Berechnen Sie jeweils die komplexe Ableitung in diesen Punkten.

Ubungen zu ¨ H¨ ohere Mathematik f¨ ur Physiker III – WS 2012/13 Blatt 3 Dr. Rolf Busam/Mirko R¨ osner

Abgabe bis Freitag, den 09.11.2012, um 11:15 Uhr in den ¨ Ubungsk¨asten in INF 288.

Website: http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~mroesner/HM3

1. Wir identifizieren R ² mit C . Zeigen Sie, dass eine R -lineare Abbildung L : C → C genau dann C -linear ist, wenn L(ih) = iL(h ) f¨ur alle h ∈ R gilt. (2P) Wie sieht in diesem Fall die 2 × 2-Matrix aus, die L als R -lineare Abbildung bez¨uglich der Standardbasis (1 , i) beschreibt? (1P) 2. In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen komplex differenzierbar?

Berechnen Sie jeweils die komplexe Ableitung in diesen Punkten.

(a) f : C → C , f(z) := 2xy + i(x ² + y ² ), wobei x = Re(z), y = Im(z), (1P)

(b) g : C → C mit g(z) := sin(¯ z), (1P)

(c) h : C ^× → C mit h(z) := z z ¯ + ^z _{¯ z} . (1P)

(d) Gibt es ein Gebiet D ⊆ C , in dem f holomorph ist? (1P) 3. Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) R

γ 1

z dz f¨ur eine Kurve γ : [0, 2π] → C , definiert durch γ(t) := c cos(t) +

i sin(t) und c ∈ R _{> 0} , (2P)

(b) R

γ z sin(z)dz f¨ur eine st¨uckweise glatte Kurve γ : [a, b] → C mit γ(a) = 0

und γ(b) = i ln(2). (2P)

4. (a) Sei R > 0 und β _R (t) = R exp(it ) f¨ur 0 ≤ t ≤ ^π ₄ . Zeigen Sie:

Z

β

exp(iz ² )dz

≤ π(1 − exp( −R ² ))

4R < π

4R .

(3P) (b) Zeigen Sie R ^∞

0 cos( t ² )d t = p _π

8 = R ^∞

0 sin( t ² )d t . (4P)

Tipp: Betrachten Sie die geschlossene Kurve γ : [0, 3] → C , definiert durch

γ(t) :=



 

 

tR 0 ≤ t < 1,

R exp( ^iπ 4 (t − 1)) 1 ≤ t < 2, (3 − t ) R exp( ^iπ 4 ) 2 ≤ t ≤ 3.

Beachten Sie, dass R

γ exp(iz ² )dz = 0 (warum?) und die Absch¨atzung aus (a).