HHU D ¨USSELDORF Mathematisches Institut
Alejandra Garrido 12. Dezember 2017
Seminar zur Darstellungs- und Charaktertheorie endlicher Gruppen Blatt 4
Ubung 1¨
Bestimmen Sie wie folgt die Charaktertafel der Gruppe S4.
1. Bestimmen Sie die Konjugationsklassen der Gruppe S4 und ihre jeweiligen M¨achtigkeiten.
2. Zeigen Sie, dassV4 =h(12)(34),(13)(24)i ein Normalteiler vonS4 ist, mitS4/V4 ∼=D6. 3. Finden Sie drei irreduzible Charaktere derS4.
4. Zeigen Sie: Die Funktion χ4: S4 → C, die durch χ4(g) = |fix(g)| − 1 definiert ist, liefert einen irreduziblen Charakter von S4. Hierbei bezeichnet |fix(g)| die Anzahl der Fixpunkte von g ∈S4 bzgl. der Wirkung von S4 auf der Menge {1,2,3,4}.
5. Bestimmen Sie nun den Rest der Charatertafel, indem Sie die Orthogonalit¨atsrelationen nut- zen.
Ubung 2¨
Folgen Sie derselben Strategie wie oben, um die Charaktertafel der Gruppe A4 zu konstruiren.
(Achten Sie dabei auf die Anzahl der Konjugationsklassen!) Ubung 3¨
In Ihrem neuen Job als Charaktertafeltechnikerin erhalten Sie die folgende besch¨adigte Charak- tertafel mit Konjugationsklassenrepr¨asentanten g1, . . . , g5:
g1 g2 g3 g4 g5
|{gGi }| 1 3 3 7 7
χ1 1 1 1 ω ω¯
χ2 3 ζ ζ¯ 0 0
wobeiω = −1+
√−3
2 und ζ = −1+
√−7 2 sind.
Die Kundin hat vergessen, um welche Gruppe es sich handelt. Finden Sie die fehlenden Zeilen der Tafel und beschreiben Sie die Gruppe (indem Sie z.B. eine Pr¨sentierung derselben angeben).
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