
• am festen Ortz=z0 eine zeitlich periodische harmonische Schwingung:
y(z0, t) =A·cos(ωt−kz0) =A·cos(ωt−ϕ) mit der PeriodeT = 2π/λund der Phase ϕ=kz0
• zum festen Zeitpunktt=t0 eine räumlich periodische Funktion y(z, t0) =A·cos(ωt0−kz) =A·cos(ϕ−kz)
mit der Wellenlängeλ= 2π/k und der Anfangsphase ϕ=ω·t0 für z= 0.
