Zeigen Sie Lemma 1.17 aus der Vorlesung:

Einf¨ uhrung in die numerische Mathematik

Sommersemester 2017 Prof. Dr. Sven Beuchler Dr. Markus Siebenmorgen

Aufgabenblatt 3. Abgabedatum: 09.05.2017.

Aufgabe 1. (Projektionsoperator)

Zeigen Sie Lemma 1.17 aus der Vorlesung:

Es sei X ⊂ R ^d nichtleer, abgeschlossen und konvex. Dann gilt hx − y, P _X (x) − P _X (y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ R ^d . Falls P _X (x) 6= P _X (y), gilt sogar die strikte Ungleichung.

(4 Punkte) Aufgabe 2. (Tangentialkegel und Normalkegel)

Zu einem Tangentialkegel T _X (x) kann man den zugeh¨ origen Normalkegel als polaren Kegel N _X (x) =

v ∈ R ^d | ∀u ∈ T _X (x) : v ^T u ≤ 0 definieren.

Zeigen Sie dazu folgende Aussagen:

a) Der Tangentialkegel ist ein abgeschlossener Kegel.

b) Der Normalkegel ist ein konvexer abgeschlossener Kegel.

Bemerkung: Eine Teilmenge M eines K-Vektorraumes (K geordneter K¨ orper) heißt (linearer) Kegel, wenn f¨ ur jedes x ∈ M und jedes λ ∈ K, λ ≥ 0 auch λx ∈ M ist.

(4 Punkte) Aufgabe 3. (KKT-Bedingungen)

Gegeben seien die Funktionen f : R ² → R und g : R ² → R ² mit f (x, y) := x ² + y ² − 6x − 4y und g(x, y) :=

y − 2 x + y − 3

.

L¨ osen Sie das nichtlineare Optimierungsproblem f (x, y) → min! auf M :=

(x, y) ∈ R ² : g(x, y) ≤ 0 unter Verwendung der Bedingungen von Karush, Kuhn und Tucker.

(4 Punkte)

Aufgabe 4. (Minimierung unter affinen Nebenbedingungen) Vorgelegt sei das Minimierungsproblem

x∈ min R

x 1 − 3

2 2

+ (x 2 − t) ⁴ unter der Nebenbedingung









1 − x ₁ − x ₂ 1 − x ₁ + x ₂ 1 + x 1 − x 2

1 + x ₁ + x ₂









≥ 0

wobei der Parameter t ∈ R noch zu bestimmen ist.

a) F¨ ur welche Werte von t erf¨ ullt der Punkt x ^? = [1, 0] ^T die KKT-Bedingungen?

b) Zeigen Sie, dass f¨ ur t = 1 nur die erste Nebenbedingung an der L¨ osung aktiv ist und finden Sie die L¨ osung.

(4 Punkte) Programmieraufgabe 1. (Quadratisches Programm)

Wir betrachten ein Optimierungsproblem der Form

x∈ min R

f(x) = 1

2 x ^| Qx + c ^| x + γ, NB: b ^| _j x = β _j (j = 1, . . . , p)

wobei Q ∈ R ^n×n symmetrisch, c, b j ∈ R ⁿ und γ, β j ∈ R f¨ ur j = 1, . . . , p gilt. Es han- delt sich hierbei um ein sogenanntes quadratisches Programm mit Gleichheitsrestriktio- nen. Man kann nun zeigen, dass f¨ ur ein lokales Minimum x ^∗ dieses Optimierungsprob- lems Lagrange-Multiplikatoren µ ^∗ _j ∈ R existieren, so dass das Paar (x ^∗ , µ ^∗ ) den KKT- Bedingungen

Qx + c +

p

X

j=1

µ _j b _j = 0

b ^| _j x = β _j (j = 1, . . . , p) gen¨ ugt.

a) Schreiben Sie die obigen KKT-Bedingungen als lineares Gleichungssystem um.

b) Betrachten Sie nun das folgende Beispiel:

x∈ min R

f (x) = 5

2 x ² ₁ − 2x ₁ x ₂ − x ₁ x ₃ + 2x ² ₂ + 3x ₂ x ₃ + 5

2 x ² ₃ − 21x ₁ − 60x ₂ − 46x ₃ + 5 N B : − x 1 + x 2 − x 3 = −5, 5x 1 + 3x 2 + x 3 = 37.

Schreiben Sie hierzu ein MATLAB Programm, welches eine KKT-Punkt sowie die dazugeh¨ origen Lagrange-Multiplikatoren bestimmt.

(8 Punkte)

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Die Abgabe der Programmieraufgabe erfolgt in den Cip-Pools am 16.05.2017 und 17.05.2017. Die Listen f¨ ur die Anmeldung zu den Abgabe-Terminen h¨ angen in der Woche vom 08.05.2017–12.05.2017 aus.

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