Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Dr. Oliver B¨ar WS 20009/10

Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Ubungsblatt 2 ¨

Ubung 2.1:¨ Die Zusammenhangskoeffizienten Γⁱ_jk sind definiert durch

∇k(~ej) := ∇~e_k(~ej) = Γⁱ_jk~ei. (1) a) Berechnen Sie die Γⁱ_jkf¨ur die in Aufgabe 1.4 eingef¨uhrten Polarkoordinaten f¨ur denR²(mit trivialem ParalleltransportP ≡1 f¨ur alle Wege). Verifizieren Sie, dass diese symmetrisch sind in den unteren Komponenten j und k.

b) Die Divergenz eines Vektors V =Vⁱ~e_i ist definiert durch

divV = ∇_iVⁱ. (2)

Dies ist offensichtlich ein Skalar. Wie lautet dieser Ausdruck explizit f¨ur Polarkoordinaten?

Ubung 2.2:¨ a) Zeigen Sie, dass f¨ur die Zusammenhangskoeffizienten Γ^i,_kl die folgenden Transformationsgleichungen gelten:

Γⁱ_k⁰0l⁰ = Λⁱ_m⁰ Λⁿ_k0Λ^p_l0Γ^m_np+ Λⁱ_m⁰ ∂

∂x^l0Λ^m_k0

!

, (3)

= Λⁱ_m⁰ Λⁿ_k⁰Λ^p_l0Γ^m_np−Λ^p_l0Λ^m_k⁰ ∂

∂x^pΛⁱ_m⁰ . (4) Anleitung: Verwenden Sie~e_i⁰ = Λ^m_i0~e_m in der Definitionsgleichung∇_~ek0(~e_j⁰) = Γⁱ_j⁰0k⁰~e_i⁰ (dreimal!).

b) Zeigen Sie, dass eine eventuell vorhandene Symmetrie in den unteren bei- den Indizes (Γ^m_np = Γ^m_pn) unter Koordinatentransformationen erhalten bleibt.

c) Zeigen Sie, dass sich der antisymmetrische Anteil S_jkⁱ = 1

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Γⁱ_jk−Γⁱ_kj (5) wie ein (1,2) Tensor transformiert (der sogannte Torsionstensor).

1

Ubung 2.3:¨ Betrachten Sie nochmals den Raum R² und definieren Sie die kovariante Ableitung mittels Γⁱ_kl ≡ 0 f¨ur i, j, k = x, y. Berechnen Sie die nichtverschwindenden Γⁱ_jk f¨ur Polarkoordinaten aus (3).

Ubung 2.4:¨ Zeigen Sie die folgenden Ausdr¨ucke f¨ur die kovariante Ableitung von Tensoren zweiter Stufe:

∇_lA^ik = ∂_lA^ik+ Γⁱ_mlA^mk+ Γ^k_mlA^im,

∇_lAⁱ_k = ∂_lAⁱ_k+ Γⁱ_mlA^m_k −Γ^m_klAⁱ_m.

Hinweis: F¨uhren Sie Bⁱ = A^ikuk ein mit einem beliebigen Vektor uk, und berechnen Sie ∇_lBⁱ.

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