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Technische Universit¨at Berlin Sommersemester 2004
Fakult¨at II - Institut f¨ur Mathematik Vorlesung: Prof. Dr. Alexander Schied Ubungen: Stephan Sturm¨
Ubungen zur Vorlesung Finanzmathematik II ¨
7.Blatt Ubungen 21.06.04 ¨ Abgaben bis 24.06.04
Hausaufgaben
1.Aufgabe: Sei
P :=α1P1+· · ·+αnPn
f¨urαi>0 mitα1+· · ·+αn = 1 undnaufF0zueinander singul¨are Wahrscheinlichkeitsverteilungen P1, . . . , Pn aufC[0, T]. MitX bezeichnen wir den Koordinatenprozess aufC[0, T], mitFt die rechtsstetige (aber nicht vervollst¨andigte) Filtration.
(a) Man charakterisiere die Menge P aller zuP ¨aquivalenten Martingalmaße f¨urX durch die MengenPi
aller zuPi ¨aquivalenten Martingalmaßei= 1, . . . , n.
(b) Ist die Bedingung der paarweisen Singularit¨at auf F0erf¨ullt, wenn die Pi die Verteilungen geometrischer Brownscher Bewegungen mit paarweise verschiedenen Volatilit¨atenσi >0 sind? Man beschreibe das dabei entstehendeP anschaulich als ein (zweistufiges) Black-Scholes-Modell mit konstanter Volatilit¨at, die in einem ersten Schritt zuf¨allig festgelegt wird.
2.Aufgabe: (Das Volatilit¨atssprungmodell)Wir betrachten das folgende Modell f¨ur einen Finanzmarkt mit stochastischer Volatilit¨at: Die risikolose Zinsratersei 0,W sei eine Brownsche Bewegung auf (Ω,F, P) und der PreisprozessS sei gegeben durch
St= exp
t
Z
0
σsdWs−1 2
t
Z
0
σs2ds
,
wobeiσs f¨urs < T /2 konstantσ0>0 sei. InT /2 springt die Volatilit¨at auf den zuf¨alligen WertσT /2>0 und bleibt dort, d.h. σt =σT /2f¨urT /2≤t≤T. Wir nehmen an, dassσT /2undW unabh¨angig seien, und dass σT /2 eine nichttriviale Verteilung besitzt. Man zeige, dass dieses Modell unvollst¨andig ist.
3.Aufgabe: Wir betrachten ein Marktmodell mit einem BondBt= exp Rt
0rsds
, definiert durch einen beschr¨ankten progressiv messbaren Shortrate-Prozessr, und mit einer riskanten AnlageS = (St)0≤t≤T, die einer stochastische Differentialgleichung der Form
dSt=σtStdXt+btStdt
gen¨uge. Hierbei seiX eine Brownsche Bewegung, undσ sowieb seien zwei progressiv meßbare Prozesse mit σt≥ε >0 und|bt| ≤c <∞P-f.s. f¨ur allet∈[0, T] und zwei Konstantenεundc. Man gebe die Dichte eines
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aquivalenten lokalen Martingalmaßes an.
Jede Aufgabe 8 Punkte
