Extra-Quiz zur Analysis 1

(1)

Mathematisches Institut, WWU Münster Karin Halupczok

WiSe 2011/2012

Weitere Quizfragen zu diversen Analysis 1-Themen

(2)

Fragen zu Funktionen und ihre Eigenschaften wie Monotonie, In- und Surjektivität

1 Fragen zu Funktionen und ihre Eigenschaften wie Monotonie, In- und Surjektivität

2 Fragen zu Folgen und ihre Konvergenz 3 Fragen zur Reihenkonvergenz

4 Fragen zu Grenzwerten von Funktionen und Stetigkeit

(3)

Frage 1

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = e ^x ist injektiv.

wahr falsch

(4)

Frage 1

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = e ^x ist injektiv.

(5)

Frage 2

Die Funktion f : C → C, f ( z ) = e ^z ist injektiv.

wahr falsch

(6)

Frage 2

Die Funktion f : C → C, f ( z ) = e ^z ist injektiv.

(7)

Frage 3

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = x ² − 3 ist bijektiv.

wahr falsch

(8)

Frage 3

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = x ² − 3 ist bijektiv.

(9)

Frage 4

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = 1 − x ³ ist injektiv.

wahr falsch

(10)

Frage 4

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = 1 − x ³ ist injektiv.

(11)

Frage 5

Die Funktion f : R → R, f ( x ) =

( x , x ∈ Q ,

x ³ , x 6∈ Q, ist injektiv.

wahr falsch

(12)

Frage 5

Die Funktion f : R → R, f ( x ) =

( x , x ∈ Q ,

x ³ , x 6∈ Q, ist injektiv.

(13)

Frage 6

Ist f : R → R streng monoton und surjektiv, so ist f auch bijektiv.

wahr falsch

(14)

Frage 6

Ist f : R → R streng monoton und surjektiv, so ist f auch bijektiv.

(15)

Frage 7

Die Funktion f : R > 0 → R, f ( x ) = ^√ ¹ _x ist streng monoton fallend.

wahr falsch

(16)

Frage 7

Die Funktion f : R > 0 → R, f ( x ) = ^√ ¹ _x ist streng monoton fallend.

(17)

Frage 8

Die Funktion f : R > 1 → R, f (x ) = p

log x, besitzt eine Umkehrfunktion (deniert auf dem Bild von f ).

wahr falsch

(18)

Frage 8

Die Funktion f : R > 1 → R, f (x ) = p

log x, besitzt eine

Umkehrfunktion (deniert auf dem Bild von f ).

(19)

Frage 9

Seien I , J ⊆ R Intervalle und g : I → R, f : J → R Funktionen mit g ( I ) ⊆ J. Sind f und g beide streng monoton wachsend, so ist f ◦ g streng monoton wachsend.

wahr falsch

(20)

Frage 9

Seien I , J ⊆ R Intervalle und g : I → R, f : J → R Funktionen mit

g ( I ) ⊆ J. Sind f und g beide streng monoton wachsend, so ist

f ◦ g streng monoton wachsend.

(21)

Frage 10

Für alle a ∈ R > 0 ist die Funktion f : R → R, f (x ) = a ^x streng monoton wachsend.

wahr falsch

(22)

Frage 10

Für alle a ∈ R > 0 ist die Funktion f : R → R, f (x ) = a ^x streng

monoton wachsend.

(23)

Fragen zu Folgen und ihre Konvergenz

1 Fragen zu Funktionen und ihre Eigenschaften wie Monotonie, In- und Surjektivität

2 Fragen zu Folgen und ihre Konvergenz 3 Fragen zur Reihenkonvergenz

4 Fragen zu Grenzwerten von Funktionen und Stetigkeit

5 Fragen zu Dierenzierbarkeit und Extremwerten

6 Fragen zum Riemann-Integral

(24)

Frage 1

Sei (a _n ) _n ∈ N eine monoton fallende Folge mit nur positiven

Folgengliedern. Dann ist ( a n ) _n ∈ N konvergent.

(25)

Frage 1

Sei (a _n ) _n ∈ N eine monoton fallende Folge mit nur positiven Folgengliedern. Dann ist ( a n ) _n ∈ N konvergent.

wahr × falsch

(26)

Frage 2

Sei (a _n ) _n ∈ N eine Nullfolge und (b _n ) _n ∈ N eine beschränkte Folge.

Dann ist ( a n b n ) _n ∈ N eine Nullfolge.

(27)

Frage 2

Sei (a _n ) _n ∈ N eine Nullfolge und (b _n ) _n ∈ N eine beschränkte Folge.

Dann ist ( a n b n ) _n ∈ N eine Nullfolge.

wahr × falsch

(28)

Frage 3

Sei ( a n ) _n ∈ N eine Nullfolge und ( b n ) _n ∈ N eine beschränkte Folge aus reellen Zahlen b n 6= 0 für alle n ∈ N. Dann ist ( _b ^a

ⁿ

n

) _n ∈ N eine

Nullfolge.

(29)

Frage 3

Sei ( a n ) _n ∈ N eine Nullfolge und ( b n ) _n ∈ N eine beschränkte Folge aus reellen Zahlen b n 6= 0 für alle n ∈ N. Dann ist ( _b ^a

ⁿ

n

) _n ∈ N eine Nullfolge.

wahr falsch ×

(30)

Frage 4

Existiert ein q > 0 mit p

ⁿ

| a _n | ≤ q für alle n ∈ N, so ist (a _n ) _n ∈ N

eine Nullfolge.

(31)

Frage 4

Existiert ein q > 0 mit p

ⁿ

| a _n | ≤ q für alle n ∈ N, so ist (a _n ) _n ∈ N

eine Nullfolge.

wahr falsch ×

(32)

Frage 5

Ist (a _n ) _n ∈ N konvergent und ist b _n = a _n

2

für alle n ∈ N, so ist

lim n →∞ a n = lim n →∞ b n .

(33)

Frage 5

Ist (a _n ) _n ∈ N konvergent und ist b _n = a _n

2

für alle n ∈ N, so ist lim n →∞ a n = lim n →∞ b n .

wahr × falsch

(34)

Frage 6

Für jedes c ∈ R gibt es Folgen ( a n ) _n ∈ N und ( b n ) _n ∈ N derart, dass

lim n →∞ a n b n = c, ( a n ) _n ∈ N bestimmt divergiert und ( b n ) _n ∈ N eine

Nullfolge ist.

(35)

Frage 6

Für jedes c ∈ R gibt es Folgen ( a n ) _n ∈ N und ( b n ) _n ∈ N derart, dass lim n →∞ a n b n = c, ( a n ) _n ∈ N bestimmt divergiert und ( b n ) _n ∈ N eine Nullfolge ist.

wahr × falsch

(36)

Frage 7

Eine Folge (a _n ) _n ∈ N konvergiert genau dann, wenn die beiden

Teilfolgen ( a 2n ) _n ∈ N und ( a 2n + 1 ) _n ∈ N konvergieren.

(37)

Frage 7

Eine Folge (a _n ) _n ∈ N konvergiert genau dann, wenn die beiden Teilfolgen ( a 2n ) _n ∈ N und ( a 2n + 1 ) _n ∈ N konvergieren.

wahr falsch ×

(38)

Frage 8

Eine Folge (a _n ) _n ∈ N konvergiert genau dann, wenn die drei

Teilfolgen ( a 2n ) _n ∈ N , ( a 2n + 1 ) _n ∈ N und ( a 3n ) _n ∈ N konvergieren.

(39)

Frage 8

Eine Folge (a _n ) _n ∈ N konvergiert genau dann, wenn die drei Teilfolgen ( a 2n ) _n ∈ N , ( a 2n + 1 ) _n ∈ N und ( a 3n ) _n ∈ N konvergieren.

wahr × falsch

(40)

Frage 9

Sind ( a n ) _n ∈ N und ( b n ) _n ∈ N zwei konvergente Folgen mit Grenzwert

c ∈ R und ist ( c _n ) _n ∈ N eine Folge, so dass a _n ≤ c _n ≤ b _n für alle

hinreichend groÿen n gilt, so ist auch (c _n ) _n ∈ N konvergent mit

Grenzwert c.

(41)

Frage 9

Sind ( a n ) _n ∈ N und ( b n ) _n ∈ N zwei konvergente Folgen mit Grenzwert c ∈ R und ist ( c _n ) _n ∈ N eine Folge, so dass a _n ≤ c _n ≤ b _n für alle hinreichend groÿen n gilt, so ist auch (c _n ) _n ∈ N konvergent mit Grenzwert c.

wahr × falsch

(42)

Frage 10

In M = { ^p _q ∈ Q | p, q ∈ N, p ² ≤ 2q ² } existiert eine Folge (a _n ) _n ∈ N

mit lim n →∞ a n = 2.

(43)

Frage 10

In M = { ^p _q ∈ Q | p, q ∈ N, p ² ≤ 2q ² } existiert eine Folge (a _n ) _n ∈ N

mit lim n →∞ a n = 2.

wahr falsch ×

(44)

Extra-Quiz zur Analysis 1 Fragen zur Reihenkonvergenz

1 Fragen zu Funktionen und ihre Eigenschaften wie Monotonie, In- und Surjektivität

2 Fragen zu Folgen und ihre Konvergenz 3 Fragen zur Reihenkonvergenz

4 Fragen zu Grenzwerten von Funktionen und Stetigkeit

(45)

Frage 1

Die Reihe P ∞ n = 2 1

log n konvergiert.

wahr falsch

(46)

Frage 1

Die Reihe P ∞ n = 2 1

log n konvergiert.

(47)

Frage 2

Ist ( a _n ) _n ∈ N konvergent, so konvergiert auch P ∞ n = 1 2a _n .

wahr falsch

(48)

Frage 2

Ist ( a _n ) _n ∈ N konvergent, so konvergiert auch P ∞

n = 1 2a _n .

(49)

Frage 3

Die Reihe P ∞ n = 1 (− 1 )

ⁿ

n ! konvergiert absolut.

wahr falsch

(50)

Frage 3

Die Reihe P ∞ n = 1 (− 1 )

ⁿ

n ! konvergiert absolut.

(51)

Frage 4

Die Reihe P ∞

n = 2 (− 1 )

ⁿ

log ( log n ) konvergiert absolut.

wahr falsch

(52)

Frage 4

Die Reihe P ∞

n = 2 (− 1 )

ⁿ

log ( log n ) konvergiert absolut.

(53)

Frage 5

Die Reihe P ∞

n = 2 log ( n ) e ⁻ ⁿ konvergiert absolut.

wahr falsch

(54)

Frage 5

Die Reihe P ∞

n = 2 log ( n ) e ⁻ ⁿ konvergiert absolut.

(55)

Frage 6

Eine Reihe P ∞

n = 0 a _n mit a _n ≥ 0 für alle n ∈ N ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

wahr falsch

(56)

Frage 6

Eine Reihe P ∞

n = 0 a _n mit a _n ≥ 0 für alle n ∈ N ist genau dann

konvergent, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

(57)

Frage 7

Eine Reihe P ∞

n = 0 a n konvergiert absolut, falls es eine absolut konvergente Reihe P ∞

n = 0 b n mit | a n | ≤ | b n | für alle hinreichend groÿen n ∈ N gibt.

wahr falsch

(58)

Frage 7

Eine Reihe P ∞

n = 0 a n konvergiert absolut, falls es eine absolut konvergente Reihe P ∞

n = 0 b n mit | a n | ≤ | b n | für alle hinreichend

groÿen n ∈ N gibt.

(59)

Frage 8

Die Reihe P ∞

n = 0 a _n konvergiert genau dann, wenn (a _n ) _n ∈ N eine Nullfolge ist.

wahr falsch

(60)

Frage 8

Die Reihe P ∞

n = 0 a _n konvergiert genau dann, wenn (a _n ) _n ∈ N eine

Nullfolge ist.

(61)

Frage 9

Die Reihe P ∞

n = 0 a _n konvergiert genau dann, wenn P ∞ n = 0 2 ⁿ a ₂

ⁿ

konvergiert.

wahr falsch

(62)

Frage 9

Die Reihe P ∞

n = 0 a _n konvergiert genau dann, wenn P ∞

n = 0 2 ⁿ a ₂

ⁿ

konvergiert.

(63)

Frage 10

Sei ( a n ) _n ∈ N eine monotone Nullfolge nichtnegativer reeller Zahlen.

Dann gilt: Die Reihe P ∞

n = 0 a n konvergiert genau dann, wenn P ∞

n = 0 2 ⁿ a ₂

ⁿ

konvergiert.

wahr falsch

(64)

Frage 10

Sei ( a n ) _n ∈ N eine monotone Nullfolge nichtnegativer reeller Zahlen.

Dann gilt: Die Reihe P ∞

n = 0 a n konvergiert genau dann, wenn P ∞

n = 0 2 ⁿ a ₂

ⁿ

konvergiert.

(65)

Fragen zu Grenzwerten von Funktionen und Stetigkeit

1 Fragen zu Funktionen und ihre Eigenschaften wie Monotonie, In- und Surjektivität

2 Fragen zu Folgen und ihre Konvergenz 3 Fragen zur Reihenkonvergenz

4 Fragen zu Grenzwerten von Funktionen und Stetigkeit

5 Fragen zu Dierenzierbarkeit und Extremwerten

6 Fragen zum Riemann-Integral

(66)

Frage 1

Es gilt lim

x → 0 x sin 1 x

= 0.

(67)

Frage 1

Es gilt lim

x → 0 x sin 1 x

= 0.

wahr × falsch

(68)

Frage 2

Für 0 < a < 1 existiert der Grenzwert lim

x → 0 ( 2 − a ¹ ^/ ^x ) ^x .

(69)

Frage 2

Für 0 < a < 1 existiert der Grenzwert lim

x → 0 ( 2 − a ¹ ^/ ^x ) ^x .

wahr × falsch

(70)

Frage 3

Der Grenzwert lim _x → 0 f (x ) einer reellen Funktion f existiert genau

dann, wenn lim x → 0 f (| x |) existiert.

(71)

Frage 3

Der Grenzwert lim _x → 0 f (x ) einer reellen Funktion f existiert genau dann, wenn lim x → 0 f (| x |) existiert.

wahr falsch ×

(72)

Frage 4

Der Grenzwert lim _x → 0 f (x ) einer reellen Funktion f existiert genau

dann, wenn lim x → 0 | f ( x )| existiert.

(73)

Frage 4

Der Grenzwert lim _x → 0 f (x ) einer reellen Funktion f existiert genau dann, wenn lim x → 0 | f ( x )| existiert.

wahr falsch ×

(74)

Frage 5

Der Grenzwert lim _x → 0 f (x ) einer reellen Funktion f ist gleich 0

genau dann, wenn lim x → 0 | f ( x )| = 0 ist.

(75)

Frage 5

Der Grenzwert lim _x → 0 f (x ) einer reellen Funktion f ist gleich 0 genau dann, wenn lim x → 0 | f ( x )| = 0 ist.

wahr × falsch

(76)

Frage 6

Seien f , g : [a, b] → R zwei stetige Funktionen mit f (a) > g (a)

und f ( b ) < g ( b ) . Dann gibt es ein x ∈ [ a , b ] mit f ( x ) = g ( x ) .

(77)

Frage 6

Seien f , g : [a, b] → R zwei stetige Funktionen mit f (a) > g (a) und f ( b ) < g ( b ) . Dann gibt es ein x ∈ [ a , b ] mit f ( x ) = g ( x ) .

wahr × falsch

(78)

Frage 7

Die Gleichung ₁ ₊ ¹ _x

2

= √

x hat eine positive reelle Lösung.

(79)

Frage 7

Die Gleichung ₁ ₊ ¹ _x

2

= √

x hat eine positive reelle Lösung.

wahr × falsch

(80)

Frage 8

Eine im Intervall I ⊆ R stetige Funktion f : I → R ist genau dann konvex, wenn

f x + y 2

> f ( x ) + f ( y )

2 für alle x, y ∈ I ist.

(81)

Frage 8

Eine im Intervall I ⊆ R stetige Funktion f : I → R ist genau dann konvex, wenn

f x + y 2

> f ( x ) + f ( y ) 2 für alle x, y ∈ I ist.

wahr falsch ×

(82)

Frage 9

Die Funktion f : R > 0 → R, f (x ) = x ^x , kann im Punkt x = 0 stetig

fortgesetzt werden.

(83)

Frage 9

Die Funktion f : R > 0 → R, f (x ) = x ^x , kann im Punkt x = 0 stetig fortgesetzt werden.

wahr × falsch

(84)

Frage 10

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = x − | x | ist stetig bei x = 0.

(85)

Frage 10

Die Funktion f : R → R, f ( x ) = x − | x | ist stetig bei x = 0.

wahr × falsch

(86)

Fragen zu Dierenzierbarkeit und Extremwerten

1 Fragen zu Funktionen und ihre Eigenschaften wie Monotonie, In- und Surjektivität

2 Fragen zu Folgen und ihre Konvergenz 3 Fragen zur Reihenkonvergenz

4 Fragen zu Grenzwerten von Funktionen und Stetigkeit

(87)

Frage 1

Eine dierenzierbare, streng monoton wachsende Funktion f : R → R besitzt eine dierenzierbare Umkehrfunktion (deniert auf dem Bild von f ).

wahr falsch

(88)

Frage 1

Eine dierenzierbare, streng monoton wachsende Funktion

f : R → R besitzt eine dierenzierbare Umkehrfunktion (deniert

auf dem Bild von f ).

(89)

Frage 2

Eine dierenzierbare, streng monoton wachsende Funktion hat überall auf ihrem Denitionsbereich eine nichtnegative Ableitung.

wahr falsch

(90)

Frage 2

Eine dierenzierbare, streng monoton wachsende Funktion hat

überall auf ihrem Denitionsbereich eine nichtnegative Ableitung.

(91)

Frage 3

Jede stetige Funktion f : I → R auf einem abgeschlossenen Intervall I ⊆ R ist dierenzierbar.

wahr falsch

(92)

Frage 3

Jede stetige Funktion f : I → R auf einem abgeschlossenen

Intervall I ⊆ R ist dierenzierbar.

(93)

Frage 4

Jede dierenzierbare Funktion f : I → R auf einem abgeschlossenen Intervall I ⊆ R besitzt ein Minimum und ein Maximum.

wahr falsch

(94)

Frage 4

Jede dierenzierbare Funktion f : I → R auf einem abgeschlossenen

Intervall I ⊆ R besitzt ein Minimum und ein Maximum.

(95)

Frage 5

Die Funktion f : R → R, f (x ) :=

( 0 , x ≤ 0

x ⁿ ⁺ ¹ , x > 0 ist (n + 1)-mal stetig dierenzierbar.

wahr falsch

(96)

Frage 5

Die Funktion f : R → R, f (x ) :=

( 0 , x ≤ 0

x ⁿ ⁺ ¹ , x > 0 ist (n + 1)-mal

stetig dierenzierbar.

(97)

Frage 6

Eine Funktion f : R → R heiÿt gerade, falls f (− x ) = f ( x ) für alle x ∈ R gilt. Die Ableitung einer beliebigen geraden Funktion ist gerade.

wahr falsch

(98)

Frage 6

Eine Funktion f : R → R heiÿt gerade, falls f (− x ) = f ( x ) für alle

x ∈ R gilt. Die Ableitung einer beliebigen geraden Funktion ist

gerade.

(99)

Frage 7

Für jede nahe a ∈ R zweimal dierenzierbare Funktion f : R → R gilt

f ⁰⁰ (a) = lim

h → 0

f (a + h) − 2f (a) + f (a − h)

h ² .

wahr falsch

(100)

Frage 7

Für jede nahe a ∈ R zweimal dierenzierbare Funktion f : R → R gilt

f ⁰⁰ (a) = lim

h → 0

f (a + h) − 2f (a) + f (a − h)

h ² .

(101)

Frage 8

Für jede stetig dierenzierbare Funktion f : [a, b] → R mit f ( a ) = f ( b ) existiert ein c ∈ [ a , b ] mit f ⁰ ( c ) = 0.

wahr falsch

(102)

Frage 8

Für jede stetig dierenzierbare Funktion f : [a, b] → R mit

f ( a ) = f ( b ) existiert ein c ∈ [ a , b ] mit f ⁰ ( c ) = 0.

(103)

Frage 9

Für jede stetig dierenzierbare Funktion f : [a, b] → R mit f ( a ) = f ( b ) existiert ein c ∈ [ a , b ] mit f ⁰ ( c ) > 0.

wahr falsch

(104)

Frage 9

Für jede stetig dierenzierbare Funktion f : [a, b] → R mit

f ( a ) = f ( b ) existiert ein c ∈ [ a , b ] mit f ⁰ ( c ) > 0.

(105)

Frage 10

Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes.

wahr falsch

(106)

Frage 10

Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes.

(107)

Extra-Quiz zur Analysis 1 Fragen zum Riemann-Integral

Extra-Quiz zur Analysis 1