Trigonometrische Funktionen

(1)

Analysis und Stochastik im Schulunterricht VU 2, 702770

Mechthild Thalhammer WS 2020/21

Trigonometrische Funktionen

Literaturquelle. Skriptum von Peter Wagner¹zur VorlesungMathematik A. Kapitel I.2. Funktionen

Kapitel I.2.4. Trigonometrische Funktionen Kapitel I.2.6. Arcus-Funktionen

Vgl. auch Kapitel II.7. Die Technik des Differenzierens Vgl. auch Kapitel III.11.4 Substitution

Vgl. auch Kapitel III.11.7 Winkelfunktionen substituieren Vgl. auch Kapitel III.11.9 Hyperbelfunktionen

Vgl. auch Kapitel IV.16 Die komplexen Zahlen

1Siehe http://mat1.uibk.ac.at/wagner/skripten.html

(2)

Überblick.

Elementare trigonometrische Funktionen.

• Sinus

sin :R−→[−1, 1] .

• Cosinus

cos :R−→[−1, 1] .

Reduktion auf Sinus mittels (Graph: Shift des Sinus um¹₂πnach links) cosx=sin¡

x+¹₂π¢

, x∈R, beispielsweise (Merkregel)

cos 0=1=sin¡₁

2π¢ .

• Tangens tan :©

x∈R: cosx6=0ª

=R\©

±¹₂π,±³₂π, ...ª

−→R:x7−→tanx= sinx cosx.

• Cotangens cot :©

x∈R: sinx6=0ª

=R\©

0,±π,±2π, ...ª

−→R:x7−→cotx= 1

tanx=cosx sinx. Zugehörige Kehrwertfunktionen.

• Kosekans

csc :©

x∈R: sinx6=0ª

−→R:x7−→cscx= 1 sinx.

• Sekans

sec :©

x∈R: cosx6=0ª

−→R:x7−→secx= 1 cosx. Zugehörige Umkehrfunktionen.

• Natürliche Einschränkung des Sinus (Definitionsbereich so gewählt, daß Sinus streng monoton steigend und damit injektiv, geeignete Einschränkung des Wertebereiches sichert Surjektivität)

sin :£

−¹₂π,¹₂π¤

−→[−1, 1] . Arcus-Sinus

arcsin : [−1, 1]−→£

−¹₂π,¹₂π¤ .

(3)

• Natürliche Einschränkung des Cosinus (Definitionsbereich so gewählt, daß Cosinus streng monoton fallend und damit injektiv, geeignete Einschränkung des Werteberei- ches sichert Surjektivität)

cos :£ 0,π¤

−→[−1, 1] . Arcus-Cosinus

arccos : [−1, 1]−→£ 0,π] .

• Arcus-Tangens

arctan :R−→¡

−¹₂π,¹₂π¢ .

• Arcus-Cotangens

arccot :R−→¡ 0,π¢

. Hyperbelfunktionen.

• Sinus hyperbolicus

sinh :R−→R:x7−→sinhx=¹₂¡

e^x−e⁻^x¢ .

• Cosinus hyperbolicus

cosh :R−→£ 1,∞¢

:x7−→coshx=¹₂¡

e^x+e^−x¢ .

• Tangens hyperbolicus

tanh :R−→¡

−1, 1¢

:x7−→tanhx= sinhx

coshx =e^x−e⁻^x e^x+e^−x .

• Cotangens hyperbolicus coth :R\ {0}−→¡

− ∞,−1¢

∪¡ 1,∞¢

:x7−→tanhx=coshx

sinhx =e^x+e^−x e^x−e^−x. Zugehörige Kehrwertfunktionen.

• Kosekans hyperbolicus

• Sekans hyperbolicus Zugehörige Umkehrfunktionen.

• Area-Sinus hyperbolicus

arsinh :R−→R.

(4)

• Natürliche Einschränkung des Cosinus hyperbolicus (Definitionsbereich so gewählt, daß Funktion streng monoton steigend und damit injektiv, geeignete Einschränkung des Wertebereiches sichert Surjektivität)

cosh :£ 0,∞¢

−→£ 1,∞) . Area-Cosinus hyperbolicus

arcosh :£

1,∞)−→£ 0,∞¢

.

• Area-Tangens hyperbolicus

• Area-Cotangens hyperbolicus

(5)

Theoretischer Hintergrund.

(1) Radiant, Grad. Winkel werden oft in Grad gemessen, zweckmäßiger ist jedoch die An- gabe in Radiant (Umfang des Einheitskreises 2πrad = 360°, Angabe der Länge des Kreis- bogens).

(2) Einführung mittels rechtwinkligem Dreieck. Üblicherweise werden die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus für Argumente 0<x < ^π₂ (gemessen in Radiant, entspricht Winkeln 0°<α<90°) mit Hilfe rechtwinkliger Dreiecke eingeführt

sinx=Gegenkathete

Hypothenuse, cosx= Ankathete Hypothenuse,

vgl. Abbildung (Skriptum, Seite 15). Für die Funktionen Tangens und Cotangens ergeben sich die Relationen

tanx= sinx

cosx=Gegenkathete

Ankathete , cotx=cosx sinx = 1

tanx= Ankathete Gegenkathete.

(3) Spezialisierung mittels Einheitskreis. Betrachtet man speziell Dreiecke im ersten Qua- dranten des Einheitskreises, deren Hypothenusen die Länge 1 haben, so ergibt sich

1. Quadrant des Einheitskreises, 0≤x≤^π₂:

(sinx=Gegenkathete , cosx=Ankathete ,

vgl. Abbildung (Skriptum, Seite 16). Weiters kann man die Werte des Tangens und Co- tangens ablesen (ähnliche Dreiecke).

Erweiterung auf reelle Argumente. Für Argumente 0≤x≤2π(bzw.−π≤x≤π) werden Sinus und Cosinus durch Spiegelung fortgesetzt, etwa für den Sinus

π

2≤y≤π, 0≤π−y≤^π₂: siny=sin(π−y) oder

π

2≤y=x+^π₂≤π: siny=sin¡ x+^π₂¢

=cosx, π≤z=x+π≤2π: sinz=sin¡

x+π¢

= −sinx.

Die Erweiterung auf Argumentex∈Rerfolgt schließlich mittels Periodizität, d.h. Sinus und Cosinus sind periodische Funktionen mit Periode 2π, etwa für den Sinus

0≤x<2π, y=x+2kπ,k∈Z: siny=sin¡

x+2kπ¢

=sinx.

(4) Satz von Pythagoras. Aus dem Satz von Pythagoras folgt der Zusammenhang (Gleichheit von Funktionen)

sin²+cos²=1 ,

(6)

d.h. für alle Argumente 0<x<^π₂ bzw.x∈Rgilt (sinx)²+(cosx)²=1.

Spezielle Funktionswerte. Mittels des Satzes von Pythagoras lassen sich spezielle Werte des Sinus und Cosinus auf einfache Art und Weise berechnen (gleichschenkliges Dreieck fürx=¹₄πund somit 2 (sinx)²=1, Ergänzung auf gleichwinkliges und damit gleichseiti- ges Dreieck fürx=¹₃πund folglich (sinx)²+¹₄=1).

x sinx cosx

0 0 1

1

6π ¹₂ ¹₂p 3

1

4π ¹₂p

2 ¹₂p 2

1

3π ¹₂p 3 ¹₂

1

2π 1 0

(5) Gerade, ungerade Funktionen. Wegen

sin(−x)= −sinx, cos(−x)=cosx, x∈R, ist die Sinus- bzw. Cosinusfunktion eine ungerade bzw. gerade Funktion.

(6) Additionstheoreme. Additionstheoreme für Sinus und Cosinus ermöglichen die Darstel- lung von Funktionswerten wie etwa sin(x+y), cos(x+y) durch sinx, cosx, siny, cosy. Aus sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny, cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny, x,y,∈R, folgt insbesondere

sin(2x)=2 sinxcosx, cos(2x)=(cosx)²−(sinx)², x∈R.

Die Relation für die Sinusfunktion kann durch elementare geometrische Überlegungen (vgl. Skriptum, Seite 17) abgeleitet werden. Das Additionstheorem für die Cosinusfunk- tion ergibt sich dann mit Hilfe der grundlegenden Relationen cosξ =sin¡

ξ+¹₂π¢ und sin(ξ+π)= −sinξ

cos(x+y)=sin¡

x+y+¹₂π¢

=sinxcos¡

y+¹₂π¢

+cosxsin¡

y+¹₂π¢

=sinxsin¡ y+π¢

+cosxcosy

= −sinxsiny+cosxcosy.

Nebenbemerkung. Ein (im Nachhinein) einfacher rechnerischer Nachweis beruht auf der komplexen Exponentialfunktion bzw. der Eulerschen Formel e^iξ=cosξ+i sinξund

(7)

verwendet, daß Sinus bzw. Cosinus ungerade bzw. gerade Funktionen sind sin(x+y)=_2i¹¡

e^i(x⁺^y)−e⁻^i(x⁺^y)¢

=_2i¹¡

e^ixe^iy−e^−ixe^−iy¢

=_2i¹

³¡

cosx+i sinx¢ ¡

cosy+i siny¢

−¡

cosx−i sinx¢ ¡

cosy−i siny¢´

=sinxcosy+cosxsiny.

(7) Monotonie und Arcus-Funktionen. Die Einschränkung der elementaren trigonometrischen Funktionen auf jene Bereiche, wo sie streng monoton und somit injektiv sowie surjektiv sind, sichert die Existenz der inversen Funktionen, der sogenannten Arcus- Funktionen (vgl. oben). Die Monotonieeigenschaften übertragen sich auf die Inverse, etwa folgt für eine streng monoton wachsende Funktion f :D→R:x7→y=f(x)

¡f(x₁)−f(x₂)¢ ¡

x₁−x₂¢

>0 ⇐⇒ ¡

y₁−y₂¢ ¡

f⁻¹(y₁)−f⁻¹(y₂)¢

>0 . Spezielle Werte des Arcus-Sinus und Arcus-Cosinus sind

arcsin(−1)= −¹₂π, arcsin 0=0 , arcsin 1=¹₂π, arccos(−1)=π, arccos 0=¹₂π, arccos 1=0 .

Dies sieht man aus den Graphen oder beispielsweise mit Hilfe einfacher Überlegungen Einschränkung sin : [−¹₂π,¹₂π]→[−1, 1] ,

Inverse arcsin : [−1, 1]→[−¹₂π,¹₂π] ,

sin◦arcsin=id auf [−1, 1] , arcsin◦sin=id auf [−¹₂π,¹₂π] , arcsin(−1)=y ⇐⇒ −1=sin¡

arcsin(−1)¢

=siny, y∈[−¹₂π,¹₂π] ⇐⇒ y= −¹₂π. Weitere Beispiele.

arccos¡

− ¹₂¢

, arcsinx+arccosx, arctan¡ tanx¢

, arctanx+arctany. Mittels geeigneter Substitution ergibt sich beispielsweise

arcsin◦sin=id auf [−¹₂π,¹₂π] , arccos◦cos=id auf [0,π] , x=siny=cos¡

y−¹₂π¢

=cos¡₁

2π−y¢

, x∈[−1, 1] , y∈£

−¹₂π,¹₂π¤

, ^π₂−y∈[0,π] , arcsinx+arccosx=arcsin¡

siny¢

+arccos¡ cos¡₁

2π−y¢¢

=y+¹₂π−y=¹₂π. (8) Abschätzung, Grenzwert. Es gilt (vgl. Graph)

|sinx| ≤ |x|, x∈R.

(8)

Mit Hilfe elementarer geometrischer Überlegungen und der Anwendung des Ein- schließungssatzes folgert man (beachte sinx=x+O^¡^x³^¢^{, cos}^x=1+O^¡^x²^¢, vgl. Taylor- reihenentwicklung)

limx→0

sinx

x =1 , lim

x→0

cosx−1 x =0 .

(9) Stetigkeit der Sinusfunktion.Um die Stetigkeit der Sinusfunktion sin :R→Rzu zeigen, ist für Elementex∈Rnachzuweisen, daß Folgendes gilt

∀ε>0 ∃δ>0 ∀ξ∈Rmit|x−ξ| <δ: ¯

¯sinx−sinξ¯

¯<ε. Mittels der Transformation

µα β

¶

=¹₂

µ1 1

1 −1

¶ µx ξ

¶

⇐⇒

µx ξ

¶

=

µ1 1

1 −1

¶ µα β

¶

und Anwendung des Additionstheorems, der obigen Abschätzung |siny| ≤ |y| sowie

|siny| ≤1 bzw.|cosy| ≤1 füry∈Rergibt sich

¯

¯sinx−sinξ¯

¯=¯

¯sin(α+β)−sin(α−β)¯

¯

=¯

¯sin(α+β)+sin(β−α)¯

¯

=2¯

¯cosα¯

¯

¯sinβ¯

¯

=2¯

¯cos^x+ξ₂ ¯

¯

¯sin^x−ξ₂ ¯

¯

≤¯

¯x−ξ|, womit die Behauptung für die Wahlδ=εfolgt.

Stetigkeit weiterer trigonometrischer Funktionen.Wegen cosx=sin¡

x+¹₂π¢

fürx∈Rfolgt aus der Stetigkeit der Sinusfunktion sofort die Stetigkeit der Cosinusfunktion. Aus grundlegenden Resultaten erhält man damit auch die Stetigkeit der Tangens- bzw. Cotangens- funktion sowie der Arcus-Funktionen (auf dem jeweiligen Definitionsbereich).

(10) Differenzierbarkeit und erste Ableitung der Sinusfunktion. Zur Bestimmung der ersten Ableitung der Sinusfunktion verwendet man wiederum das Additionstheorem sowie elementare Grenzwerte (vgl. oben)

d

dx sinx=lim

ξ→0

sin(x+ξ)−sinx ξ

=lim

ξ→0

sinxcosξ+cosxsinξ−sinx ξ

=sinxlim

ξ→0

cosξ−1

ξ +cosxlim

ξ→0

sinξ ξ

=cosx, x∈R.

(9)

Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und ihrer Inversen. Mittels Resultaten zur Differenzierbarkeit wie der Quotientenregel und der Regel zur Ableitung der Inversen zeigt man (auf dem jeweiligen Definitionsbereich)

d

dx sinx=cosx, _dx^d cosx= −sinx,

d

dx tanx=1+¡

tanx¢2

= 1

(cosx)², _dx^d cotx= −1+¡

cotx¢2

= − 1 (sinx)²,

d

dx arcsinx= 1

p1−x², _dx^d arccosx= − 1 p1−x²,

d

dx arctanx= 1

1+x², _dx^d arccotx= − 1 1+x². Höhere Ableitungen von Sinus und Cosinus. Allgemein gilt

d^2k

dx^2k sinx=(−1)^ksinx, ^d^2k+1

dx^2k+1 sin=(−1)^kcosx, x∈R,

d^2k

dx^2k cosx=(−1)^kcosx, _dx^d^2k2k⁺+1¹ cos=(−1)^k⁺¹sinx, x∈R. Auswerten beispielsweise beix=0 führt auf

d^2k dx^2k

¯

¯x=0sinx=0 , ^d^2k+1

dx^2k+1

¯

¯x=0sin=(−1)^k,

d^2k dx^2k

¯

¯x=0cosx=(−1)^k, ^d^2k+1

dx^2k⁺¹

¯

¯x=0cos=0 .

(11) Potenzreihendarstellungen für Sinus und Cosinus. Aus den obigen Überlegungen ergibt sich mittels Taylorreihenentwicklungen schließlich die bekannte Potenzreihendarstel- lung (Entwicklungspunkt Null)

sinx= X∞ k=0

(−1)^k

(2k+1)!x^2k⁺¹=x−¹₆x³+₁₂₀¹ x⁵+O^¡^x⁷^¢^, cosx=

X∞ k=0

(−1)^k

2k! x^2k=1−¹₂x²+₂₄¹ x⁴+O^¡^x⁶^¢^.

Dies führt auch (zunächst formal) auf den Zusammenhang von Sinus und Cosinus mit der komplexen Exponentialfunktion (Euler’sche Formel, Formel von Moivre)

e^ix=cosx+i sinx, x∈R.

(12) Integrierbarkeit, Stammfunktion. Als stetige Funktionen sind Sinus und Cosinus insbesondere (Riemann) integrierbar. Stammfunktionen ergeben sich aus den angegebenen Relationen für die erste Ableitung. Vgl. Skriptum (Technik des Integrierens).

(10)

(13) Vorsicht! Klammersetzung ist wesentlich sinx, sin(2x) , sin¡

x²¢ , ¡

sinx¢2

,

zum besseren Verständnis sollte man in der Schule eventuell keine Kurzschreibweisen verwenden

sin²x=¡ sinx¢2

.