2. ¨Ubung zur Analysis IV, L¨osungsskizze Aufgaben
A 1 Beweise, dass jede monoton wachsende Funktion f : (R,B(R))→(R,B(R)) messbar ist.
Sei a ∈ R beliebig und B = f−1((−∞, a)). Wir beweisen, dass B = ∅, B = R, B = (−∞, b) oder B = (−∞, b] ist, wobei b ∈ R. Jede dieser Mengen ist Borel messbar, und daher ist die Funktion f messbar.
Wenn f(x)≥a f¨ur allex∈Rist, ist B =∅. Sei B6=∅und y∈B. Daf(x)≤f(y) f¨ur allex≤y ist, ist (−∞, y]⊆B. Damit ergibt sich B =S
y∈B(−∞, y]. Daraus folgt, dassB = (−∞, b],B = (−∞, b) oder B =Rist.
A 2 Seien X = {1,2,3,4} und A = {{1,2},{2,3,4}}. Weiter sei S die kleinste σ-Algebra in X, die A enth¨alt.
1. BestimmeS. IstS=P(X)? (Aufgabe 3, ¨Ubung 1)
2. Entscheide, ob die Funktion f : (X,S)→(R,B(R)) messbar ist, wobei (i)f(x) = (x−3)2, (ii) f(x) =
x−7 2 .
1. S ={∅,{1},{2},{3,4},{1,2},{1,3,4},{2,3,4}, X}
2. (i) Es gilt f(1) = 4, f(2) = 1, f(3) = 0, f(4) = 1. Also ist f−1(−∞,0]) ={3} 6∈ S. Damit istf nicht messbar.
(ii) Wir zeigen, dass f messbar ist. Es gilt f(1) = 52,f(2) = 32,f(3) = 12,f(4) = 12. Es ist
f−1(−∞, a) =
∅, wenna≤ 12, {3,4}, wenn 12 < a≤ 32 {2,3,4}, wenn 32 < a≤ 52 {1,2,3,4}, wenna > 52. In jedem Fall istf−1(−∞, a)∈ S und damit ist f messbar.
A 3 K Sei f : (R,B(R)) → (R,B(R)). Sei {x :f(x) = c} messbar f¨ur alle c ∈ R. Folgt daraus, dass die Funktion f(x) messbar ist?
Hinweis: Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass es aufR nicht Borel-messbare Mengen gibt.
Nein, man kann nicht daraus die Messbarkeit der Funktionf schließen. Als Gegenbeispiel betrachten wir die Funktion
g(x) =
(x, x∈E,
−x, x∈E,¯
wobei E eine nicht messbare Menge ist. Sei g−1({c}) = B. Dann ist B = ∅, B = {c,−c}, B = {c}
oder B ={−c}. Alle diesen Mengen sind messbar. Die Funktiong(x) ist genau dann messbar, wenn g−1((−∞, b]) f¨ur alle b ∈ R messbar ist. Wir w¨ahlen b = 0. Dann ist g−1((−∞,0]) = ((−∞,0]∩ E)S
([0,∞)∩E)¯ ≡A. Wir beweisen, dassA nicht messbar ist. Wir nehmen an, dass A messbar ist.
Dann ist [0,∞)∩A = [0,∞)∩E¯ messbar. Die Menge (R\([0,∞))∩E)¯ \(−∞,0] = E ∩(0,∞) ist ebenso messbar. Dann muss die Menge ((−∞,0]∩E)S
(E∩(0,∞)) = E auch messbar sein, was unserer Annahme widerspricht.
A 4 (5 Punkte) Sei X= (0,1) undA={(0,1n) |n∈N\ {0}}. Sei S die kleinsteσ-Algebra, dieAenth¨alt.
2. ¨Ubung, L¨osungsskizze 2 1. Geh¨ort 1
150,17 zuS?
2. BestimmeS. (Aufgabe 4, ¨Ubung 1)
3. Entscheide, ob die Funktion f : (X,S)→(R,B(R)) mitf(x) = x1 messbar ist.
4. Bestimme alle messbaren Funktionen f : (X,S)→(R,B(R)).
1. Ja. [1501 ,17) = (X\(0,1501 ))∩(0,17).
2. Sei An = [n+11 ,n1) mit n∈N. Dann ist An ∈ S f¨ur alle n ∈N. Damit ist S
n∈IAn ∈ S f¨ur alle I ⊂N. Aus A2 folgt, dass{S
i∈IAi |I ⊂N} eineσ-Algebra ist. Somit folgt
S = (
[
i∈I
Ai |I ⊂N )
.
3. f−1({2}) ={12} 6∈ S. Also istf nicht messbar.
4. Wir zeigen, dass f genau dann messbar ist, wenn es konstant auf den Mengen An,n∈N ist.
1. Wenn f(a)6=f(b) mita, b∈Ai, dann folgt f−1({f(a)})6∈ S.
2. Sei nunf konstant auf den MengenAi, also f(Ai) ={ai}mitai∈R. Dann istf−1(−∞, a) = S
i∈IAi, wobeiI ={i∈N |ai < a}. DaI ⊂Nfolgt f−1(−∞, a)∈ S.
A 5 (4 Punkte)
Entscheide, ob die Funktion f : (R,B(R))→(R,B(R)) messbar ist, wobei (i) f(x) =
(sin1x, f¨urx6= 0
0 sonst (ii) f(x) =
(1
q, wennx= pq, q >0, p, q teilerfremd 0 sonst
(i) Seifn(x) =
(0 fallsx∈(−πn1 ,πn1 )
sin1x sonst . Dann sindfn stetig und deshalb messbar. Da fn(x)→ f(x) f¨ur alle x∈Rist f auch messbar.
(ii) Wir definieren A0 := R\Q und Ak ={rk}, wobeirk eine Abz¨ahlung der rationalen Zahlen ist.
Dann ist nach A2
S = (
[
i∈I
Ai |I ∈ P(N) )
eine σ-Algebra mit S ⊂ B(R). Wie in A4.4. sieht man, dass Funktionen, die auf jedem Ak konstant sind,S − B(R)-messbar sind. Das ist in unserem Fall richtig. Dann ist f erst recht Borel messbar.
A 6 (3 Punkte)
1. Es sei (X,S) ein messbarer Raum undf :X→Y eine Abbildung. Zeige, dass f[S] :={A∈ P(Y) :f−1(A)∈ S}
eine σ−Algebra ist (diese heißt auchdirektes Bild vonS unterf).
2. Es seien (X1,S1),(X2,S2) messbare R¨aume undf :X1 →X2 eine Abbildung. Zeige:
f messbar⇔ S2 ⊆f[S1].
2. ¨Ubung, L¨osungsskizze 3 1. Es gilt f−1(∅) = ∅ ∈ S, also ∅ ∈ f[S]. Ist A ∈ f[S], so ist f−1(A) ∈ S, und f−1(Y \A) = f−1(Y)\f−1(A) =X\f−1(A)∈ S, was ergibt Y \A∈f[S]. Ist(An)n∈N eine Folge in f[S], so giltf−1(An)∈ S f¨ur jedes n∈N und daher
f−1([
n∈N
An) = [
n∈N
f−1(An)∈ S. Somit istS
n∈NAn∈f[S]und f[S]ist eineσ−Algebra.
2. f :X1 →X2 ist messbar genau dann, wenn f¨ur alleA∈ S2 giltf−1(A)∈ S1. Letztere Bedingung ist ¨aquivalent zu A∈f[S].
A 7 (3 Punkte)
Sei fn : (X,S) → (R,B(R)) eine Folge messbarer Funktionen. Zeige, dass die Menge L aller x ∈ X, f¨ur die limn→∞fn(x)∈R existiert, messbar ist.
Die MengeL stimmt mit der Menge aller x∈X uberein, wo die Folge¨ fn fundamental ist, d.h.
L=
∞
\
k=1
∞
[
m=1
\
n,j≥m
{x:|fn(x)−fj(x)| ≤ 1 k}.
(Diese Gleichung bedeutet: x geh¨ort der Menge L genau dann, wenn f¨ur jeden k ein m existiert, so dass f¨ur alle n, j ≥ m : |fn(x)−fj(x)| ≤ k1 gilt.) Da die Menge {x : |fn(x)−fj(x)| ≤ k1} f¨ur alle n, j, k messbar ist, giltL∈ S.
