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H17: Es seien X ein normierter Raum und C ⊂X konvex und abgeschlossen mit 0∈/ C

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J. M¨uller / P. Beise Wintersemester 2009/2010 02.12.2009

6. ¨Ubung Funktionalanalysis und partielle Differenzialgleichungen Abgabe: Bis Dienstag, 08.12.2009 um 8:30 Uhr im Kasten 12

H16: Ein metrischer Raum (X, d) heißt separabel, falls eine abz¨ahlbare dichte Teilmenge existiert.

Zeigen Sie:

a) Ist X ein normierter Raum so, dass lin span (A) dicht in X ist f¨ur eine abz¨ahlbare Menge A⊂X, so ist X separabel.

b) c₀ und `_p (1≤p <∞) sind separabel,`_∞ ist nicht.

H17: Es seien X ein normierter Raum und C ⊂X konvex und abgeschlossen mit 0∈/ C.

Uberlegen Sie sich, dass dann ein¨ x⁰ ∈X⁰ existiert mit

y∈Cinf Re (<y, x⁰>) > 0.

H18: Beweisen Sie die 1. Greensche Formel aus B. 5.5 der Vorlesung.

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konstanter Faktor [C · f (x)] 0 = C · f 0 (x) algebr. Summe [f (x) ± g(x)] 0 = f 0 (x) ± g 0 (x) Produktregel [u(x) · v(x)] 0 = u 0 v + v 0 u Quotientenregel [ u(x)

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2 Es sei (X, k k) ein normierter Raum, a ∈ X und r > 0. Zeige:

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(c(x)u 0 (x)) 0 = 1 (x ∈ (0, 1)), u(0) = u(1) = 0 (1) bearbeitet werden. Aus Messwerten von u an verschiedenen Orten x i ∈ (0, 1) wollen wir dabei die Wärmeleitfähigkeit c(x) > 0 rekonstruieren.

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