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Was man mit dem Pumping-Lemma f¨ur regul¨are Sprachen zeigen (oder auch nicht zeigen) kann

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Academic year: 2022

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Was man mit dem Pumping-Lemma f¨ ur regul¨are Sprachen zeigen (oder auch nicht zeigen) kann

Wiebke Petersen

Das Pumping-Lemma f¨ur regul¨are Sprachen besagt, dass es f¨ur jede unendliche regul¨are Sprache eine Grenzengibt, so daß es zu jedem Wortwder Sprache, das mindestens die L¨angenhat, eine Zerlegung in drei Teile gibt (w= uvw), so dass jedes der Worteuviw(miti≥0) ein Wort der Sprache ist. (Hierbei ist n die Anzahl der Zust¨ande in einem minimalen endlichen Automaten, der die Sprache akzeptiert).

Das Pumping-Lemma macht also eine “wenn-dann-Aussage”: Wenn die Spra- che unendlich und regul¨ar ist, dann m¨ussen lange W¨orter, wenn sie geeignet zerlegt werden, pumpbar sein.

Das Pumping-Lemma f¨ur regul¨are Sprachen besagt nicht

• dass jede beliebige Zerlegung pumpbar sein muss.

Beispiel: Die SpracheL, die aus allen W¨ortern ¨uber dem Alphabet{a, b}

mit einer ungeraden Anzahl vonb’s besteht ist regul¨ar (es gibt einen end- lichen Automaten mit 2 Zust¨anden, der die Sprache akzeptiert). Das Wort aba ist ein Wort der Sprache, allerdings ist die Zerlegung u=a, v =b, w=anicht pumpbar, da zum Beispielab2a=abbakein Wort der Sprache ist.

Es gibt aber eine pumpbare Zerlegung von aba, n¨amlich u= ab, v = a, w=.

• dass eine Sprache, die nicht regul¨ar ist nicht pumpbar sein kann.

Beispiel: Jedes nichtleere Wort der SpracheLpalder Palindrome ¨uber dem Alphabet{a, b}kann in seiner Mitte aufgepumpt werden. Das Wortababa ist ein Palindrom, zerlegt man esu=ab,v=a,w=ba, so ist jedes Wort uviw(miti≥1) ein Wort der Sprache Lpal.

Zur Erinnerung: Es gilt, wenn draußen die Sonne scheint ist es hell; aber aus der Tatsache, dass es hell ist, kann nicht darauf geschlossen werden, dass die Sonne scheint (eine m¨ogliche Ursache ist k¨unstliches Licht).

Um zu zeigen, dassLpalnicht regul¨ar ist, kann manLpalmit der regul¨aren Sprache L(aba) schneiden, und dann zeigen, dass Lpal ∩L(aba) = L(anban) nicht regul¨ar ist. W¨areLpalregul¨ar, dann m¨usste, da der Schnitt zweier regul¨arer Sprachen regul¨ar ist, auch L(anban) regul¨ar sein. Ein Wort ausL(anban) kann jedoch nicht so in u, v, w zerlegt werden, dass jedes der Worteuviw (miti≥1) ein Wort von L(anban) ist. Sobald bei der Zerlegung ein einziges b in v vorkommt, kommen inuviw f¨ur i ≥2 zuviele b’s vor. Kommen in v jedoch nura’s vor, so stimmt die Zahl der a’s am Anfang und am Ende des Wortes nicht mehr ¨uberein.

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