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Ubungsblatt 2: L¨ ¨ osungen

1) Bei Teilaufgabe (c) liegt eine unecht gebrochen rationale Funktionen vor, daher ist hier eine einleitende Polynomdivision zur Aufspaltung in einen polynomialen Anteil (Asymptote) und einen echt gebrochen rationalen Anteil n¨otig. F¨ur diesen echt gebrochen rationalen Anteil und f¨ur die Teilaufgaben (a,b) gilt der Rest des Standardl¨osungswegs: Nennernullstellen ermitteln, damit Zerlegungsansatz aufstellen, mit Nenner durchmultiplizieren, ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich, L¨osung des resultierenden linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der im Ansatz noch unbekannten Koeffizienten. L¨osungen:

a) Nennernullstellen: x_1,2 =−⁵₂ ± ⁷₂;

Ansatz: _x−1^A + _x+6^B , mit: A= 2, B =−1

b) Nennernullstellen: x1 =−1 (raten), Rest nach Polynomdivision: x³+ 2x²+ 3x+ 2;

weitere Nullstelle x₂ =−1 (raten), Rest nach Polynomdivision x² +x+ 2 hat keine reellen Nullstellen;

Ansatz: _x+1^A + _(x+1)^B 2 +_x^Cx+D2+x+2, mit: A= 2, B = 1, C= 0, D=−1

c) Nach Polynomdivision ergibt sich x+ 1 +_x3+x¹²−2. Nennernullstellen: x₁ = 1 (raten), Rest nach Polynomdivision: x²+ 2x+ 2, hat keine weiteren reellen Nullstellen;

Ansatz: _x−1^A + _x2^Bx+C+2x+2, mit A= ¹₅, B =−¹₅, C=−³₅

2) In beiden F¨allen ist es m¨oglich, aus den angegebenen einfachen Betrachtungen den Gesamtverlauf der Funktionen zu rekonstruieren (

”Mini-Kurvendiskussion“):

a) Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei x₁ =−1, x₂ = 3; Asymptote: y= 1; Verlauf relativ zur Asymptote: +−+

b) Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei x₁ = 0, x₂ =−1, x₃ = 2; Asymptote: y=x+1;

Verlauf relativ zur Asymptote: −+−+

3) L¨osungswege:

a) Definitionen einsetzen, ausmultiplizieren, e^xe^−x = 1 beachten;

b) Definitionen einsetzen, ausmultiplizieren, nicht wegfallende Terme zusammenfassen, Definition erneut verwenden;

c) Definition einsetzen, ableiten, Definition erneut verwenden;

4) Die Umkehrfunktionen ergeben sich immer durch Vertauschen der Variablenbezeich- nungen (x↔y) und anschließendes Aufl¨osen nach y, wobei dann ggf. die passende(n), bekannte(n) Umkehrfunktion(en) einzelner Teilfunktion(en) verwendet werden m¨ussen.

a) Die Funktion ist nur außerhalb von [−2,2] definiert (sonst Radikand negativ!);

x/2 ist streng monoton steigend f¨ur alle x, √

x ist streng monoton steigend f¨ur x >0, x²/4−1 ist streng monoton steigend (fallend) f¨ur x >0 (x <0) ⇒ die Gesamtfunktion ist streng monoton steigend f¨ur x >2 und kann daher in

diesem Bereich umgekehrt werden (Verlauf f¨ur x < 2 unklar, da Summe aus monoton steigender und monoton fallender Funktion).

Umkehrfunktion dort: y =x+ (1/x), mit Definitionsbereich x > 1 und Werte- bereich y >2.

b) arctan(x) ist streng monoton steigend f¨ur alle x, mit Wertebereich ]− ^π₂,^π₂[, in diesem Wertebereich ist sin(x) streng monoton steigend. Also ist die Gesamt- funktion ¨uberall streng monoton steigend, mit D=R und W=]−1,+1[.

Umkehrfunktion: y= tan(arcsinx)

(Anmerkung: mit sin²(x) + cos²(x) = 1 kann diese Umkehrfunktion umgeformt werden zu: y= ^√_1−x^x ₂; sie ist also nicht transzendent, sondern nur algebraisch.

Diese Form kann dann erneut umgekehrt werden und liefert y = ^√x

1−x² als alternative Form der Ausgangsfunktion, die also ebenfalls lediglich algebraisch ist.)

5) m¨ogliche L¨osungswege:

b) Ableitung der Umkehrfunktion verwenden;

c) sinh-Funktion in Exponentialfunktionen umschreiben und e^lnx =x ausnutzen;

a,d,e) ¨ubliche Ableitungsregeln (Summenregel, Produktregel, Kettenregel).

L¨osungen:

a) y⁰ = 2xsin 1

x

−cos 1

x

, y⁰⁰ = 1

x²

(2x²−1) sin 1

x

−2xcos 1

x

b) y⁰ = −1 1 +x² , y⁰⁰ = 2x

(x²+ 1)² c) y⁰ = x+ 1

4x√ x , y⁰⁰ = −x+ 3

8x^5/2 d) y⁰ = 3

√2x−1sin²(√

2x−1) cos(√

2x−1) , y⁰⁰ = 3 sin(√

2x−1) 2x−1

2 cos²(√

2x−1)− sin(√

2x−1) cos(√

2x−1)

√2x−1 −sin²(√

2x−1)

e) y⁰ = 3x²+ 8x+ 4 , y⁰⁰ = 6x+ 8

6) L¨osungswege:

a) Umformung zu

tan(x)√

1 + cosx

√1−cos²x = −√

1 + cosx cosx

In dieser Form sind alle beteiligten Funktionen bei x = 0 stetig und die Ann¨aherungsrichtung ist irrelevant ⇒ x= 0 kann eingesetzt werden.

L¨osungen:

a) −√ 2 7) L¨osungswege:

a) auf Hauptnenner bringen und addieren, dann 2mal L’Hospital;

b) n-mal L’Hospital liefert n!/e^x; L¨osungen: beide Grenzwerte sind Null.

8) L¨osungswege und L¨osungen:

a) Es ergibt sich der unbestimmte Ausdruck ^∞_∞, was kein akzeptables Resultat ist, weil beliebig vieldeutig.

b) Die Regel von l’Hospital muß mehrfach angewandt werden, dabei dreht man sich jedoch im Kreis (kommt zum urspr¨unglichen Ausdruck zur¨uck), anstatt zu einem Ergebnis zu kommen.

c) Erweitern mit ¹_x liefert limx→∞(1/

q1

x² + 1) = 1.

d) Schlichter Ersatz von limx→∞(.) durch limx→−∞(.) scheint zu zeigen, daß auch dieser Grenzwert 1 ist. Die Funktion x/√

1 +x² ist aber ungerade, weshalb -1 der richtige Grenzwert sein muß. Der problematische Schritt auf dem Herleitungsweg in Teilaufgabe (c) ist (im Nenner) _x¹√

1 +x² = q1

x²(1 +x²), weil

−1 x

√1 +x² =q

1

x²(1 +x²) genauso m¨oglich w¨are, d.h. statt mit _x¹ h¨atte man auch mit ⁻¹_x erweitern k¨onnen, was am Ende den Grenzwert -1 geliefert h¨atte. Welche dieser beiden M¨oglichkeiten richtig ist, ergibt nur die Symmetriebetrachtung und/oder die schlichte Erkenntnis, daß die urspr¨ungliche Funktion x/√

1 +x² f¨ur positive x nur positiv sein kann, und f¨ur negative x nur negativ.

9) L¨osungswege:

a) Umschreiben in x·1/(1−q) mit q =x²/a; dabei ist 1/(1−q) die Summenformel der geometrischen Reihe P

iqⁱ;

b) Substitution u= sinx, dann Standardreihen f¨ur exp(u) und sin(x) verwenden.

L¨osungen:

a) y≈x+ x³ a + x⁵

a² f¨ur|q|<1 , also f¨ur|x|<p

|a|

b) y ≈1 +x+1

2x²− 1

8x⁴ f¨ur|x|<∞

10) L¨osungswege und L¨osungen:

a) g(x) = −f(x)

b) Wegen (−x)² =x² ist f(x) gerade. Wegen Teilaufgabe (a) ist g(x) daher auch gerade.

c) eine Nullstelle bei x = 0, die gleichzeitig f¨ur f(x) ein Minimum ist bzw. f¨ur g(x) ein Maximum; zwei Wendepunkte bei x = ±1 mit Funktionswert ln(2) und Steigung ±1 f¨ur f(x) bzw. mit Funktionswert −ln(2) und Steigung ∓1 f¨ur g(x). f(x) l¨auft gegen +∞, g(x) gegen −∞ f¨ur x→ ±∞.

d) mit der ¨ublichen Standardreihe f¨ur ln(1 +u) und mit u=x² erh¨alt man leicht f(x) = x² −x⁴/2 +x⁶/3−x⁸/4± · · · bzw. das Negative davon f¨ur g(x). Weil beide Funktionen gerade sind, treten nur gerade Potenzen von x auf.

11) L¨osungswege und L¨osungen:

a) Es gilt limx→±∞arctan(x) = ±π/2, also strebt f(x) gegen exp(−π²/4) f¨ur x→ ∞ und x→ −∞. Beachte: exp(−π²/4) ist klein aber nicht Null.

b) Verwendung der ¨ublichen Ableitungsregeln liefert:

y⁰ = −2yarctan(x) x²+ 1 y⁰⁰ = −2y

(x²+ 1)² 1−2xarctan(x)−2 arctan²(x)

(Wie so oft, ist es auch hier n¨utzlich, wo immer m¨oglich y und y⁰ selbst zu verwenden; das erh¨oht die ¨Ubersichtlichkeit und vermindert den Arbeitsaufwand.) c) f(0) = 1, f⁰(0) = 0 und f⁰⁰(0) =−2, also lauten die ersten Terme der Taylorreihe:

f(x)˜ ≈1−x².

d) Quadrieren der gegebenen Taylorreihe f¨ur arctan(x) (unter Mitnahme der Terme bis zur n¨otigen Ordnung) liefert

arctan²(x)≈x²− 2

3x⁴+ 23

45x⁶∓ · · ·

Mit der Standardtaylorreihe f¨ur exp(v) und v =−u sowie u= arctan²(x) ergibt sich schließlich:

e^{−arctan2(x)} ≈1−x² +7

6x⁴ ∓ · · ·

Weitere Aufgaben

12 Dies sind alles echt gebrochen rationale Funktionen, daher ist keine einleitende Polynomdivision zur Aufspaltung in einen polynomialen Anteil (Asymptote) und einen echt gebrochen rationalen Anteil n¨otig. Stattdessen immer der Rest des Standardl¨osungswegs: Nennernullstellen ermitteln, damit Zerlegungsansatz aufstellen, mit Nenner durchmultiplizieren, ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich, L¨osung des resultierenden linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der im Ansatz noch unbekannten Koeffizienten. L¨osungen:

a) Nennernullstellen: x₁ = 0 (offensichtlich!), x_2,3 =−2;

Ansatz: ^A_x + _x+2^B +_(x+2)^C 2, mit: A= 1, B =−1, C =−2

b) Nennernullstellen: x₁ = 1 (raten), Rest nach Polynomdivision: x² + 2x+ 2 hat keine reellen Nullstellen;

Ansatz: _x−1^A + _x2^Bx+C+2x+2, mit: A = 1, B =−1, C =−2

13) L¨osungswege:

a) Definition einsetzen, ableiten, Definition erneut verwenden;

b) Produktregel der Ableitung, dann Definition einsetzen, ausmultiplizieren (beachte:

(e^x)^a =e^ax), vereinfachen, Definition erneut verwenden.

14) Die Umkehrfunktionen ergeben sich immer durch Vertauschen der Variablenbezeich- nungen (x↔y) und anschließendes Aufl¨osen nach y, wobei dann ggf. die passende(n), bekannte(n) Umkehrfunktion(en) einzelner Teilfunktion(en) verwendet werden m¨ussen.

a) Als monotones Intervall bietet sich 0 < x < ^π₂ an, da dort alle Teilfunktionen ln(v), tan(u) und x² definiert und monoton (steigend) sind. Dort ist die Umkehrfunktion y=p

arctan (e^x), definiert f¨ur alle x∈R und mit Wertebereich 0< y <p_π

2. 15) m¨ogliche L¨osungswege:

a) Umformung zu ^cos(arcsin_x ^x) =

√1−x²

x , erst dann ableiten;

b) ¨ubliche Ableitungsregeln (Produktregel, Kettenregel).

L¨osungen:

a) y⁰ = −1

x²√

1−x² , y⁰⁰ = 2−3x²

x³(1−x²)^3/2 b) y⁰ = 1

2√

xcos(√ x) , y⁰⁰ = −1

4x^3/2 cos(√

x) +√

xsin(√ x)

16) L¨osungswege:

a) Einsetzen der Definition von sinh(x) in Exponentialfunktionen, dann kann die Division ausgef¨uhrt und der Grenzwert leicht ermittelt werden.

L¨osungen:

a) 1 2

17) L¨osungswege:

a) einmalige Anwendung von L’Hospital;

b) letztlich 3-mal L’Hospital, beim letzen Mal unter Verwendung des Resultats von Aufgabe (13b)

L¨osungen: beide Grenzwerte sind Null.

18) L¨osungswege:

a) Entweder auf direktem Weg (Ableitungen bilden, Entwicklungspunkt einsetzen, Resultate in allg. Taylorreihenformel einsetzen) oder cosh(u) in Exponential- funktionen ¨ubersetzen, die Standardtaylorreihe f¨ur exp(u) verwenden und in der resultierenden Taylorreihe f¨ur cosh(u) die Substitution u= 2x einsetzen.

b) Substitutionen u = 1−e^−x und v = −x, dann Standardreihen f¨ur exp(v) und ln(1 +u) verwenden.

L¨osungen:

a) y≈1 + 2x²+ 2

3x⁴+ 4

45x⁶ f¨ur|x|<∞ b) y≈x−x²+x³− 13

12x⁴ f¨ur −1< u≤+1 , also f¨urx >−ln 2

19) L¨osungswege und L¨osungen:

a) limx→0 f(x) = 1 mit L’Hospital;

b) D=R wegen (a) und selber Def.bereich f¨ur Z¨ahler und Nenner; f(x) ist gerade, weil Z¨ahler und Nenner ungerade sind; Nullstellen von f(x) = Nullstellen von sin(x); limx→∞ f(x) = 0, weil Z¨ahler endlich bei unendlichem Nenner;

c) sinh(x)≈x+_3!¹x³+_5!¹x⁵; damit:

g(x) =

1

5!x⁵− _3!¹x³+x

1

5!x⁵+_3!¹x³+x

= 1− 1 3x³/(1

5!x⁵ + 1

3!x³+x) =: 1− x³ 3v

Daraus ergibt sich direkt die Asymptote y= 1 f¨ur g(x) (Teilaufgabe c).

c) g⁰(x) =−^v3x2_v^−x2 ^3v0 = 0, daraus:

x²(−^x₆₀⁵+ 2x) = 0, also Extremwerte bei x= 0 und x_e =±√⁴

120 =±p 2√

30 mit 3< x_e <4.

Nullstellen von g(x): x ausklammern, Restfaktor hat keine(!) reellen Nullstellen;

g(x) ist ein unbestimmter Ausdruck, L’Hospital liefert limx→0 g(x) = 1.

Wertebereich von f(x): Maximum bei f(0) = 1, f¨ur gr¨oßere x-Werte nimmt f(x) schnell ab wegen stark wachsendem Nenner; erstes Minimum ungef¨ahr bei 1.Minimum des Z¨ahlers (nahe x= 3π/2) und sicher im Bereich −1< f(x)<0.

20) L¨osungswege und L¨osungen:

a) Der nat¨urliche Logarithmus ist bei x= 0 nicht definiert. Der Grenzwert l¨aßt sich nach einmaliger Anwendung von L’Hospital als Null ermitteln.

b) D=R⁺; einzige Nullstelle bei x= 1; einziges Extremum (Minimum) bei x=−1/e;

keine Wendepunkte; Tangentensteigung (1.Ableitung) strebt gegen −∞.

c) Standardreihe f¨ur ln(1 +u) mit u=x−1, danach Multiplikation mit x.

d) Nullstellen bei x = 0,1,3; Extremwerte bei x = ⁴₃ ±

√ 7

3 ; Wendepunkt (⁴₃|¹⁰₂₇);

Tangentensteigung −3/2.

e) Skizze zeigt:

x=0: f nur rechtsseitig definiert, Steigung −∞; P hat Nullstelle mit Steigung

−3/2 und ist auch f¨ur x <0 definiert.

x=1: hier f und P gleich in Funktionswert und 1.,2.Ableitung, per Konstruktion.

x>1: f hat keinen Wendepunkt, geht also als Linkskurve gegen y = +∞; P geht durch einen Wendepunkt und ein Maximum als Rechtskurve gegen y=−∞.