Berechnen Sie jeweils die 1. Ableitung der Funktion f:

Berechnen Sie jeweils die 1. Ableitung der Funktion f:

1-x 2

a) f(x) = e 1 x +

x 2

b) f(x) = e +3 (x+3)

Aufgabe 1.2

Von einer Funktion f ist bekannt:

(1) f ist ein Polynom 3. Grades (2) f hat an der Stelle 0 eine Nullstelle (3) f hat an der Stelle 3 einen Extremwert (4) f hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt (5) f‘‘‘(x) = 12 für alle x ∈ R

Geben Sie die Funktionsgleichung für f an.

Aufgabe 1.3

a) Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f(x) = x sin (1+x ) ⋅

b) Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung der Funktion

2

a f(x) = x mit a

x R

+ ∈

Seite 2 von 7 Gegeben sei die Funktion

f(x) = x

− 9x

a) Geben Sie die Zerlegung von f in Linearfaktoren an.

b) Bestimmen Sie die Stellen, an denen die Funktion (1) ein relatives Minimum

(2) ein relatives Maximum (3) einen Wendepunkt annimmt

c) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion.

d) Bestimmen Sie das absolute Maximum und das absolute Minimum der Funktion auf dem Intervall [ ^{− 1,4 .} ]

Aufgabe 1.5

a) Berechnen Sie für die Funktion

2

f(x) = ln x

x − 3x die 1. Ableitung

b) Berechnen Sie für die Funktion

( )

3 2

f(x) = x x die 1. und 2. Ableitung

+

a) Berechnen Sie die 1. Ableitung dy

dx der Funktion, die gegeben ist durch:

2

1 a

y = f (x) = (log (3x + 2))

b) Überprüfen Sie, ob die 1. Ableitung der Funktion

2 1 x

1-x

f (x) 1 e

mit der Funktion g(x) = -x

e übereinstimmt.

x

−

= −

c) Zeigen Sie, daß:

[

]

ln(f (x)) x

= x-1

Seite 4 von 7 a) Es sei

3 2

f(x) = ax + bx + cx - d

Bestimmen Sie die Polynomkoeffizienten a, b, c und d aus den folgenden Angaben (1) f(0) = 0

(2) f'(0) = -15

(3) f besitzt in x = - 2 einen Wendepunkt 3

(4) die Steigung der 2. Ableitung ist (konstant) gleich 6.

b) Gegeben sei die Funktion:

3 2

f(x) = x 2x 15

(1) Berechnen Sie alle Nullstellen von f (2) Zeigen Sie f(x) in Linearfaktoren

(3) Berechnen Sie die Stelle, an der f einen Wendepunkt bestitzt.

+ − x

Aufgabe 1.8

Gegeben seien die Funktionen

x

2 2

x + 3 f(x) =

e 3

y(x) = x x 1 +

+

x

x 2

3 2

Zeigen Sie, daß jeweil die erste Ableitung dieser Funktion übereinstimmt mit 3 e (x 2)

f'(x) =

(e 3)

3x 2x

'(x)

x 1

g

⋅ +

+

= +

+

Gegeben Sei die Funktion

2 2

3x - x 2 f(x) =

x

− mit ID = IR \ {0}

(i) Zeigen Sie, daß die ersten drei Ableitungen f‘, f‘‘ und f‘‘‘ dieser Funktion übereinstimmen mit

( )

3 4 5

x - 2

4 - 3x (8 -3x)

f'(x) = , f''(x) = 6 , f'''(x) = 6

x x x

(ii) Bestimmen Sie für die gegebenen Funktion f a) den Defininitonsbereich D ,

b) die Nullstellen,

c) die Stellen, an denen relative Extremwerte angenommen werden, d) die Wendestellen,

e) die Bereiche, auf denen die Funktion monoton steigt oder fällt

f) die Bereiche, auf denen die Funktion konvex oder konkav ist.

Seite 6 von 7 Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 5, Nr. 16, SS 1998

Bilden Sie jeweils die 1. und 2. Ableitung der Funktionen

a. f x ( ) = 2 x

− 3 x

+ 12 x − 7 b. g x x ( ) = − x

−

2 1

5 3 c. h x ( ) = e

d. p x ( ) = ln ( x

) e. q p

( ) = p

+ + 1

10 3 100 f. u x ( ) = ( 2 x − 3 )

g. 4

h. w x ( ) =

log( x

)

Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 5, Nr. 17, SS 1999 Bilden Sie jeweils die 1. und 2. Ableitung der Funktionen

a. f(x) = (2x - 1)(1 - 3x

) b. g(x) = 2 x + 1 x

2 3

− 2

c. h(x) = x x + 1 d. p(x) = (3 - x

)

e. q(x) = x

+ ln (x + 3) f. v(x) = 2

- x⋅e

Geben Sie dabei stets die Definitionsmenge der Funktion und ihrer 1. und 2. Ableitung an.

Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 6, Nr. 2, SS 1998

Bilden Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f x ( ) = x (ln x − + 1 ) e

. Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 6, Nr. 14, SS 1998

a. Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion g(x, y) = x

- x

+ 2y + 3

b. Berechnen Sie mittels der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion h(t) = g(x(t), y(t)) in t

= 3

mit g(x, y) = 2x

- 7xy + 3y

x(t) = 2 - t, y(t) = t

- 4t + 7

Mathe 1 Rommelfanger, Blatt 6, Nr. 15, SS 1998 Berechnen Sie i. durch direkte Ableitung

ii. mittels der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktionen

a. h(t) = g(x(t), y(t)) in t

= 2 mit g(x, y) = x

+ 2y

, x(t) = 2t + 1, y(t) = t

b. H(t) = G(x(t), y(t), z(t)) in t

= 3, mit G(x, y, z) =

+ 2y + z

,