Analysis II für M, LaG/M, Ph 12. Tutoriumsblatt

Analysis II für M, LaG/M, Ph 12. Tutoriumsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2010/11

Prof. Dr. Christian Herrmann 28.1.2011

Vassilis Gregoriades Horst Heck

Aufgaben

Aufgabe T12.1

Gegeben sei der Kreisringsektor

K={(x,y)∈R²:x≥0,y≥0und9≤x²+y²≤81}.

Es seiσdie Polarkoordinatenabbildung. Geben Sie eine MengeBan, so dassσ(B) =Kgilt. Berechnen Sie den Flächen- inhalt vonKund den Schwerpunkt(x_S,y_S), der durch

x_S:= 1 µ(K)

Z

K

xd(x,y)

y_S:= 1 µ(K)

Z

K

yd(x,y)

definiert ist.

Aufgabe T12.2 (Cantor Mengen)

Es seiα ∈]0, 1]. Wir definieren nun rekursiv eine Folge von MengenC_n^α ⊂[0, 1] welche jeweils aus der Vereinigung von2ⁿabgeschlossenen disjunkten Intervallen besteht. Es seiC₀^α= [0, 1].C_n^α₊₁entsteht ausC_n^α, indem man zu jedem Teilintervall[a,b]ausC_n^αdas offene Intervall]^a+₂^b−_2·3^αn+1, ^a+b

2 +_2·3^α_n+1[der Länge ^α

3ⁿ⁺¹ herausnimmt. Z.B ist also C₁=C₀\

1 2− α

2·3,1 2+ α

2·3

=

0,1 2− α

2·3

∪ 1

2+ α 2·3, 1

Die MengeC^α:=T

n∈NC_n^α wird modifizierte Cantormenge genannt.

(a) Zeigen sie, dassC^αabgeschlossen und[0, 1]\C^αdicht in[0, 1]ist.

(b) Zeigen Sie, dassC^αnur fürα=1Jordan messbar ist und bestimmen Sie in diesem Fall das Jordan Maß vonC¹. (c) Für die folgenden Teilaufgaben sei nunα=1. In diesem Fall nennt man die MengeC:=C¹Cantormenge. Zeigen

Sie, dass sich jedes Element ausCfür genau eine Folge(a_n)n∈ {0, 1}^Nin der FormP∞ n=12a_n

3ⁿ schreiben läßt.

Hinweis:Benutzen Sie, dass sich jedesx∈[0, 1]triadisch darstellen läßt. D.h. jedesx∈[0, 1]läßt sich durch eine Reihex=P∞

n=1 b_n

3ⁿ mitb_n∈ {0, 1, 2}darstellen.

(d) Zeigen Sie, dass die Funktionφ:C→[0, 1],P∞ n=12an

3ⁿ 7→P∞ n=1

a_n

2ⁿ surjektiv, monoton steigend aber nicht injektiv ist.

Hinweise:(i) Jeder Punkt in[0, 1]hat eine binäre Darstellung. (ii) Seia,b∈C mita<bin der Darstellung aus (c). Betrachten Sie den kleinsten Koefiizientena_k,b_k∈ {0, 1}, so dassb_k6=a_kist. (iii) Berechneφ(¹₃)undφ(²₃).

(e) Zu x ∈ [0, 1]\C sei α(x) = inf{y ∈ C|(y,x)⊂ [0, 1]\C}. Zeigen Sie, dass die sogenannte Cantorfunktion ψ:[0, 1]→[0, 1],

x7→

φ(x) falls x∈C φ(α(x)) falls x∈[0, 1]\C

stetig und monoton steigend ist. (Sie ist sogar in allen Punktenx6∈Cdifferenzierbar und es giltψ⁰(x) =0.) Hinweis:Aus der Monotonie und der Surjektivität folgt schon die Stetigkeit.

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