Dr. Oliver B¨ar WS 2009/10
Einf¨ uhrung in die Allgemeine Relativit¨ atstheorie
Ubungsblatt 5 ¨
Ubung 5.1:¨ Betrachten Sie die Kugeloberfl¨ache S2, parametrisiert durch Kugelkoordinaten (θ, ϕ), und mit der Metrik aus Aufgabe 4.4.
a) Berechnen Sie die Christoffelsymbole und den Riemanntensor. Wieviel un- abh¨angige Komponenten hat dieser?
b) Berechnen Sie den Ricci-Tensor und den Ricci-Skalar. Vergleichen Sie letz- teren mit der sogenanntenGaußschen Kr¨ummung K = 1/R2 der Kugelober- fl¨ache.
Ubung 5.2:¨ a) Zeigen Sie, dass die induzierte Metrik f¨ur den zweidimensio- nalen Torus aus Aufgabe 1.3. gegeben ist durch
gθθ =r2, gϕϕ= (R+rsinθ)2, gθϕ =gϕθ = 0. (1) b) Berechnen Sie die Christoffelsymbole, Riemanntensor und den Ricciskalar.
Vergleichen Sie mit dem Ergebnis der vorigen Aufgabe.
Ubung 5.3:¨ Berechnen Sie die induzierte Metrik und den Riemanntensor f¨ur den Zylinder R×S1 (vgl. Aufgabe 1.2.) und zeigen Sie, dass diese Man- nigfaltigkeit flach ist. (Die Wahl der Koordinaten ist Ihnen freigestellt).
Ubung 5.4:¨ Zeigen Sie, dass die Anzahl der unabh¨angigen Komponenten des Riemanntensors (f¨urn-dimensionale Mannigfaltigkeiten) durch
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12n2(n2 −1) (2)
gegeben ist. Hinweise: a) Fassen Sie den Riemanntensor Rijkl als quadrati- sche Matrix Mab auf mit den Indizes a = (ij) und b = (kl). Verwenden Sie die Symmetrieeigenschaften des Riemanntensors und ¨uberlegen Sie sich, wie viele unabh¨angige Werte die Indizesa, bannehmen k¨onnen. b) Ein total anti- symmetrischer Tensor vierter Stufe hatn(n−1)(n−2)(n−3)/4! unabh¨angige Komponenten.
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