Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Dr. Oliver B¨ar WS 2009/10

Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie

Ubungsblatt 4 ¨

Ubung 4.1:¨ Berechnen Sie f¨ur einen Kreis auf der Kugeloberfl¨ache S² die Zahl π, definiert als Verh¨altnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser. Ist dieses π gr¨oßer oder kleiner als 3.1415. . .?

Ubung 4.2:¨ Zeigen Sie

[∇m,∇n]T^rs = R^r_lmnT^ls+R^s_lmnT^rl+ 2S^l_mn∇lT^rs, (1) wobei R^r_lmn der Riemanntensor, S^l_mn der Torsionstensor ist.

Ubung 4.3:¨ Zeigen Sie, dass es zu jeder reellen, quadratischen, symmetri- schen Matrix A eine nichtsingul¨are quadratische Matrix B existiert mit der Eigenschaft

A = BDB^T, (2)

wobei D eine Diagonalmatrix ist mit Matrixelementen D_ii ∈ {−1,0,1}.

(Hinweis: Starten Sie mit Ihren Kenntnissen der linearen Algebra, dass ei- ne reelle symmetrische Matrix mit einer orthogonalen Matrix diagonalisiert werden kann.)

Ubung 4.4:¨ F¨ur die zweidimensionale Kugeloberfl¨ache mit Radius R, pa- rametrisiert durch die ¨ublichen Kugelkoordinaten θ, ϕ, lautet die induzierte Metrik

g_θθ =R², g_ϕϕ=R²sin²θ , g_θϕ =g_ϕθ = 0. (3) Berechnen Sie die Wegl¨ange zwischen den Punkten P = (θ=θ0, ϕ = 0) und Q= (θ=θ₀, ϕ =π),θ₀ ∈(0, π/2], entlang zweier Wege (siehe Abb. 1):

a) γ₁: θ_c = konstant,

b) γ2: ϕ= st¨uckweise konstant (0 und π).

Wie groß ist der Abstand s(P, Q)?

1

x y

P Q

γ1

γ2

y z

P Q

γ1

γ2

θ₀

Abbildung 1: Aufsicht (links) und Seitenansicht (rechts) der Kugeloberfl¨ache mit den beiden Wegen γ₁ und γ₂.

Ubung 4.5:¨ Betrachten SieR² in Polarkoordinaten r, ϕ. Die Komponenten des metrischen Tensors lauten

g_rr = 1, g_ϕϕ=r², g_rϕ =g_ϕr = 0. (4) a) Berechnen Sie die Christoffelsymbole und vergleichen Sie mit Ihrem Er- gebnis aus Aufgabe 3.1.

b) Berechnen Sie den Laplaceoperator ∇²φ eines Skalarfeldes φ,

∇²φ = g^ij∇_i∇_jφ , i, j =r, ϕ . (5) c) Berechnen Sie den Riemanntensor.

Ubung 4.6:¨ Betrachten Sie eine allgemeinediagonaleMetrik. Zeigen Sie dass die Christoffelsymbole gegeben sind durch die Ausdr¨ucke (keine Summation uber doppelt vorkommende Indizes!)¨

Γⁱ_jk = 0, (6)

Γⁱ_jj = − 1

2g_ii∂_ig_jj, (7)

Γⁱ_ji = ∂_j lnp

|g_ii|

, (8)

Γⁱ_ii = ∂i

lnp

|gii|

. (9)

2