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Technische Universit¨at Berlin Sommersemester 2004
Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. Alexander Schied Ubungen: Stephan Sturm¨
Ubungen zur Vorlesung Finanzmathematik II ¨
8.Blatt Ubungen 28.06.04 ¨ Abgaben bis 01.07.04
Hausaufgabe
1.Aufgabe: Im Black-Scholes-Modell ist der Preis einer europ¨aischen Call-Option eine konvexe Funktion des Anfangswerts x. Wenn die Volatilit¨at einepfadabh¨anginge Funktion des Preisprozesses ist, kann die
Konvexit¨at verletzt sein, wie das folgende Beispiel zeigt:
Sei
Stx:=x exp
t
Z
0
σudWu−1 2
t
Z
0
σ2udu
f¨ur eine Brownsche BewegungW und
σt :=I{Wt<S0}I{t≤τa} f¨ur τa := inf{t:Wt =a}. Mit der Tanaka-Formel zeige man:
(a)
S1x≤x exp 1
2Lxτa∧1+x
f¨ur allexund schließe daraus, dass der Preisv(x,1) der europ¨aischen Call-Option (S1x−K)+ f¨ur K:=aea sowohlv(a,1) = 0 als auchv(x,1)→0 f¨urx↓0 erf¨ullt.
(b) F¨ur x∈(0, a) gilt P-fast sicher auf τa ≤1
S1x≥x exp 1
2Lxτa+x−1 2
.
Man kann zeigen (ohne Beweis), dassLxτa auf {τa≤1}nach oben unbeschr¨ankt ist. Hieraus folgere man v(x,1)>0 f¨ur 0< x < a. Die Funktionv(·,1) kann also nicht konvex sein.
Aufgabe 12 Punkte
