Verkn¨upfung von Abbildungen Die Verkn¨upfung oder Komposition zweier Abbildungen f :A→ B und g : B→C ist durch
a7→(g◦f)(a) =g(f(a)), a∈A, definiert und in dem Diagramm ver- anschaulicht.
Die Verkn¨upfung◦ ist assoziativ, d.h.
(h◦g)◦f =h◦(g ◦f)
aber nicht kommutativ, denn im Allgemeinen ist f ◦g 6=g ◦f.
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Beispiel
Verkn¨upfungen der Abbildungen
f(D) =D∩[0,2), g(D) =D∪[0,3), h(D) =D\[2,3) auf der Menge der Teilmengen von R
(i)f ◦g 6=g ◦f (nicht kommutativ):
Gegenbeispiel f¨ur die Menge [1,4)
(f ◦g)([1,4)) = f(g([0,4))) =f([0,4)∪[0,3)) =f([0,4))
= [0,4)∩[0,2) = [0,2) (g ◦f)([1,4)) = g([1,2)) = [0,3)
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(ii) (h◦g)◦f =h◦(g◦f) (assoziativ):
(h◦g)(D0) =h(D0∪[0,3)) =D0∪[0,2) D0 =f(D)
(h◦g)◦f(D) = (D∩[0,2))∪[0,2)) = [0,2) gleiches Resultat bei anderer Klammerung
(g ◦f)(D) =g(D∩[0,2)) = (D∩[0,2))∪[0,3) = [0,3)
=⇒ h◦(g ◦f)(D) = [0,3)\[2,3) = [0,2)
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