R¨ aume bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes

§ 9 L

R¨ aume bez¨ uglich des Lebesgue-Maßes

Im Folgenden seiµstets das Lebesgue-Maß und Mdieσ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen.

9.1. Satz.

(a) Seif, g∈L¹(R^d). Dann existiert für fast allex∈R^d das Integral (f∗g)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)g(y) dy.

Es gilt fernerkf ∗gk₁ ≤ kfk₁· kgk₁. (b) Ist f ∈L^p(R^d) und g∈L^q(R^d), so existiert

(f∗g)(x) = Z

R^d

f(x−y)g(y) dy für jedesx∈R^d.

Desweiteren giltf ∗g∈L^∞(R^d) undkf ∗gk_∞≤ kfkp· kgkq.

Beweis. (a) Fürf, g∈L¹(R^d) gilt mit der Verwendung des Satzes von Fubini-Tonelli:

Z

R^d

Z

R^d

|f(x−y)| · |g(y)|dydx= Z

R^d

|g(y)|

Z

R^d

|f(x−y)|dxdy= Z

R^d

|g(y)| · kfk₁dy=kfk₁· kgk₁.

Dies impliziert alle Aussagen.

(b): Ist f ∈L^p(R^d) undg∈L^q(R^d) so erhält man nach der Hölder-Unleichung:

|f ∗g(x)| ≤ Z

R^d

Z

R^d

|f(x−y)| · |g(y)|dydx≤ kfkp· kgkq.

Dies zeigt die Existenz von f∗g(x) für jedesx, und die übrigen Aussagen folgen auch.

9.2. Satz. Der Raum L¹(R^d) versehen mit der Multiplikation f ∗g (Faltung) ist eine kommutative Ba- nachalgebra.

Beweis. Seienf, g, h∈L¹(R^d). Man rechnet leicht nach, dass(f+λg)∗h=f∗f+λ(g∗h),f∗(g∗h) = (f∗g)∗h und f∗g=g∗f gelten. Die Submultiplikativität der Norm wurde im Satz9.1(a) bewiesen.

9.3. Bemerkung. Man kann leicht zeigen, dass die BanachalgebraL¹(R^d)kein Einselement besitzt.

9.4. Satz. Sei1≤p <∞. Dann istC_c(R^d)dicht in L^p(R^d).

Beweis. Sei f ∈ L^p(R^d) und ε > 0. Es gibt ein R > 0, so dass kf −χ_B(0,R)fkp ≤ ε. Ferner existiert eine Treppenfunktion ϕmitkχ_B(0,R)f−χ_B(0,R)ϕkp ≤ε(siehe Lemma 8.11). Die Funktionχ_B(0,R)ϕhat die Form PN

i=1α_iχ_Ai mit A_i ⊂R^d beschränkt. Wir zeigen, dass jede einzelne χ_Ai durch Funktionen in C_c(R^d) approximierbar ist. Wähle eine beschränkte, offene MengeGund eine kompakte Menge K mitK ⊂Ai ⊂G und λ_d(G\K) ≤ ε (Existenz: Maßtheorie). Dann existiert nach Lemma von Urysohn ein ψ ∈ C_c(G) mit ϕ≡1auf K. Es gilt:

Z

R^d

|χAi−ψ|^pdλd= Z

G

|χAi−ψ|^pdλd= Z

G\K

|χAi−ψ|^pdλd+ Z

K

|χAi−ψ|^pdλd

| {z }

=0

≤2^pλ(G\K)≤2^pε.

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48 §9. LpR ¨AUME BEZ ¨UGLICH DES LEBESGUE-MASSES

9.5. Satz. Fürx₀ ∈R^dbetrachte die Abbildung(Sx₀f)(x) =f(x+x₀). Dann istS :x₀:L^p(R^d)→L^p(R^d) ein stetiger, linearer Operator mit kSx0k= 1. Für jedes f ∈L^p(R^d) mit 1≤p <∞ und ε >0 existiert ein δ >0, so dass für jedes|x₀| ≤δ gilt kSx₀f−fkp≤ε.

Beweis. Die Aussage ist klar für f ∈Cc(R^d)⊆L^p(R^d), undCc(R^d)ist dicht in L^p(R^d).

9.6. Definition. Eine Folge (ρn)_n≥1 von Funktionen mit den Eigenschaften

(a) ρn≥0 (b) kρnk₁ = 1 (c) lim_n→∞R

B(0,r)ρn= 1 ∀ r >0

heißt approximative Einheit oder Mollifier.

9.7. Beispiel. Betrachteρ∈C_c^∞(R^d),supp(ρ)⊆B(0,1),ρ≥0,R

ρ= 1, und definiereρ_n(x) :=n^dρ(nx).

9.8. Satz. Sei(ρ_n)_n≥1 eine approximative Einheit. Dann gilt kρ_n∗f −fk₁ →0. D.h. die Banachalgebra besitzt zwar kein Einselement, aber eine approximative Einheit.

Beweis. Für alleε >0 existiert δ >0 mit kSyf −fk₁ ≤εfür |y| ≤δ. Also (ρn∗f)(x)−f(x) =

Z

R^d

(f(x−y)−f(x))ρn(y) dy

= Z

B(0,δ)

(f(x−y)−f(x))ρn(y) dy+ Z

R^d\B(0,δ)

(f(x−y)−f(x))ρn(y) dy.

Daraus folgt

Z

R^d

(ρn∗f)(x)−f(x) dx ≤

Z

B(0,δ)

ρ_n(y) Z

R^d

|f(x−y)−f(x)|dxdy+ Z

R^d\B(0,δ)

ρ_n(y) Z

R^d

|f(x−y)−f(x)|dxdy

≤ε Z

B(0,δ)

ρ_n(y) dy+ 2kfk₁ Z

R^d\B(0,δ)

ρ_n(y) dy ≤2ε

für genügend großesn.

9.9. Satz [Hausdorff-Young-Ungleichung]. Seif ∈L^p(R^d) undg∈L¹(R^d). So existiert(f∗g)(x) = R

R^df(x−y)g(y) dy für fast alle x∈R^d, und es gilt kf∗gkp≤ kfkp· kgk1.

Beweis. Seih∈L^q(R^d)mit ¹_p +¹_q = 1. Nach dem Satz von Fubini und Satz 9.1(b)

Z

R^d

h(x) Z

R^d

f(x−y)g(y) dydx ≤

Z

R^d

|g(y)|

Z

R^d

|f(x−y)h(x)|dxdy≤ kgk1· kfkp· khkq.

Daraus folgt die Behauptung (siehe Korollar8.13(c)).

9.10. Satz. Sei f ∈ L^p, g ∈ L^q mit ¹_p + ¹_q = 1, 1 < p < ∞. So gilt f ∗g ∈ BU C(R^d) und sogar f∗g∈C₀(R^d).

Beweis. Seienx, y∈R^d. Es gilt

|f∗g(x)−f∗g(y)|= Z

R^d

f(x−z)g(z)−f(y−z)g(z) dz ≤

Z

R^d

|f(x−z)−f(y−z)| · |g(z)|dz

Hölder

≤ kS_x−yf−fk_p· kgk_q ≤ε,

§9. LpR ¨AUME BEZ ¨UGLICH DES LEBESGUE-MASSES 49

falls |x −y| ≤ δ (siehe Satz 9.5). Somit ist f ∗g ∈ BU C(R^d) bewiesen. Nun sei r > 0 so groß, dass R

R^d\B(0,r)|f|^p < ε^p und R

R^d\B(0,r)|g|^q < ε^q. So gilt für|x|>2r die Ungleichung|x−y|> r für y ∈B(0, r), und somit auch

|f ∗g(x)| ≤ Z

B(0,r)

|f(x−y)g(y)|dy+ Z

R^d\B(0,r)

|f(x−y)g(y)|dy

Hölder

≤ εkfkp+εkgkq.

D.h., für großes |x|gilt |f ∗g(x)| ≤ε, also wurdef∗g∈C₀(R^d) gezeigt.

9.11. Satz. Sei(ρn)_n≥1 eine approximative Einheit. Dann giltkρn∗f−fkp→0.

Beweis. Argumentiere wie im Beweis desL¹-Fall mit der zusätzlicher Verwendung vonh∈L^q(R^d) wie im Beweis von Satz9.9

Folgenden Satz k¨onnte man auch zum Beweis des letzten Satzes benutzen.

9.12. Theorem [Riesz–Thorin Konvexitätstheorem]. Sei T : L₁+L_∞ → L₁+L_∞ linear, ferner seien p₀, p₁, r₀, r₁ ∈[1,∞]mit p₀ < p₁ und r₀ < r₁. Seiα∈(0,1)und setze

1

pα := ^1−α_p0 +_p^α₁ und _r¹

α := ^1−α_r0 +_r^α₁. Dann gilt

kTkL(L^pα,L^rα) ≤ kTk^1−α_L(Lp0,L^r0)kTk^α_L(Lp1,L^r1).

Beweis. Benutzt komplexe Analysis und ist technisch.

Ein einfacher Fall des Satzes von Riesz-Thorin l¨asst sich durch die H¨older-Ungleichung beweisen.

9.13. Satz [L^p Interpolationsungleichung]. Seienp₀, p₁ ∈[1,∞],θ∈(0,1)und _p¹

θ := ^1−θ_p

0 +_p^θ

1. Sind f ∈L^p0(X, µ)∩L^p1(X, µ), dann ist f ∈L^pθ(X, µ) und es gilt

kfkp_θ ≤ kfk^1−θ_p0 kfk^θ_p1.

Beweis. Setzeg:=|f|^(1−θ)pθ undh:=|f|^θpθ. Dann istgh=|f|^{(1−θ)pθ+θpθ} =|f|^pθ, fernerg∈L

p0

(1−θ)pθ(X, µ) und h∈L

p1

θpθ(X, µ) und

kfk^p_p^θ_θ =kghk1 ≤ kgk ^p0

(1−θ)pθ · khk^p1

θpθ =kfk^(1−θ)p_p0 ^θ · kfk^θp_p1^θ, mit der Verwendung der Hölderschen Ungleichung.