Multilineare Algebra

Multilineare Algebra

Handout zur Vorlesung Analysis auf Mannigfaltigkeiten, SS 2015 Prof. Bernd Ammann

Literatur

Frank Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Kapitel 2

1 Tensoren

Motivation. In diesem Handout wollen wir das zentrale Objekt der multilinearen Algebra, die Ten- soren, einf¨uhren. Der Begriff

”Tensor“ stellt die Begriffe

”Vektor“,

”Linearform“,

”lineare Abbildung“,

”Bilinearform“,

”Multilinearform“ und viele andere in einen einheitlichen Formalismus. Tensoren sind wichtige Objekte sowohl in der Mathematik (Riemannsche Geometrie, Darstellungstheorie, Knotentho- rie,. . . ) als auch in der Physik (Allgemeine Relativit¨atstheorie, klassische Feldtheorie, klassische Mechanik, Quantenphysik, . . . ). Um den Formalismus einfach zu gestalten, wollen wir uns hier auf Tensoren ¨uber endlich-dimensionalen Vektorr¨aumen beschr¨anken.

Im folgenden sei K= R oder K =C (oder allgemeiner ein K¨orper der Charakterisitik 0).

Weiter seienV,W undU immer endlich-dimensionale Vektorr¨aume ¨uberK. Der Dualraum von V ist der Vektorraum aller linearen Abbildungen V →K; wir bezeichnen ihn mit V^∗. Die Elemente von V, W und U nennen wir v, w und u, evtl. mit Indizes versehen, die Elemente der Dualr¨aume bezeichnen wir mit α, β,. . . . Aufgrund der endlichen Dimension k¨onnen wirV^∗∗ mitV identifizieren. Dabei wirdv∈V mit der LinearformV^∗→K,α7→α(v), identifiziert.

SeiF(V, W)die Menge aller AbbildungenA:V×W →Kmit der Eigenschaft, daßA⁻¹(K−{0}) endlich ist. Man beachte, daß die Elemente vonA im allgemeinen keine linearen Abbildun- gen sind. Wir machen F(V, W) zu einem Vektorraum, indem wir f¨ur f¨ur f, g∈F(V, W) und a∈Ksetzen

(af)(v, w) := a(f(v, w)) (f+g)(v, w) := f(v, w) +g(v, w)

Der VektorraumF(V, W)heißt derfreie Vektorraum ¨uberKder von den Punkten vonV×W erzeugt wird. Wir definieren nun [v, w]∈F(V, W) durch

[v, w](v⁰, w⁰) =

1 f¨ur v⁰ =v undw⁰ =w, 0 sonst.

Die Menge{[v, w]|v∈V, w∈W} ist eine Basis von F(V, W).

Nun seiR(V, W)der Unterraum von F(V, W)der von allen Elementen der Form [v₁+v₂, w]−[v₁, w]−[v₂, w]

[v, w₁+w₂]−[v, w₁]−[v, w₂] [av, w]−a[v, w]

[v, aw]−a[v, w]

(1)

erzeugt wird.

Definition. Der QuotientenvektorraumF(V, W)/R(V, W) heißt dasTensorprodukt vonV undW ¨uber Kund wird mitV⊗W bezeichnet. Die ¨Aquivalenzklasse inV⊗W die von dem Element [v, w] repr¨asentiert wird, bezeichnen wir mitv⊗w.

Aus (1) erhalten wir die folgenden Relationen inV ⊗W: (v₁+v₂)⊗w=v₁⊗w+v₂⊗w v⊗(w₁+w₂) =v⊗w₁+v⊗w₂ a(v⊗w) = (av)⊗w=v⊗(aw).

Bemerkung. Nicht jedes Element vonV ⊗W l¨aßt sich in der Formv⊗wschreiben. Die Elemente der Form v⊗w erzeugen aber V ⊗W. Jedes Element von V ⊗W kann deswegen in der Form P

vi⊗wi

geschrieben werden. Kennt man die Werte einer linearen AbbildungF :V ⊗W →U auf den Elementen der Formv⊗w, berechnet sich daraus f¨ur ein beliebiges ElementP

vi⊗wi∈V ⊗W

FX

vi⊗wi

=X

F(vi⊗wi).

Beispiele.

1.) Sind{ei|i= 1, . . . , n}und{fj|j= 1, . . . , m}Basen vonV undW, dann ist{ei⊗fj|i= 1, . . . , n; j= 1, . . . , m} eine Basis vonV ⊗W.

2.) Es giltKⁿ⊗K^m∼=K^nm

3.) Es gibt genau einen VektorraumisomorphismusV ⊗W →W⊗V, der jedesv⊗waufw⊗v abbildet.

4.) Es gibt genau einen VektorraumisomorphismusV⊗(W⊗U)∼= (V⊗W)⊗U, der jedesv⊗(w⊗u) auf (v⊗w)⊗uabbildet. Wir schreiben deswegen abk¨urzendV⊗W⊗U :=V⊗(W⊗U)→(V⊗W)⊗U. 5.) Der Vektorraum der linearen Abbildungen V → W kann mit V^∗⊗W identifiziert werden. Dabei

entsprichtα⊗wdem Homomorphismusv7→α(v)·w

6.) Der Vektorraum der BilinearformenV ×W →Kkann mitV^∗⊗W^∗ identifiziert werden. Man kann deswegen V ⊗W auch als Vektorraum der Bilinearformen V^∗×W^∗ → K interpretieren. Dabei entsprichtα⊗β der Biliearform (v, w)7→α(v)·β(w).

7.) Betrachten wirCals reellen zwei-dimensionalen Vektorraum, dann k¨onnen wir f¨ur jeden reellen Vek- torraumV das Tensorprodukt mitC¨uber dem K¨orper der reellen Zahlen bilden

V_C:=V ⊗C.

V_C heißt die Komplexifizierung von V. Der zun¨achst reelle Vektorraum V_C wird zum komplexen Vektorraum, wenn wir

a·(v⊗z) :=v⊗(az) ∀a, z∈C, v∈V definieren.

Definition. Zu jedem VektorraumV und jedem r, s≥ 0 assoziieren wir den Tensorraum N

r,sV vom Typ (r, s)

N

r,sV :=V ⊗ · · · ⊗V

| {z } r-mal

⊗V^∗⊗ · · · ⊗V^∗

| {z } s-mal

.

F¨ur den Spezialfallr = s = 0 definieren wirN

0,0V := K. Die Elemente von N

r,sV heißen homogene Tensoren vom Typ(r, s).

Die direkte Summe

N

∗,∗V := X

r,s≥0

N

r,sV

nennen wir dieTensoralgebra vonV. Elemente vonN

∗,∗V heißenTensoren. Wir definieren eine Multipli- kation aufN

∗,∗V wie folgt: zuu=u₁⊗. . .⊗u_r⊗α₁⊗. . .⊗α_s∈N

r,sV undv=v₁⊗. . .⊗v_r⁰⊗β₁⊗. . .⊗β_s⁰ ∈ N

r⁰,s⁰V definieren wir ihr Produkt u⊗v∈N

r+r⁰,s+s⁰V als

u⊗v:=u1⊗. . .⊗ur⊗v1⊗. . .⊗vr⁰⊗α1⊗. . .⊗αs⊗β1⊗. . .⊗βs⁰. Diese Definition l¨aßt sich auf eindeutige Art und Weise zu einer bilinearen Abbildung

⊗:N

∗,∗V ×N

∗,∗V →N

∗,∗V fortsetzen.

N

∗,∗V ist zusammen mit der Multiplikation ⊗ eine nicht-kommutative, assoziative und graduierte Algebra.

”Graduiert“ bedeutet hierbei, daß N

r,sV ⊗N

r⁰,s⁰V ⊂N

r+r⁰,s+s⁰V.

Interpretation. Einen homogenen Tensor vom Grad (r, s), etwau₁⊗ · · · ⊗u_r⊗α₁⊗ · · · ⊗α_s, kann man interpretieren als

1.) multilineare Abbildung

V × · · · ×V

| {z } s-mal

→ N

r,0V,

(v₁, . . . , v_s) 7→ α₁(v₁)· · ·α_s(v_s)·u₁⊗ · · · ⊗u_r 2.) multilineare Abbildung

V^∗× · · · ×V^∗

| {z } r-mal

→ N

0,sV,

(β₁, . . . , β_r) 7→ β₁(u₁)· · ·β_r(u_r)·α₁⊗ · · · ⊗α_s 3.) lineare Abbildung

N

s,0V → N

r,0V

v₁⊗ · · · ⊗v_s 7→ α₁(v₁)· · ·α_s(v_s)·u₁⊗ · · · ⊗u_r 4.) lineare Abbildung

N

0,rV → N

0,sV

β₁⊗ · · · ⊗β_r 7→ β₁(u₁)· · ·β_r(u_r)·α₁⊗ · · · ⊗α_s 5.) Linearform aufN

s,rV,

N

s,rV → K

v1⊗ · · · ⊗vs⊗β1⊗ · · · ⊗βr 7→ α1(v1)· · ·αs(vs)·β1(u1)· · ·βr(ur) Also k¨onnen wirN

r,sV mit N

s,rV∗

identifizieren.

Beispiele.

1.) Vektoren sind Tensoren vom Grad (1,0), Linearformen sind Tensoren vom Grad (0,1).

2.) Eine lineare Abbildung ein Tensor vom Grad (1,1).

3.) Ein Skalarprodukt auf dem reellen VektorraumV ist ein Tensor vom Grad (0,2).

4.) Ein hermitesches Skalarprodukt auf demkomplexenVektorraumV istkeinTensor ¨uber dem K¨orper C, da das Skalarprodukt in einer Komponente antilinear ist.

5.) Eine Determinantenfunktion auf einems-dimensionalen VektorraumV ist eine alternierende, multi- lineare Abbildung

V × · · · ×V

| {z } s-mal

→K,

also ein Tensor vom Grad (0, k).

2 Alternierende Tensoren

Dieses Kapitel wird sich mit einer speziellen Klasse von Tensoren besch¨aftigen, den alter- nierenden Tensoren.

Wir definieren zun¨achst den Alternierungs-Operator Altr:N

r,0V → N

r,0V v₁⊗. . .⊗v_r 7→ X

σ

sign(σ)v_σ(1)⊗. . .⊗v_σ(r),

wobei die Summation ¨uber alle Permutationen σvon{1, . . . , r}geht. Die Abbildung Alt_r ist bis auf eine Konstanter! eine Projektion, d. h. sie erf¨ullt

1

r!Alt_r= 1

r!Alt_r

◦ 1

r!Alt_r

. Definition. Das Bild von Altrbezeichnen wir mitV

rV. F¨ur einen homogenen Tensor ω∈N

r,0V sind ¨aquivalent:

1.) ω∈V

rV, 2.) Alt(ω) =r!·ω,

3.) ω(α1, . . . , αr) = 0 fallsα1, . . . , αr∈V^∗ linear abh¨angig sind,

4.) ω(α_σ(1), . . . , α_σ(r)) = sign(σ)ω(α₁, . . . , α_r) f¨ur alle Permutationen σ und alle Linearformen α₁, . . . , α_r∈V^∗.

Hieraus folgt unter anderemV

rV = 0 f¨urr >dimV. Wir bilden nun die Summe V

∗V :=M

r≥0

V

rV.

Definition. Das Dach-Produkt

∧:V

∗V ×V

∗V → V

∗V (ν, ω) 7→ ν∧ω ist die eindeutig bestimmte bilineare Abbildung, die V

rV ×V

sV in V

r+sV abbildet und f¨ur die das Diagramm

N

r,0V ×N

s,0V −−−−→^⊗ N

r+s,0V Altr×Alts



 y



 yAltr+s

V

rV ×V

sV −−−−→^∧ V

r+sV

(2)

f¨ur allerundskommutiert.

Damit dieses Dach-Produkt wohldefiniert ist, muß man sich nat¨urlich noch ¨uberlegen, daß solch eine Abbildung ¨uberhaupt existiert und durch die obige Forderung eindeutig bestimmt ist.

Eigenschaften.

1.) Das Dachprodukt ist assoziativ, alsoτ∧(ν∧ω) = (τ∧ν)∧ω.

2.) F¨ur τ∈V

rV undω∈V

sV giltτ∧ω= (−1)^rsω∧τ V

∗V bildet also mit der Multiplikation ∧ eine graduierte nicht-kommutative, assoziative Algebra, die sogenannte¨außere Algebra oderGrassmann-Algebra vonV.

Bemerkung. Genauso wie wir zu dem VektorraumV die ¨außere AlgebraV

∗V bilden k¨onnen, k¨onnen wir zum DualraumV^∗die ¨außere AlgebraV

∗V^∗bilden. Die AlgebraV

∗V^∗wird in der Differentialgeometrie h¨aufig gebraucht. Die Elemente heißenFormen, die Elemente vonV

rV^∗heißen(alternierende)r-Formen oderFormen vom Gradr. Mit der obigen Interpretation ist einer-Form eine alternierende, multilineare Abbildung

V × · · · ×V

| {z } r-mal

→K

Beispiele.

1.) Konstanten sind 0-Formen, Linearformen sind 1-Formen

2.) Determinantenfunktionen auf einems-dimensionalen Vektorraum sinds-Formen 3.) Sindα1, . . . , αrLinearformen auf V undv1, . . . , vr Vektoren inV, dann berechnet sich

α₁∧. . .∧α_r(v₁, . . . , v_r) = det α_i(v_j)

i,j∈{1,...,r} (3)

Vorsicht. Es gibt in der Literatur teilweise verschiedene Konventionen. In manchen B¨uchern wird im Diagramm (2) die Abbildung (1/r!)Alt_r anstelle von Alt_r verwendet. Aus dieser unterschiedlichen Kon- vention ergeben sich eine Reihe von anderen Vorfaktoren. Unter anderem w¨urde dann die Formel (3) durch

α₁∧. . .∧α_r(v₁, . . . , v_r) = 1 r! det

α_i(v_j)

i,j∈{1,...,r}

ersetzt werden m¨ussen.

Auch die Definition vonV

∗V im oben zitierten Buch von Warner weicht etwas von unseren Definitionen ab, dieser Unterschied ist aber nur formaler Natur und hat unter anderem keinen Einfluß auf Formel (3).