Ubungen zur Vorlesung Finanzmathematik II ¨

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Technische Universit¨at Berlin Sommersemester 2004

Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. Alexander Schied Ubungen: Stephan Sturm¨

Ubungen zur Vorlesung Finanzmathematik II ¨

5.Blatt Ubungen 24.05.04 ¨ Abgaben bis 03.06.04

Ubungen ¨

1.Aufgabe: F¨ur ein stetiges lokales MartingalM gilthMi ≡0 genau dann, wennMt−M0= 0 f¨ur jedest P-f.s.

2.Aufgabe: Man zeige, dass ein stetiges lokales MartingalM und seine quadratische VariationhMidieselben Konstantheitsintervalle haben, das heißt, dass f¨urP-fast alleω gilt:

M^t(ω) =M^a(ω) f¨urt∈[a, b]

genau dann, wenn

hMib(ω) =hMia(ω).

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Hausaufgaben

1.Aufgabe: SeiX^t ein rechtsstetiger stochastischer Prozess auf (Ω,F, P) adaptiert an die Filtration (F^t)⁰≤t. a) Man zeige, dass, fallsX ein nach unten beschr¨anktes lokales Martingal ist, es auch ein Supermartingal

ist.

b) Sei nunX ein positives Supermartingal. Man zeige die folgende Absorptionseigenschaft: F¨ur τ := inf{t≥0 :X^t = 0}

giltX^t= 0 f¨urt≥τ P-f.s.

2.Aufgabe: Wir betrachten das Black-Scholes-Modell mit Zinsrater= 0, Volatilit¨atσ= 1 und Trendα= 0, d.h. wir haben ein Marktmodell mit BondB^t ≡1 und riskanter AnlageS^t= exp(X^t−t/2) f¨ur eine Brownsche BewegungX. Man konstruiere eine zahme selbstfinanzierende Handelsstrategieϕ= (ξ, η) mit V⁰(ϕ) = 1 und V1(ϕ) = 0 P-f.s. (“Suicide Strategy”).

3.Aufgabe: SeiX eine Brownsche Bewegung auf (Ω,F, P) undf¹, . . . , fⁿ stetige und beschr¨ankte Funktionen aufR, 0≤t¹<· · ·< tⁿ≤T und

H:=

Yn

i=1

fⁱ(X^ti).

Man konstruiere einen progressiv messsbaren Prozessξ mit

H =E[H] + Z ^T

0

ξ^sdX^s,

indem man sukzessive auf den Intervallen [tⁿ−1, tⁿ], . . . ,[t0, t1] die (duale) W¨armeleitungsgleichung mit geeigneten Randbedingungen l¨ost. Man zeige weiterhin, dassR

ξ dX ein quadratintegrierbares Martingal ist.

Bemerkung: Im Kontext eines Finanzmarktmodells l¨asst sichH als Auszahlungsfunktion einer sogenannten Fade-Option oder einer asiatischen Option mit geometrischer Mittelung interpretieren.

4.Aufgabe:

a) Bezeichneν^a die NormalverteilungN(a, σ²) f¨ur ein festesa∈R. Man berechnedν^a/dν0.

b) Sei (X^t)0≤t≤T eine Brownsche Bewegung unter dem MaßP; wir definieren f¨ur ein festesb∈Rdas Maß P˜ durch

dP˜:=e^bXT−12b2TdP .

Man folgere aus a) und dem Satz von L´evy, dass ˜X^t :=X^t−bteine Brownsche Bewegung unter ˜P ist.

c) Man benutze b) um ein ¨aquivalentes Martingalmaß im Black-Scholes Modell anzugeben.

Jede Aufgabe 6 Punkte