Die charakteristische Zeitkonstante ergibt sich indem die Punkte gegen grafisch dargestellt werden

Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen SS 2005 Teil Systemanalyse

Dieter Imboden

¨Ubung 4, vom 25.05.2005 R ¨uckgabe am 02.06.2005

Aufgabe 1 - L¨osung:Algen im Fischteich 1. Modellgleichung:

(1)

L¨osung:

! #"

(2) 2.

%$'&)( gm^+* , ^{( ,}

.-/ gm^+* . Die charakteristische Zeitkonstante ergibt sich indem die Punkte ^0!132456

2 gegen grafisch dargestellt werden. Anschliessend wird eine Gerade so eingezeichnet, dass alle Punkte m¨oglichst nahe an dieser liegen (best fit). Wegen der Messfehler ist nicht zu erwarten, dass die Punkte genau auf einer Geraden liegen. Die Steigung der angen¨aherten Geraden ist ⁸⁷ . Nach diesem Rezept ergibt sich^:9<; d.

3.

=:

>

?

(3)

A@

B3CD3

(4)

C

> 7 ? (5)

@

> 7 ? C

(6) 4. Die Station¨arkonzentration dieser modifizierten Gleichung ^C soll also 200 gm^+* ergeben. Dar-

aus folgt^{:> ? 7 ; E& /} m^* d^GF .

5. Die neue charakteristische Zeitkonstante ist ^@ und damit die 5% Anpassungszeit ^{H5I@ 9KJ @ 9}

$ML

; d. Nach dieser Zeit ist die Konzentration auf ca. 202 gm^+* gesunken.

Aufgabe 2L¨osung

N=O

OP?O

(7)

Q O > 7 ?+O

(8)

Q @O Q O 87

(9)

PSfrag replacements1.

RTS6UWV

XZY8['\+]M^`_ XZY8['\+]M^=a

X R

[cbG_d]M^_ X R

[cb+a8]M^a

^ _ ^ a

2. Bilanzgleichungen:

e

F

fhg

6icje

1 (10)

eDO

Q O F

Q

@O O

(11)

3. lknmnonDO)5pkn3q

O

rQ)O

7 Q @O q

Fs rQ

F

Q)O8

7

rQ

@F Q @O 6tWu

4. Die Koeffizientenmatrix mit ^{87 E(ALv(} a^GF ,^{Q F E(ALw$} a^GF ,^{Q O E&} a^GF (also ^{87 yx Q F x Q O} )

z {

|Q

F 87

(

Q O |Q O 87

E}

9 {

|Q

F (

Q O |Q O } (12)

hat die Eigenwerte ^{~ F .Q F} und^{~ O .Q O} . Betragsm¨assig ist ^{~ F} zwanzig mal kleiner als ^{~ O} . Also bestimmt^{~ F} und damit die Wasseraustauschrate^{Q F} des ersten Sees das zeitliche Verhalten des Gesamtsystems. Beachten Sie, dass die Abbaurate ⁸⁷ gegen ¨uber der Wasseraustauschrate

Q F vernachl¨assigt werden kann, da ⁸⁷ um einen Faktor 20 kleiner als^{Q F} ist.