Trigonometrische Funktionen

UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE Institut f¨ur Analysis

HDoz. Dr. P. C. Kunstmann

Sommersemester 2008

Formelsammlung

Trigonometrische Funktionen

e^iϕ = cos(ϕ) +isin(ϕ), ϕ∈R

e^z = e^x(cosy+isiny), z=x+iymitx, y∈R sinz = _2i¹(e^iz−e^−iz), z∈C

cosz = ¹₂(e^iz+e^−iz), z∈C

sin(x±y) = sin(x) cos(y)±cos(x) sin(y), x, y∈R cos(x±y) = cos(x) cos(y)∓sin(x) sin(y), x, y∈R

sin²(x) = ¹₂ 1−cos(2x)

, x∈R

cos²(x) = ¹₂ 1 + cos(2x)

, x∈R

sin(^π₆) = ¹₂, sin(^π₄) =¹₂√

2, sin(^π₃) =¹₂√ 3 cos(^π₆) = ¹₂√

3, cos(^π₄) =¹₂√

2, cos(^π₃) =¹₂ Asin(ωt) +Bcos(ωt) =√

A²+B²sin(ωt+ϕ) mit sinϕ=^√_A2^B+B²,cosϕ=^√_A2^A+B²,tanϕ=^B_A

Laplacetransformation von Funktionen

t^{n d t} _sn+1^n! , n∈N₀

e^att^{n d t} _(s−^n!_a)n+1, n∈N₀, a∈C

sin(at) ^{d t} _s2+a^a2, a∈R

cos(at) ^{d t} _s2+a^{s 2}, a∈R

tsin(at) ^{d t} _(s2^2as+a²)², a∈R tcos(at) ^{d t} _(s^s2²+a^−a22)², a∈R e^btsin(at) ^{d t} _(s−b)^a2+a², a∈R, b∈C e^btcos(at) ^{d t} _(s−^s−b_b)2+a², a∈R, b∈C

(f∗g)(t) ^{d t} L{f}(s)·L{g}(s)

f⁰(t) ^{d t} sL{f}(s)−f(0+), fstetig undf⁰st¨uckweise stetig

f⁽ⁿ⁾(t) ^{d t} sⁿL{f}(s)−sⁿ⁻¹f(0+)−. . .−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0+), n∈N, f⁽ⁿ⁾ st¨uckw. stetig (−t)ⁿf(t) ^{d t} _ds^dnnL{f}(s), n∈N

Es seif: [0,∞)→Cst¨uckweise stetig mit|f(t)| ≤M e^γt,t≥0, f¨ur einM≥0 undγ∈R. D¨ampfungsregel: F¨ura∈Cgilt

L{e^atf(t)}(s) =L{f}(s−a), Re s > γ+Re a.

Verschiebungsregel: F¨ura >0 gilt

L{σ(t−a)f(t−a)}(s) =e^−asL{f}(s), Re s > γ.

Anfangswertsatz: Fallsf(0+) := lim

t→0+f(t) existiert, so gilt

s→∞limsL{f}(s) =f(0+).

Endwertsatz: Existiertf(∞) := lim

t→∞f(t), dann gilt

s→lim0+sL{f}(s) =f(∞).

1

Distributionen

Die DistributionenS, T ∈D0seien exponentiell beschr¨ankt mit positivem Tr¨ager.

Ableitung von Distributionen: (DT)(ϕ) =−T(ϕ⁰), ϕ∈D. Translationen Definiere f¨ur Funktionenf:R→Cundb∈R

τbf:R→C, (τbf)(t) :=f(t−b).

Die umbnach rechts verschobene DistributionτbT∈D⁰ist gegeben durch (τbT)(ϕ) =T(τ₋bϕ), ϕ∈D.

Faltung von Distributionen: Die Faltung vonT undSist definiert durch T∗S(ϕ) :=T(t7→S(τ₋tϕ)), ϕ∈D.

Es gelten

L{DⁿT}(s) = sⁿL{T}(s), n∈N

L{τbT}(s) = e^−bsL{T}(s), b≥0 undτbT =T∗δb

L{δb}(s) = e^−bs, b≥0

d

dsL{T}(s) = L{(−t)T}(s) L{S∗T}(s) = L{S}(s)·L{T}(s)

Komplexe Partialbruchzerlegung

Seien P(s), Q(s) komplexe Polynome mit GradP(s) < GradQ(s) = n. Dann existieren verschiedene a1, a2, . . . , am∈Cundk1, k2, . . . , km∈Nmitk1+k2+. . .+km=nund

Q(s) = (s−a1)^k1·(s−a2)^k2·. . .·(s−am)^km. Es gibt dann komplexe Koeffizientenα_l^(j)(j= 1, . . . , m,l= 1, . . . , kj) so, dass

P(s)

Q(s) = α⁽¹⁾1

s−a1

+ α⁽¹⁾2

(s−a1)²+. . .+ α⁽¹⁾_k1 (s−a1)^k1 + + α⁽²⁾1

s−a2

+ α2⁽²⁾

(s−a2)²+. . .+ α⁽²⁾_k2 (s−a2)^k2+ +. . .+

+ α^(m)1

s−am

+ α^(m)2

(s−am)²+. . .+ α^(m)_km (s−am)^km. Im Fallm=nundk1=k2=. . .=km= 1 gilt

α₁^(j)=

(s−aj)P(s) Q(s)

_s=a

j

, j= 1,2, . . . , n.

2

Laurententwicklung und Residuenberechnung

SeiU ⊆Coffen, α∈ U undF : U\ {α} →Cholomorph aufU \ {α}. Dann existieren (eindeutig bestimmte) Koeffizientenak∈C,k∈Z, mit

F(z) =

∞

X

k=−∞

ak(z−α)^k, 0<|z−α|< R,

f¨ur jedesR >0 mit{z∈C:|z−α|< R} ⊆U. Das Residuum vonF inαist durch

res(F;α) =a₋1

gegeben. BesitztF inαeinen h¨ochstensn-fachen Pol (n∈N), dann ergibt sich

F(z) = X∞ k=−n

ak(z−α)^k

und es gilt:

res(F;α) = 1 (n−1)!

dⁿ⁻¹ dzⁿ⁻¹

(z−α)ⁿF(z) z=α

.

IstF(z) =^G(z)_H(z) mitG, H:U→Cholomorph undG(α)6= 0,H(α) = 0,H⁰(α)6= 0, so gilt

res(F;α) = G(α) H⁰(α).

Residuensatz: Es seienG⊆Coffen und konvex undγ eine einfach geschlossene, positiv orientierte Kurve inG. Die FunktionF:G→Csei inGholomorph mit Ausnahme endlich vieler Singularit¨atenα1, . . . , αminnerhalb vonγ. Dann gilt:

1 2πi

Z

γ

F(z)dz=

m

X

k=1

res(F;αk).

Fouriertransformation

F¨urf:R→CmitR∞

−∞|f(t)|dt <∞ist f(t)^{d t}Ff(ω) :=

Z _∞

−∞

e^−iωtf(t)dt, ω∈R.

Umkehrformel: Istf stetig undR_∞

−∞|Ff(t)|dt <∞, dann gilt f(t) = 1

2π Z ∞

−∞

e^iωtFf(ω)dω.

3

f(t) ^{d t} Ff(−ω) f(−t) ^{d t} Ff(−ω)

f(at) ^{d t} _|a|¹Ff(ω/a), a∈R\ {0}

1

|a|f(t/a) ^{d t} Ff(aω), a∈R\ {0} f(t−a) ^{d t} e^−iωaFf(ω), a∈R

f⁽ⁿ⁾(t) ^{d t} (iω)ⁿFf(ω), n∈N (−it)ⁿf(t) ^{d t} (Ff)⁽ⁿ⁾(ω), n∈N

f∗g(t) ^{d t} Ff(ω)·Fg(ω), g:R→Cmit R∞

−∞|g(t)|dt <∞ f gerade ⇐⇒ Ff gerade

fungerade ⇐⇒ Ff ungerade

Lemma von Riemann-Lebesgue: Im FallR_∞

−∞|f(t)|dt <∞gilt

|ωlim|→∞

Ff(ω) = 0.

Satz von Plancherel: IstR_∞

−∞|f(t)|²dt <∞, dann gilt Z _∞

−∞|f(t)|²dt= 1 2π

Z_∞

−∞|Ff(ω)|²dω .

Potenzreihen

(x+y)ⁿ = Pn k=0

n k

x^n−ky^k=xⁿ+nxⁿ⁻¹y+. . .+nxyⁿ⁻¹+yⁿ, x, y∈R, n∈N sin(z) = P_∞

k=0(−1)^{k z}_(2k+1)!^2k+1 =z−^z6³+^z_5!⁵−. . . , z∈C cos(z) = P_∞

k=0(−1)^{k z}_(2k)!^2k = 1−^z2²+^z_4!⁴−. . . , z∈C e^z = P∞

k=0z^k

k!= 1 +z+^z₂²+^z₆³+. . . , z∈C ln(x) = P∞

k=1(−1)^{k+1 (x−}_k^1)k = (x−1)−^(x−2¹⁾²+^(x−₃¹⁾³−. . . , x∈Rmit 0< x <2

1

1−z = P_∞

k=0z^k= 1 +z+z²+. . . , z∈Cmit|z|<1 arctan(x) = P_∞

k=0(−1)^{k x}_2k+1^2k+1=x−^x3³+^x₅⁵−. . . , x∈Rmit|x|<1 sinh(x) = P_∞

k=0 x^2k+1

(2k+1)!=x+^x₆³+^x_5!⁵+. . . , x∈R

cosh(x) = P_∞

k=0 x^2k

(2k)!= 1 +^x₂²+^x_4!⁴+. . . , x∈R

Integration

Partielle Integration: Sind die Funktionenf, g: [a, b]→Cstetig differenzierbar, so gilt Z b

a

f⁰(t)g(t)dt=f(t)g(t)

b t=a−

Zb

a

f(t)g⁰(t)dt .

Substitutionsregel: Istf : [a, b]→Cstetig undg: [α, β]→[a, b] stetig differenzierbar mitg(α) =a,g(β) =b, dann gilt

Z b

a

f(t)dt= Zβ

α

f(g(τ))g⁰(τ)dτ .

4