Studienvertretung Mathematik
Karl-Franzens Universität Graz
mathe
Lin Alg II – SoSe 12
Lineare Algebra II PS-Endklausur vom 2.7.2012(1) Bestimme die Jordansche Normalform J der Matrix
A=
1 1 −1
4 1 −2
8 4 −5
und eine MatrixV, sodassJ=V−1AV. Hinweis: Der einzige Eigenwert ist −1.
(5P.) (2) SeiUder von den Vektoren
{(1,−1, 1, 1),(1,−1, 0, 0),(1, 1,−1,−1)} aufgespannte Unterraum desR4.
a) Bestimme eine Orthonormalbasis von Ubezüglich des kanonischen Skalarprodukts.
b) Bestimme die Matrix der Orthogonalprojektion aufU.
c) Bestimme eine Orthonormalbasis des orthogonalen Komplements vonU.
(5P.) (3) SeiV ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Seif:V→V eine Abbildung und
W⊆V invariant unterf. Zeige, dassW⊥ unterf∗ invariant ist.
(5P.) (4) Sei V ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum über R. Es seien zwei Vektoren u,v∈Vsowie eine Orthonormalbasisb1,b2, . . . ,bnvonVgegeben. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) u=v
(ii) hu,wi=hv,wifür allew∈V.
(iii) hu,bii=hv,biifür alle i∈{1, 2, . . . ,n}.
(5P.) (5) Sei A ∈ Rn×n schiefsymmetrisch (At = −A). Zeige, dass I+A invertierbar und (I+
A)−1(I−A)orthogonal ist.
(5P.)
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