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Technische Universit¨at Berlin Sommersemester 2004
Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. Alexander Schied Ubungen: Stephan Sturm¨
Ubungen zur Vorlesung Finanzmathematik II ¨
6.Blatt Ubungen 07.06.04 ¨ Abgaben bis 10.06.04
Hausaufgaben
1.Aufgabe: Aus Itˆo’s Darstellungssatz f¨ur Wiener-Funktionale inL2 (Satz VI.2.1 der Vorlesung) folgere man die Martingaldarstellungseigenschaft der Brownschen Bewegung: SeiM ein lokales Martingal auf dem
Wiener-Raum (Ω,F, P) mit KoordinatenprozeßX. Dann gibt es ein progressiv meßbares ξ mit Rt
0ξs2ds <∞ P-fast sicher f¨ur allet, so dass
Mt=M0+ Zt
0
ξsdXs P-f.s. f¨ur allet ,
Insbesondere folgt daraus, dassM eine stetige Modifikation besitzt undξ dt⊗dP-fast ¨uberall eindeutig festgelegt ist.
2.Aufgabe: Man zeige, dass die im Black-Scholes Modell durch die geometrische Brownsche Bewegung generierten Maße aufC[0, T] f¨ur verschiedene Volatilit¨aten singul¨ar sind. Exakter: F¨ur eine Brownsche BewegungW und|σ1| 6=|σ2|sind die durch
Sti=eσiWt−12σi2t, i∈ {1,2}
implizierten MaßePi= (Si)∗P:=P◦(Si)−1 aufC[0, T] singul¨ar: P1⊥P2(d.h. es gibt eine messbare MengeA mitP1[A] = 0 undP2[A] = 1).
3.Aufgabe: In unserem allgemeinen Marktmodell gilt die folgende Aussage: Ein MaßQ≈P ist genau dann ein ¨aquivalentes lokales Martingalmaß, wennMt:=St−Rt
0ruSudu ein lokales Martingal unterQist.
4.Aufgabe: SeiP das Wiener-Maß aufC[0,∞] undX der Koordintenprozeß.
a) Sei ˜P die Verteilung vonXt+t(t≥0) undτ eine Stoppzeit mitP[τ <∞] = 1. Man zeige E[eXτ−12τ] = ˜P[τ <∞].
b) Man folgere die Identit¨at
E[e12τc] =ec f¨ur
τc:= inf{t >0 : Xt−t=−c}, c >0.
Jede Aufgabe 6 Punkte
