Mathematik IV f¨ur Maschinenbau und Informatik (Stochastik) SS 07
Serie 2 Universit¨at Rostock, Institut f¨ur Mathematik
Prof. Dr.F. Liese Dr. P. Dencker
Termin: 20. April 2007 Aufgabe 1(5 Punkte)
a) Ein bestimmtes 8 -stelliges Passwortsystem sei nach folgenden Regeln aufgebaut: a) Jedes Passwort besteht genau aus 8 Symbolen. b) Die zu verwendenden Symbole sind die Ziffern 0 bis 9 und die Buchstaben a-z und A-Z. Kleine und große Buchstaben sind als unterschiedliche Symbole betrachtet. c) Es muss mindestens eine Stelle geben, die von einer Ziffer belegt wird. Interpretieren Sie mit dieser Aufgabe
X8
j=1
µ8 j
¶
10j·528−j = 628−528
kombinatorisch, d.h. zeigen Sie, dass beide Seiten der Gleichung die Anzahl der gesuchten Passw¨orter darstellen.
Wir betrachten ein Zufallsexperiment mit endlich vielen m¨oglichenErgebnissen. Die Menge dieser Ergebnisse sei Ω . EineEreignisist nach Definition eine Teilmenge von Ω . Ω ist ein Ereignis und heißtsicheres Ereig- nis und die leere Menge ∅ ist ein Ereignis und heißt unm¨ogliches Ereignis. Man sagt, ein Ereignis A ist eingetreten, wenn das Ergebnis des Versuchs ein Element von A ist und im anderen Fall A istnicht ein- getreten. Zwei Ereignissen A und B heißendisjunktoder auchunvereinbar, wenn A∩B=∅. Man sagt dann auch, dass A und B nicht gleichzeitig eintreten k¨onnen. Gilt A∩B6=∅, so sagt man, dass A und B gleichzeitig eintreten k¨onnen. Analog sagt man f¨ur Ereignisse A, B, C, dass siegleichzeitig eintreten k¨onnen, wenn A∩B∩C 6=∅ und dass sienicht gleichzeitig eintreten k¨onnen, wenn A∩B∩C =∅. DasKomplementeines Ereignisses A ist Ω\A und wird mit A bezeichnet. A tritt genau dann ein, wenn A nicht eintritt. Die Vereinigung A∪B kann beschrieben werden als ”A oder B sind eingetreten.“; das
”oder“ ist dabei nichtausschließend, d.h. A∪B tritt auch dann ein, wenn sowohl A als auch B eintreten. Der Durchschnitt A∩B kann beschrieben werden als
”A und B sind eingetreten.“.
Ein W¨urfelexperiment kann beschrieben werden durch die Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4,5,6}. Das Ereignis H =
”Das W¨urfelergebnis ist gr¨oßer als 4 .“ ist H ={5,6}. Das Ereignis U =
”Das W¨urfelergebnis ist unge- rade.“ ist U ={1,3,5}. U und H k¨onnen gemeinsam eintreten, und dies geschieht genau dann, wenn eine 5 gew¨urfelt wird.
Aufgabe 2(5 Punkte)
a) (1.5 Punkte) Geben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω durch Aufz¨ahlung aller Elemente an.
A=
”Das W¨urfelergebnis ist eine gerade Zahl.“
B=”Das W¨urfelergebnis ist durch 3 teilbar, aber keine Primzahl.“
C=
”Das W¨urfelergebnis ist eine Primzahl.“
b) (1.5 Punkte) Es wurde eine 2 gew¨urfelt. Welche der Ereignisse A, B und C sind eingetreten und welche nicht?
c) (2 Punkte) Untersuchen Sie, ob A und B, ob A und C, ob B und C sowie ob A und B und C gleichzeitig eintreten k¨onnen oder nicht.
Aufgabe 3(10 Punkte)
Das Zufallsexperiment des viermaligen Werfens einer M¨unze wird durch die Ergebnismenge Ω ={(ε1, ε2, ε3, ε4) : ε1, ε2, ε3, ε4,∈ {0,1}}
beschrieben. Dabei stehe das Ergebnis 1 f¨ur”Wappen“ und das Ergebnis 0 f¨ur ”Zahl“.
a) (3 Punkte) Geben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω durch Aufz¨ahlung aller Elemente an.
A=
”Die Anzahl von Wappen ist 3.“
B=
”Beim ersten und letzten Wurf wurde Wappen beobachtet.“
C=
”Anzahl von Zahl und Wappen sind gleich.“
b) (1.5 Punkte) Bei einer konkreten Versuchsdurchf¨uhrung ergab sich das Ergebnis ω= (1,0,0,1) . Welche der Ereignisse A, B, C sind eingetreten und welche nicht?
c) (2 Punkte) Untersuchen Sie, ob A und B, ob A und C, ob B und C sowie ob A und B und C gleichzeitig eintreten k¨onnen oder nicht.
d) (3.5 Punkte) Geben Sie die folgenden Ereignisse durch Aufz¨ahlung aller Elemente an, indem sie die Mengen direkt ausrechnen.
A∪B, A∩B, A∩B, A, B, A∪B, A∩B
Die ¨Ubungsaufgaben sind verf¨ugbar unter:
http://www.math.uni-rostock.de/∼dencker/Stochastik07.html
