Physik Formelsammlung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Physik

I. Physikalische Gr¨ oßen und Einheiten

I.1. Messgenauigkeit und Messfehler

Systematischer Fehler: Abw. einer Messung von ihrem Erwartungswert Statistischer Fehler: Entstehung durch zuf¨allige Abweichungen Arithmetischer Mittelwert:x=_n¹

n P i=1

xi

Standardabweichung:s=σ= s

1 n−1

n P i=1

(x_i−x)²

Standardabweichung mit TR:s_Rechner= v u u u t

n P i=1

x²_i−¹ n(

n P i=1

x_i)

n−1 Normalverteilung/Gauß-Funktion:g(x) = 1

σ√

2πexp(−(x−x)² 2σ² ) N¨aherungsweise gilt:

•68(95)[99.8]% aller Messwerte haben eine Abweichung<±1(2)[3]σ vom Mittelwert.

I.2. Konstanten

Elektrische Feldkonstanteε₀= 8.85·10^{12 C2} N m2

Vakuumlichtgeschwindigkeitc₀= 299792458^m_s ≈3·10^8m_s GravitationskonstanteG= 6,67·10^{−11N m}_kg²

Boltzmannkonstantek_B= ^R

NAv = 1.381·10⁻²³

Plank’sches Wirkungsquantum h = 6.626 · 10⁻³⁴J s

= 4.136·10⁻¹⁵eV s AvogadrokonstanteN_A= 6.022·10⁻²³_mol¹

GaskonstanteR=N_A·k_B=C_p(mol)−C_v(mol)= 8.314_mol·K^J

I.3. Trigonometrische Funktionen

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π ³₂π 2π sin 0 ¹₂ ^√1

2

√ 3

2 1 0 −1 0

cos 1

√ 3 2

√1 2

1

2 0 −1 0 1

tan 0

√ 3

3 1 √

3 ∞ 0 −∞ 0

I.4. Quadratische Gleichung

x₁,₂=^−b±

q b2−4ac

2a oderP_1,2= ^−p₂ · qp

2 2−q

II. Klassische Mechanik

II.1. Kinematik

momentane Geschwindigkeit:v=. r mittlere Geschwindigkeit:v_m= ^∆r_∆t II.1.1 Galilei Transformation Gilt nur f¨urv << c

x⁰=x−utundt⁰=tmit der Geschwindigkeitudes bewegten Systems→^dx_dt= ^dx_dt⁰+u

Transformation erleichtert Bezugssystem mit konstanter Geschwindigkeit

→Berechnung im Schwerpunktsystem II.1.2 Eindimensionale Bewegungen Mittlere Beschleunigung:a=^dv_dt

Gleichf¨ormige, geradlinige Bewegung:x(t) =v0t+c

Gleichf¨ormig beschleunigte Bewegung:x(t) =¹₂a₀t²+v₀t+x₀ Momentane Geschwindigkeit:v=^dr_dt

II.1.3 Zweidimensionale Bewegungen

Unabh¨angige Bewegungen in den einzelnen Raumrichtungen Schiefer Wurf: Berechnung von z(x) durch Eliminieren von t:

x(t) =v_0xt⇒t=_v^x 0x z(x) =−¹

2g(_v^x 0x)²+^v_v^0z

0xx=− ^g 2v2 x0

x²+tanθx

II.2. Dynamik f¨ ur Punktmassen

II.2.1 Schiefe Ebene Gewichtskraft:F_G=mg Normalkraft:F_N=mgcosα

Hangabtriebskraft:F_H=F_A=mgsinα Reibung: K¨orper steht, fallsF_Haft=F_Hang kritischer Neigungswinkel:tanα=µ_h II.2.2 Kreisbewegung

Winkelφ= ^s_r, mit Bogenl¨anges, Radiusr

Kreisfrequenzω= ^dφ_dt= ^2π_T = 2πf, mit UmlaufdauerT, Frequenzf Krummlinige Bewegung:a= ^dv_dt=a_t+a_zp, mit Tangentialbeschl.a_t

II.3. Kr¨ afte, Arbeit, Energie, Leistung

II.3.1 Kraft

F¨urm_t6=const:F=m_tdt^dv+v_dt^d,_t Kr¨afte werden vektoriell addiert:Fges=

n P i=1

F_i

Gravitationskraft:F_G=−G^m1m2 r2

12

, mitG= 6,67·10^{−11N m2} kg2

Zentripetalkraft:F_Z=m^v_r² =mω²r Federkraft (Hooke’sches Gesetz):F_F =−kx mittlere Kraft:|<F>|=

∆p

∆t =

m(vE−vA)

∆t Coulombkraft:F=_4πε¹

0 Q1Q2

r2

Reibungskr¨afte allgemein:F_R=µF,z.B. Haft-, Gleit- und Rollreibung K¨orper beginnt zu rutschen, wennµ_H≥tanθ

Luftwiderstand:F_W= ¹₂ρc_WAv², mitρ: Luftdichte II.3.2 Arbeit

Generell:W=´_r2

r1F drbzw.W=F scosα Spannarbeit an einer Feder:W=¹₂k(x−x_a)² II.3.3 Energie

Energieerhaltung: Grundprinzip:E_vorher=E_nachher potentielle Energie:E_pot=mgh

kinetische Energie:E_kin= ¹₂mv² Gesamte Rotationsenergie:E_rot= P^N

i=1 1

2∆m_ir_i⊥² ω² II.3.4 Leistung

P=^dW_dt =FV= ^dE_dt

II.4. Scheinkr¨ afte

ZentrifugalkraftF_f=−F_z, Kompensation zur Zentripetalkraft CorioliskraftF_c=ma_c= 2mv×w

II.4.1 St¨oße

Impuls:p=mv,F=. p

II.4.2 Inelastischer Stoß

Massen bilden gemeinsame Masse:v⁰₁=v₂⁰=v⁰ II.4.3 Elastischer Stoß

Fallm₁=m₂:v⁰₁=v₂, v⁰₂=v₁

Fallm1=m2, v16= 0, v₂= 0:v⁰₁= 0, v⁰₂=v1 Fallm₁6=m₂:v_1,end= _m ¹

1 +m2 (m₁−m₂)v_1,anf+ 2m₁v_2,anf II.4.4 Drehungen

Drehmoment:M=r×F Drehimpuls:L=r×p Tr¨agheitsmoment:J=

n P i=1

m_iR²_i=´ Vr²_⊥ρdV

Satz von Steiner:J=J_S+M d², Bei bel. Achse A: Summe vomJ_S der Rotation durch Schwerpunkt +M d²von Schwerpunkt um A E_kin(∆m_i) =¹₂∆m_iv²_i=¹₂∆m_ir²_i⊥ω²

Gesamte Rotationsenergie: Erot = lim N→∞(

N P i

1

2∆mir²_i⊥ω²) = 1

2ω²´ Vr²_⊥dm

F¨ur ein Teilchensystem:J=P i

mir²_i⊥⇒Erot=¹₂J ω²

II.5. Dynamik des starren K¨ orpers

MassenschwerpunktRs=_M¹ P

i m_ir_i

II.5.1 Tr¨agheitsmomente Drehachse ist K¨orperachse:

Vollzylinder:J=¹₂mgesr² Zylindermantel:J=mgesr² Hohlzylinder:J=¹₂mges(r²₁+r²₂) Drehachse durch Mittelpunkt⊥K¨orperachse:

Zylindermantel:J=¹₂mgesr²+₁₂¹mgesl² Vollzylinder:J=¹₄m_gesr²+₁₂¹m_gesl²

D¨unner Stab:J= ₁₂¹m_gesl²(Drehachse durch Mittelpunkt) D¨unner Stab:J= ¹₃m_gesl²(Drehachse durch ein Ende) D¨unne Kugelschale:J=²₃m_gesr²(Drehachse durch Mittelpunkt) Massive Kugel:J=²₅m_gesr²(Drehachse durch Mittelpunkt) Massiver Quader:J= ₁₂¹m_ges(a²+b²)(Drehachse durch Oberfl¨ache) Masse des Zylindermantel:M≈2πRhdρ

Energieerhalt. rollender Zylinder:Epot=Ekin,translation+E_rotation→ mgh= ¹₂mv²_s+¹₂J ω²;s=rα, v=rω

II.6. Planetenbewegung

1. Keplersches Gesetz: Planetenbahnen sind Ellipsen um Stern in einem der beiden Brennpunkte

2. Keplersches Gesetz: In gleicher Zeit wird die gleiche Fl¨ache an einer Bahn aufgespannt

dA

dt = ¹₂rvsinα= ¹₂r×v= ¹₂m|L| ⇒Der Drehimpuls ist zeitlich konstant

3. Keplersches Gesetz: ^T 12 T2 2

= ^a 31 a3 2

mit T: Umlaufzeit, a: Große Halbachse

III. Wellenlehre und Optik

III.1. Schwingungen

Erzwungen: AmplitudeA(ω) =

F0 m q

(ω2

0−ω2 )2+(2γω)2 mit Resonanzfrequenzω₀, Abklingkonstanteγ= ^2b_m

Logarithmisches DekrementΛ = ln^xm

xn =γ·T= q^2πγ ω2

0−γ2 (Maß f¨ur D¨ampfungsverhalten)

D¨ampfungsgradD=_ω^γ 0

G¨utefaktor Q eines Oszillators:Q= ^ω_2γ⁰ Falls von Reibung dominiert:A= ^F0

b qk

m

¨Uberlagerung von Schwingungen: x(t) = P

nxn(t) = P

n

ancosωnt+δn

III.2. Harmonische Schwingungen

x(t) =Acos(ω₀t+ Φ)

mit Amplitude A, Kreisfrequenzω[^rad_s ], Frequenz f [¹_s] Schwingungsdauer T =¹_f, Phasenkonstanteφ III.2.1 Federpendel

ω²= ^R¨ucktreibende Kraft

Einheitsmasse×Einheitsauslenkung= _m^k →ω= qk

m ω= 2πf→f= _2π¹

qk m

Energiebilanz:E_ges=E_pot+E_kin= ¹₂kx²+¹₂mv² III.2.2 Mathematisches Pendel

F=−mgsinθ≈ −mgθ

Oft Kleinwinkeln¨aherung: Bis 15^◦: Fehler<0.01%

x=lθ;F=−^mg_l x

Hooke’sches Gesetz: Kraft proportional zur Auslenkung ω=q_g

l

III.2.3 Torsionsschwingungen

Elastisches R¨uckstelldrehmomentM=−Dθ=J α mit Torsionskonstante D undα=^d2θ

dt2

..θ+^D_Jθ= 0⇒ω= qD

J

III.2.4 Ged¨ampfter harmonischer Oszillator Stoke’sche Reibungskraft:F_R=−bv=−b.

x Bewegungsgleichung:..

x+ 2γ.

x+ω²₀x= 0; mit 2γ= _m^b L¨osungsansatz mit Cosinus:x=Ae^−γtcos(ω⁰t) mitω⁰=q

ω₀²−γ², γ= _2m^b ,ω₀= qk

m schwache D¨ampfung:γ < ω₀→x=Ae⁻

ttL cos(ω⁰t) aperiodischer Grenzfall:γ=ω₀→ω⁰= 0

¨uberkritische D¨ampfung:γω₀→ω⁰=q

ω²₀−γ²= img.

→Das System schwingt nicht, kehrt langsam in GGP zur¨uck t_L= mittlere Lebensdauer, Zeit um auf¹_eder Amplitude zur¨uckzukehren

III.3. Wellen

Allgemeine Wellengleichung: ¹ c2∂2u

∂t2 −∆u= 0

Polarisation in Materie:P=χeε0E, mitχe: Elektrische Suszeptibilit¨at, Materialeigenschaft, i.A. komplex

Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung Transversale Welle: Auslenkung normal zur Ausbreitungsrichtung Geschwindigkeit Seilwelle:ν=

rFT µ mitF_T= Zugspannung,µspezifische Masse Massem=µ·vt→µ= ^m_vt

Elastizit¨atsmodul:E= ^{F /A}_∆l/l Kompressionsmodul:K=_{∆V /V}^−p Ausbreitungsgeschw.ν_Transv.=q F

µ,ν_Longi.=q E

ρ,ν_l,Gas=q K

ρ Schwingungsenergie des Teilchens:E=¹₂kD²_M

k= 4π²mf²;E= 2π²mf²D²_M m=ρV =ρAvt; ∆E= 2π²ρAv∆tf²D²_M

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Durchschnittliche Leistung:P=∆E

∆t = 2π²ρavf²D²_M Intensit¨at:I=P

A= 2π²ρvf²D²_M Intensit¨at sph¨arische Welle:I= ^Pˆ

qπr2, mitD_M∝_r¹ SchallpegelL= 10 log_I^I

0dB mitI0= 10^−12W

m2, mit 1dB = 10Bel Reflexion bei elektrischen Leitungen:r=^Z_Z^{Last−ZKabel}

Last+ZKabel

III.4. Geometrische Optik

f·λ=c

Vakuumlichtgeschwindigkeitc0= 2,99792458·10^8m_s =√ε¹0µ0 Energie Photonen:h·c, mit Plank’schem Wirkungsquantumh Brechungsindexn=_v^c

Dielektrizit¨atskonstanteε=n² Brechungsgesetz von Snellius:^sin_sin^θ_θ¹

2 =^v_v¹ 2 =^c/n_c/n¹

2 = ⁿ_n² 1 Licht bricht immer zum Medium mit dem h¨oheren Index hin

Fermatsches Prinzip: Licht folgt dem Weg mit der k¨urzesten Laufzeit:_dx^dt = 0; Optischer Weg:´

γn Optische Wand, parallelverschiebung um∆d: d=t·sin(α)·

"

1−q ^cosα n2−sin2 (α)

#

Totalreflexion: fallsθ > θ_g:sin(θ_g) =ⁿ_n² 1 Brechungsindexnist frequenzabh.n(ω)

Ausbreitungsgeschw. ist frequenzabh.v(ω)heißt Dispersion Maxwell Relation:n=√

εr·µr≈√ εr=√

1 +χe Elektrische Suszeptibilit¨at:P=N·p

x₀= ^eE0 m(ω2

0−ω2 )

ω < ω₀: Auslenkung in Phase,ω > ω₀: Auslenkung gegen PhaseF_el Dipolmoment:|p(t)|=e·x(t) =

e2E0·sin(ωt) m(ω2

0−ω2 )

χ_e(ω) = ^{N e2} ε0 (ω2

0−ω2 )

Sellmeier Gleichung:n²(λ) = 1 + ^B1λ2 λ2−C1

B2λ2 λ2−C2

B3λ2 λ2−C3 mitB_iundC_i(i∈1-3) Sellmeier Koeffizienten, experimentell ermittelt Anormale Dispersion: n steigt mitλ

Normale Dispersion: n f¨allt mitλ

III.5. Abbildung

Entweder reales Bild oder virtuelles Bild (z.B. Spiegel) Strahlenkonstruktion allgemein:¹_b=_f¹−¹

g fokale L¨ange f =^r₂, mit Gegenstandsweite g; Bildweite b

Vorzeichen korrekt w¨ahlen: +: g, b, Krummungsmittelp. vor dem Spiegel AbbildungsmaßstabV=^B_G= ^−b_g

bei V negativ: Bild umgekehrt III.5.1 Linsen

Linsengleichung: Gegenstandseite:^f_g= _B+G^B , Bildseite:^f_b= _G+B^G Dicke Linsen: 2 Hauptebenen mit eigenemf, b, g, Bi-konvex:_2n^f Reziproke Brennweite = Brechkraft→Einheit Dioptrie [D]= 1dpt =_m¹ g > f: Reelles Bild;g < f: Virtuelles Bild

Berechnung Brennweite:_f¹= (n−1)(_r¹ 1− ¹

r2) mit n = Brechungsindex der Linse, r Radien III.5.2 Auge

Weitsichtigkeit: Bild naher Gegenst¨ande hinter Netzhaut

→Korrektur durch Sammellinse

Kurzsichtigkeit: Bild weiter Gegenst¨ande vor Netzhaut

→Korrektur durch Zerstreuungslinse

Stabsichtiges Auge (Astigmatismus): abnormale Hornhautverkr¨ummung

→Korrektur durch Zylinderlinsen

Sehwinkel/r¨aumliche Aufl¨osung des Auges:ε^min₀ ≈1”

⇒∆x_min=S₀·ε^min_o ≈70µm

Mikroskop:V_Mikroskop=^(l−fe)·_d ^Ld

0·fe =β_Objektiv·V_Okular Vergr¨oßerung Okular:V_Okular= ^Ld

Fe

L_d= deutliche Sehweite des Menschen, ca 250mm Aufl¨osungsgrenze bei ca 1000-facher Vergr¨oßerung

III.6. Abbildungsfehler (Abberationen)

III.6.1 Sch¨arfefehler

Sph¨arische Abberationen; Koma; Astigmatismus→Sinus ist nichtlinear III.6.2 Lagefehler

Bildfeldw¨olbung; Verzeichnung→Sinus ist nichtlinear III.6.3 Farbfehler/Chromatische Abberationen Farbl¨angsfehler; Farbquerfehler→Dispersion

III.7. Welleneigenschaft des Lichts

W_Welle=W_el+W_magn=¹₂·ε₀·E²+_2µ¹

0·B² mitE= √¹

µ0ε0·B=c·B→W_Welle=ε₀E²=^B_µ² 0 Permittivit¨atε: Durchl¨assigkeit eines Materials f¨ur el. Felder magn. Permittivit¨atµ: Durchl¨assigkeit von Materie f¨ur magn. Felder ε=εrε₀;µ=µrµ₀

Welleneigenschaften: PointingvektorS= _µ¹

0·E×B=E×H zeigt in Ausbreitungsrichtung, Betrag = Intensit¨at der Strahlung Intensit¨at S = Energiedichte×Ausbreitungsgeschw.,[S] = ^W m2 Lichtwellen sind transversale e-m-Wellen mitE⊥B⊥k, mitkkAchse E=E₀·cos(k·z−ω·t−Φ) =E₀·cos(^2π_λ(z−c·t)−Φ) Bist direkt mitEverkn¨upft

III.7.1 Koh¨arenz

Gleiche Frequenz und eine feste Phasendifferenz erm¨oglicht die Interferenz Die meisten Lichtquellen sind inkoh¨arent. Laser stellen eine Ausnahme dar Bei inkoh¨arentem Licht mittelt sich die Interferenz zu null.

Leistung eines Dipols (max10⁻¹⁰m):P=²₃·^e2·ω4·d2 4πε0·c3 mitω²·d=a≡Beschleunigung bei zirkularer Frequenzω Lebensdauer atomare Schwingung: 1ns bis 10ns

Koh¨arenzl¨ange (Wegstrecke in 1ns): 30cm

Fabry-Perot-Interferometer: Wellenl¨angenaufl¨osung:^∆λ_λ = _Nⁿ Huygens-Fresnel-Prinzip: jeder Raumpunkt ist Ausgangspunkt f¨ur eine neue Kugelwelle (Elementarwelle)

III.7.2 Beugung am Einfachspalt Interferenz falls Spalt breiter alsλ

Bedingung f¨ur Minima:a·sinθ=Z·λ, mit Z∈1,2,3, ...

Bedingung f¨ur Maxima:a·sinθ= (Z+¹₂)·λ, mit Z∈ −¹ 2,1,2,3, ...

III.7.3 Beugung am Doppelspalt Gangunterschied∆s=q·sinα

Konstruktive Interferenz f¨ur Richtungen mit:∆s=Z·λ Destruktive Interferenz f¨ur Richtungen mit:∆s= (Z+¹₂)λ

III.8. Mikroskop

Aufl¨osungsverm¨ogen Mikroskop mit Spalt b:Ψ_min=α= arcsin^λ_b≈ λ

b(Abb´e Limit)

f¨ur runde Linse mit Durchmesser D:Ψ_min=D·sinα= 1,22_D^λ III.8.1 R¨ontgenbeugung

Bragg-Bedingung f¨ur konstruktive Interferenz:nλ= 2dsinθ, n∈N

III.8.2 Polarisation von Licht

E-M-Welle ist transversal, alsoE⊥kbzwB⊥k linear polarisiert→E-Feld steht nur in eine Richtung Die Richtung vonEist die Polarisationsrichtung und die von k,E aufgespannte Ebene die Polarisationsebene

Emmissionsakt eines einzelnen Atoms i.d.R. polarisiert, ungeregelte Uberlagerung¨ →unpolarisiert

Zwei Polarisationen:S(Senkrecht) oderP(Parallel) zur Einfallsebene Einfallsebene:kundnˆspannen Ebene auf

F¨ur Interferenz gilt: Beide Quellen m¨ussen die gleiche Polarisation haben Polarisation ist linear, elliptisch und zirkular m¨oglich und auch eine Superposition mehrerer ist m¨oglich

Intensit¨at in bestimmter Polarisationsrichtung:I⁰=I·cos²α

IV. Hydromechanik

IV.1. Fl¨ ussigkeiten und Gase

Dichteρ=^m_V

NormalkraftF_Nsenkrecht zur Oberfl¨ache A erzeugt Druckp=^FN_A Schweredruck:ps=ρ_Fl·h·g

Kompressibilit¨atκ=−¹_p·^∆V_V →^δV_V =−κ·δp Kompressionsmodul K =¹_κ

Schallgeschwindigkeit in Fl¨ussigkeit:v₀= q_dp

dρ=q₁ ρκ Gewicht pro Volumenγ=ρg, Einheit [γ] = [ ^N

m3] zum Beispiel:γ_Wasser= 998^kg

m3·9.807^m

s2 = 9790^N m2 Auftriebskraft:F_A=ρ_Fl·g·V_Kmit VolumenV_K V_Verdr¨angt = ^ρK

ρF l·V_K; Einsinken bism_v=m_k ρ_k<(=) [>]ρ_Fl: K¨orper schwimmt (schwebt) [sinkt]

Oberfl¨achenspannungσ= ^F_L= ^dE_dA(auchγ) zum Beispielσ_Wasser=0.073^N_m

Kapillarspannungp_kap=σ(_r¹ 1+_r¹

2)

kreisrunde Kapillare: p_kap = ^2σ_r cos(φ), mit Kontaktwinkel φ

⇔p_S=ρ·g·h_kap

IV.2. Str¨ omende Fl¨ ussigkeiten

laminare Str¨omung: kleine Geschwindigkeiten, große innere Reibung, geringe Reibung mit W¨anden

turbulente Str¨omung:große Geschwindigkeiten, geringe innere Reibung, hohe Reibung mit W¨anden

Kontinuit¨atsgleichung f¨ur inkompressible Fl¨ussigkeit:A₁·v₁=A₂·v₂, mit Querschnittsfl¨ache A

Volumenstrom .

V =^dV_dt =A·vist konstant

Bernoulligleichung:p+ρ·g·h+¹₂·ρ·v²=const., mit geod¨atischer H¨ohe h

Hydrodynamisches Paradoxon: Gleichgewicht beimg= ¹₂ρv²A ideale Gasgleichung: ρ₀

P₀ = M RT Luftdruck:p(h) = 1013hP a·exp−^h

hs, mith_s=^RT_{M g}= 8428m Kraft bei linearem Geschwindigkeitsprofil:F=η·A·^v_z, mit Abstand z Viskosit¨atη[P a·s] (stark Temperaturabh¨angig)

Str¨omung einer viskosen Fl¨ussigkeit durch ein Rohr:

v(r) =^p_4·η·l^1−p2 ·(R²−r²), v steigt parabelf¨ormig zur Mitte hin an Gesetz von Hagen-Poiseuille:.

V= ^π·(p_8·η·l^{1−p2 )}·R⁴(Volumenstrom f¨ur laminare Str¨omung)

Reynolds Zahl:R_e=^v·ρ·L_η mit L: char. L¨ange/Durchm. des K¨orpers:

1) f¨urR_e>>1: Newtonsches ReibungsgesetzF=c_W·A·^ρ·v₂² 2) f¨urR_e<1: Stokessches ReibungsgesetzF=b·v

Rein laminare Str¨omung beiRe≤0.1

V. Thermodynamik

Beschreibung von Vielteilchensystemen durch Mittelung W¨armemenge Q bei Erw¨armung:Q=C_p·(T₂−T₁) mitC_p=W¨armekapazit¨at in_K^J

Gaskonstante:R=C_p(mol)−C_v(mol), bzw.nR=C_p−C_p mit W¨armekapazit¨atCpbei isobarer,Cvbei isochorer Zustands¨anderung spezifische W¨armekapazit¨atc=_m^C = _∆T·m^∆Q , mit W¨armezufuhr∆Q, Temperaturerh¨ohung∆T, Masse des K¨orpersm

Zustandsgleichung des idealen Gases:ρ·V=n·R·T=N·k_B·T, mitnStoffmenge in Mol, GaskonstanteR, Anzahl der GasatomeN Kinetische GastheoriepV =N mhv²_zi

mittlere kin. Energie der Teilchen eines idealen GasesE¯_kin=³₂k_BT Gesamte Translationsenergie eines idealen Gases:³₂^RT_M

W=−´V2

V1pdV ∆U=´T2 T1 CdT

V.1. Haupts¨ atze der Thermodynamik

0. Zwei K¨orper im thermischen Gleichgewicht zu einem dritten

→Alle stehen untereinander im Gleichgewicht

1. ∆U= ∆Q+ ∆W→Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art - Maschine mit>100% Wirkungsgrad

Verschiedene M¨oglichkeiten f¨ur Zustands¨anderung:

a)Isobarer Prozess,p=const.

→im idealen Gas istCpkonstant⇒Q12=Cp∆T b)Isochorer Prozess:V=const.

→im idealen Gas istC_vkonstant⇒Q₁₂= ∆U c)Isothermer Prozess:T=const.

⇒W₁₂=−Q₁₂=nRTln^V_V¹ 2 Freiwerdende W¨arme:Q12=−W₁₂ d)Adiabatischer Prozess:∆Q= 0

In differentieller Schreibweise:∂U=∂W+∂Q

2. Thermische Energie ist nicht in beliebigem Maße in andere Energie- arten umwandelbar.η <1

3. Nernst’sches Theorem: lim

T→0S(T) = 0(Entropie bei 0 K ist 0)

V.2. Zustands¨ anderungen, Thermodynamische Systeme

Vom System geleistete Arbeit:∂W=−F·ds=−p·A·ds=−p·dV Adiabatengleichungp·V^κ=const., mit Adiabatenexponentκ= (^Cp

Cv) isotherme Zustands¨anderung:p·V=const.

Carnotscher Kreisprozess: Idee der W¨armekraftmaschine Wirkungsgradη=_Q^|W|

12,η_Carnot=^T2_T^−T1 2 <1

V.3. Reversible und irreversible Prozesse

Reversibler Prozess:z.B. Carnot- oder Stirling- Motor→Abwechselnde Kompression/Expansion eines Gases f¨uhrt zu Temperaturver¨anderungen Irreversibler Prozess:ηirreversibel < η_Carnot →Es kann nicht mehr in den Ausganszustand zur¨uckgegangen werden

Entropie S:∂S= ^dQ_T^rev ∆S=´dQrev T F¨ur ideales Gas:∆S=n·C_v·ln^T_T²

1 +n·R·ln^V_V² 1

V.3.1 Das reale Gas

1. Endliche Ausdehnung der Molek¨ule:V_real=V_ideal+nb mit Eigenvolumen von 1 Mol: b

2. Anziehung: van-der-Waals-Kraft:p_real=p_ideal−a(ⁿ² V2) mit Materialkonstante a, welche die vdW-Kr¨afte ber¨ucksichtigt

→Druckreduktion

van-der-Waals-Gasgleichung:(p+aⁿ²

V2)·(V−nb) =n·R·T W¨armeleitung: .

Q=^dQ_dt =−λA^dT_dx

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VI. Quantenmechanik

W¨armestrahlung: Gesetz von Stefan und Boltzmann: Strahlungsleistung Schwarzk¨orperP_seines schwarzen K¨orpers =P_S=σ·A·T⁴ Stefan-Boltzmann-Konstante:σ= 5.670·10^{−8 W}

m2·K4 effektiv abgestrahlte Leistung:∆Ps=σ·A(T₁⁴−T₂⁴) F¨ur nichtideale K¨orper∆Ps=εσ·A(T₁⁴−T₂⁴) Wien’scher Verschiebungssatz:λmax= ^2897,8µ·K_T

VI.1. Welle-Teilchen-Dualismus

Der Photoeffekt: Metallplatte entl¨adt sich durch Beleuchtung mit kurz- welligem Licht

Um ein Elektron abzul¨osen ist AustrittsarbeitW_A=E_ph−E_kinn¨otig Teilchen haben Welleneigenschaften

de Broglie-Wellenl¨angep= ^h_λ⇒λ=^h_p Materialwellen:~= _2π^h ⇒p=~2π¹_λ aus der Wellenmechanik:2π_λ¹ =k→p=~k Impuls des Teilchens wird mit der Wellenzahl verkn¨upft

VI.2. Wellenfunktion

Ansatz: eben Welle f¨ur ein Teilchen mit Massem0, das sich mit der Ge- schwindigkeitvbewegt:E=~ω,p=~k→ψ(x, t) =Ce^i(ωt−kx) ψ(x, t) =Ce^i(E~t−p

hx)

Die Phase ist das Argument des Imagin¨arteils der Exponentialfunktion!

Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der die zeitliche

¨Anderung der Phase gleich 0 ist:_dt^d(ωt−kx) = 0⇒ω−kv_ph= 0⇒v_ph=^ω_k

PhasengeschwindigkeitV_ph↔Ausbreitungsgeschwindigkeit¹₂v_T y(x, t) = 2y₀sin(kx−ωt) cos(∆kx−∆ωt)

VI.3. Unsch¨ arferelation

Ansatz:ψ(x, t)´k0 +∆k 2 ko−∆k

2

C(k)e^i(ωt−kx)dk L¨osung: ψ(x, t) = 2C^sin(u

∆k 2 u

Teil der L¨osung:u= ((^dω_dk)_k0·t−xmitνgr= (^dω_{dk k0}

∆x·∆k= 2π

Breite der Wellenfunktion∆xbei∆kmitp=~m

∆x·∆px≥~

Genauigkeit der Frequenzmessung h¨angt von der Lebensdauer des Zu- standes ab:∆ω=_τ¹

Zur Deutung vonψ(x, t): ”Wahrscheinlichkeitsdichte”|ψ(x, t)|² ψ(x, t)muss NORMIERT werden, da die Summe aller Wahrscheinlich- keiten zum Auftreten des Teilchens an allen Orten x und Zeiten t gleich 1 ist (100% !)

Allgemein im Raum:˝

VI.4. Schr¨ odingergleichung

Erwin Schr¨odinger (1887 - 1961)

R¨aumliche und zeitliche Entwicklung vonψund damit der Wahrschein- lichkeitW(x, t) =|ψ(x, t)|²

Muss DGL erster Ordnung sein (damit ant₀ durch Anfangsbedingung bestimmt), muss homogen sein, L¨osungen sollten harmonische Wellen sein, damit man sie Superpositionieren kann (z.B. f¨ur Wellenpakete) Ansatz:ψ(x, t) =Ae^i(kx−ωt)

ψ(x, t) =Ae~ⁱ(pxx−Ekint)

Ziel ist DGL f¨urψ S Station¨arer Fall: E h¨angt nicht von t ab:ψ(x) =Ae^ikx E_kin+E_pot=E E_kin=_2m^p2 =^~_2m^2k2 +E_pot=E Zweimaliges Differenzieren vonψ:

∂2ψ(x)

∂x2 =−k²ψ(x)

Station¨are Schr¨odingergl. in einer Dim.:−_2m^{~2 ∂2ψ}

∂x2 +E_pot=Eψ(x) Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen:−_2m^~2∆ψ+Epotψ=Eψ mit Laplaceoperator∆ = ^∂2

∂x2+ ^∂2

∂y2+ ^∂2

∂z2 und HamiltonoperatorHˆ=−_2m^~2∆ +E_pot Zeitabh¨angigkeit : ^dψ(x,t)_dt =−ⁱ

~E_kinψ Von vorher:⇒E_kin=^∂2ψ

∂x2·(−_2m^~2 Zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung:i~^∂ψ_∂t = ˆHψ Hψˆ =Eψ

VI.5. L¨ osung der Schr¨ odingergleichung f¨ ur verschiedene Po- tentiale

F¨urEpot= 0:Hψ¯ =i~^∂ψ_∂t

F¨ur unendlichen Potentialtop:−_2m^{~2 ∂}_∂x^2ψ+E_potψ=Eψ Allgemeiner L¨osungsansatz:ψ=Ae^ikx+Be^−ikx Mit Randbedinungen:^∂2ψ

∂x2 definiert undψ= 0beix= 0undx=a Ergebnis: 0 = 2Aisin(ka),ka = nπ;n = 1,2,3, ...und ψ= 2Aisin(^nπ_ax)

Wichtige Eigenschaft: Die EnergienEnsind diskret Coulombsches Gesetz:Epot(r) =_4πε^Q2

0 ·¹ r VI.5.1 Unendlicher Potentialtopf

∂2ψ

∂x2 muss definiert sein

ψmuss stetig und diff’bar sein bei x = a und x = 0

→ψ= 0bei x = 0 und x = a

Ergebnis:0 = 2Aisin(ka),ka=nπ; n = 1,2,3,...

ψ= 2Aisin(^nπ_ax)

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