Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Dr. Oliver B¨ar WS 2009/10

Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Ubungsblatt 1 ¨

Ubung 1.1:¨ Die stereographische Koordinate x⁰ f¨ur den Einheitskreis S¹ kann gem¨aß Abb. 1 eingef¨uhrt werden. Analog kann die Einheitskugel S² mittels x⁰, y⁰ parametrisiert werden.

a) Wie lautet explizit die Koordinatentransformation x⁰(x, y) und y⁰(x, y), wenn x, y die Koordinaten der Projektion auf diex-y-Ebene sind (→ VL)?

b) Berechnen Sie die Jacobische Determinante dieser Abbildung. F¨ur welche Punkte verschwindet diese?

c) Wieviel Karten enth¨alt ein Atlas von S²mindestens?

Ubung 1.2:¨ Der Zylinder R×S¹ kann mit einer einzigen Karte parametri- siert werden. Konstruieren Sie explizit die Koordinatenfunktion.

Ubung 1.3:¨ Der TorusT² =S¹×S¹ist eine zweidimensionale Mannigfaltig- keit und kann mit Hilfe zweier Winkel parametrisiert werden (siehe Abb. 2.

a) Wie lautet die Koordinatenfunktion explizit?

b) Wieviele Karten enth¨alt ein Atlas mindestens?

Ubung 1.4:¨ Zeigen Sie, dass die Polarkoordinaten

(PK 1) ~e_r = cosθ~e_x+ sinθ~e_y, (1) (PK 2) ~e_θ = −rsinθ~e_x+rcosθ~e_y, (2) eine Koordinatenbasis f¨ur den Tangentialraum des R² bilden, w¨ahrend dies f¨ur die normierten Polarkkordinaten mit

(PK 2⁰) ~e_θ = −sinθ~e_x+ cosθ~e_y (3) nicht der Fall ist.

1

z

x x'

p  S1

Abbildung 1: Stereographische Koordinate x⁰ f¨ur S¹.

φ y

x R

a)

θ

r

x z

b)

Abbildung 2: Der Torus in der Aufsicht (a) und im Querschnitt (b). Para- metrisierung durch die Winkel θ und ϕ.

2