Lin Alg I – WS 11/12

Studienvertretung Mathematik

Karl-Franzens Universität Graz

mathe

Lin Alg I – WS 11/12

(1) a) Wie ist lineare Unabhängigkeit definiert?

b) SeiV ein Vektorraum über K undA⊆V eine Teilmenge. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) Aist linear unabhängig.

(i) Der Nullvektor hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von Elementen ausA(Welche?).

(i) Jeder Vektor in der linearen Hülle vonAhat eine eindeutige Darstellung als Linear- kombination von Elementen ausA.

c) Bestimme eine maximale linear unabhängige Teilmenge der menge

{(0, 1,−1, 1),(1, 1,−1, 1),(−1, 0, 0, 2),(0,−1, 1, 1),(−1, 1,−1, 1),(1, 2,−2, 0)}

desR⁴.

(8P.) (2) a) Was versteht man unter der Matrixdarstellung einer linearen Abbildung? Wie findet man

die Einträge der Matrix?

b) Bestimme die Matrixdarstellung der linearen Abbildung

f:R[x]3→R[x]2

p(x)7→p⁰(x) −p(0)x

bezüglich der Basen{1,x,x²,x³}⊆R[x]3und{1, 1−x, 1−x+x²}⊆R[x]2.

(6P.) (3) Sei Beine beliebige m×nMatrix über KundA undCreguläre Matrizen vom Format

m×mbzw.n×n. Zeige, dass der Rang vonABCgleich ist dem Rang vonB.

(6P.)

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