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Friedhelm Heitmann

Lineare Funktionen (Einführung)

#einfachmathemagisch – Lineare Funktionen Klasse 7–10

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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(3)

1 Lineare Funktionen (Einführung) • 1

In Koordinatensystemen sind oft Funktionen dargestellt und/oder lassen sich dort einzeichnen.

Funktionen sind in der Mathematik eindeutige Zuordnungen.

functio (lateinisch) = Ausführung

Bei einfachen Funktionen ist gewöhnlich ein x-Wert einem y-Wert zugeordnet.

Beide gehören zusammen, stehen in einem direkten Verhältnis und bilden jeweils ein Wertepaar.

Beispiel: x = 1 | y = 3

1 2 3 4 5 6 7 8

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

1 2 3 4 5 6 7 8

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

x y

Graph der Funktionsgleichung y = 2x +

1

(4)

Lineare Funktionen (Einführung) • 2

Wertepaare werden meistens in Wertetabellen genannt.

Beispiel:

x y

1 3

2 5

0 1

–1 –1

–2 –3

… …

Oder:

x 1 2 0 –1 –2 …

y 3 5 1 –1 –3 …

Eine im Koordinatensystem dargestellte Funktion bezeichnet man als Graph.

graphein (griechisch) = schreiben, zeichnen Funktionen werden als Gleichungen angegeben.

Beispiel: y = 2 • x + 1

Hinweis: Der „Malpunkt“ vor x wird normalerweise nicht geschrieben.

In linearen Funktionsgleichungen kommen x und y in keiner höheren Rechenart vor, also nicht z. B. x².

Die Graphen linearer Funktionen sind Geraden, verlaufen also immer geradlinig.

Hinweis: linea (lateinisch) = Linie, Strich Aufgaben: Beantworte in vollständigen Sätzen!

1. Was sind Funktionen in der Mathematik?

2. Woraus besteht ein Wertepaar gewöhnlich?

3. Wo werden Wertepaare meistens genannt?

4. Ein Graph, was ist das?

5. Was kommt in linearen Funktionsgleichungen nicht vor?

6. Wie sehen die Graphen linearer Funktionsgleichungen aus?

(5)

3 Aufgaben:

Notiere in den vier Wertetabellen die y-Werte zu den vorgegebenen x-Werten!

Wertetabellen ergänzen

1 2 3 4

–4 –3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = x

1 2 3 4

–3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = 2x

1 2 3 4

–4 –3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = 3x

1 2 3 4

–3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = 4x

Bedenke:

(+) • (+) = + (+) • (–) = – (–) • (+) = – (–) • (–) = + Wertetabelle

y = x

x y

1 1

2 3 4 0 –1

Wertetabelle y = 2x

x y

1 2 0 –1 –2

Wertetabelle y = 3x

x y

1 0 –1 0,5 –0,5

Wertetabelle y = 4x

x y

1

0 –1

0,5

–0,5

(6)

Berechnung von y-Werten

Der y-Wert eines Wertepaares wird berechnet, indem man den x-Wert in die jeweilige Funktionsgleichung einsetzt. Das Ergebnis ist der zugehörige y-Wert.

Beispiele:

Funktionsgleichung:

y = x Einsetzung z. B. 1 für x ergibt y = 1 Wertepaar: 1/1

y = 3x Einsetzung z. B. 2 für x ergibt y = 3 • 2 = 6 Wertepaar: 2/6

y = 5x Einsetzung z.B. –3 für x ergibt y = 5 • (–3) = –15 Wertepaar: 3/–15

Aufgaben:

Berechne jeweils den y-Wert für den vorgegebenen x-Wert!

1. y = 2x Einsetzung 5 für x Wertepaar:

2. y = 4x Einsetzung 6 für x Wertepaar:

3. y = 6x Einsetzung 7 für x Wertepaar:

4. y = 7x Einsetzung –8 für x Wertepaar:

5. y = 8x Einsetzung –9 für x Wertepaar:

6. y = 10x Einsetzung 0,5 für x Wertepaar:

7. y = 12x Einsetzung 1,5 für x Wertepaar:

8. y = 15x Einsetzung –0,5 für x Wertepaar:

9. y = 17x Einsetzung –2,5 für x

Wertepaar:

(7)

5 Aufgaben:

Stelle zu den folgenden vier Funktionsgleichungen jeweils eine Wertetabelle mit fünf Wertepaaren (x/y) auf!

Wertetabellen erstellen

Wertetabelle y = –x

x y

Wertetabelle y = –2x

x y

Wertetabelle y = –3x

x y

Wertetabelle y = –4x

x y

1 2 3 4

–4 –3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = –x

1 2 3 4

–3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = –2x

1 2 3 4

–4 –3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y = –3 y

x

1 2 3 4

–3 –2 –1

0 1 2 3 4 5

–5 –4 –3 –2 –1

x y

y = –4x

(8)

Lösungen

erlag 9

e Funktionen (Einführung) • 2

tepaare werden meistens in Wertetabellen genannt. xy 13 25 01 –1 –3

Oder: x120–1–2… y351–1–3… oordinatensystem dargestellte Funktion bezeichnet man als Graph. zeichnen den als Gleichungen angegeben. 1 vor x wird normalerweise nicht geschrieben. t vor, also nicht z. B. x². verlaufen also immer geradlinig. Strich Was sind Funktionen in der Mathematik? Woraus besteht ein Wertepaar gewöhnlich? Wo werden Wertepaare meistens genannt? Ein Graph, was ist das? Was kommt in linearen Funktionsgleichungen nicht vor? Wie sehen die Graphen linearer Funktionsgleichungen aus?Was sind Funktionen in der Mathematik?

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen.

Woraus besteht ein Wertepaar gewöhnlich?

Ein W ertepaar besteht gewöhnlich aus einem x-W ert und einem y-W ert.

Wo werden Wertepaare meistens genannt?

W ertepaare werden meistens in W ertetabellen genannt.

Ein Graph, was ist das?

Ein Graph ist eine im Koordinatensystem dargestellte F unktion.

Was kommt in linearen Funktionsgleichungen nicht vor?

In linearen F unktionsgleichungen kommen x und y nicht in einer höheren Rechenart vor .

Wie sehen die Graphen linearer Funktionsgleichungen aus?

Die Graphen linearer F unktionsgleichungen sind jeweils gerade Linien.

W er tetabellen ergänzen

1234–4–3–2–1012345 –5–4–3–2–1

x

y

y = x

1234–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = 2x

1234–4–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = 3x

1234–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = 4x

Bedenke: (+) • (+) = + (+) • (–) = – (–) • (+) = – (–) • (–) = +

Wertetabelle y = x xy 11 2 3 4 0 –1

Wertetabelle y = 2x xy 1 2 0 –1 –2 Wertetabelle y = 3x xy 1 0 –1 0,5 –0,5

Wertetabelle y = 4x xy 1 0 –1 0,5 –0,5

1234–4–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = x 1234–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = 2x

1234–4–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = 3x

1234–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = 4x

Bedenke: (+) • (+) = + (+) • (–) = – (–) • (+) = – (–) • (–) = +

Wertetabelle y = x xy 11 22 33 44 00 –1–1

Wertetabelle y = 2x xy 12 24 00 –1–2 –2–4 Wertetabelle y = 3x xy 13 00 –1–3 0,51,5 –0,5–1,5

Wertetabelle y = 4x xy 14 00 –1–4 0,52 –0,5–2

(9)

7 Lösungen

Ber echnung von y- W er ten

Der y-Wert eines Wertepaares wird berechnet, indem man den x-Wert in die jeweilige Funktionsgleichung einsetzt. Das Ergebnis ist der zugehörige y-Wert. Beispiele: Funktionsgleichung: y = x Einsetzung z. B. 1 für x ergibt y = 1 Wertepaar: 1/1 y = 3x Einsetzung z. B. 2 für x ergibt y = 3 • 2 = 6 Wertepaar: 2/6 y = 5x Einsetzung z.B. –3 für x ergibt y = 5 • (–3) = –15 Wertepaar: 3/–15 Aufgaben: Berechne jeweils den y-Wert für den vorgegebenen x-Wert! 1. y = 2x Einsetzung 5 für x Wertepaar: 2. y = 4x Einsetzung 6 für x Wertepaar: 3. y = 6x Einsetzung 7 für x Wertepaar: 4. y = 7x Einsetzung –8 für x Wertepaar: 5. y = 8x Einsetzung –9 für x Wertepaar: 6. y = 10x Einsetzung 0,5 für x Wertepaar: 7. y = 12x Einsetzung 1,5 für x Wertepaar: 8. y = 15x Einsetzung –0,5 für x Wertepaar: 9. y = 17x Einsetzung –2,5 für x Wertepaar: 10. y = 19x Einsetzung –3,5 für x Wertepaar:

1. y = 2x Einsetzung 5 für x Wertepaar:

5/10

6/24

7/42

4. y = 7x Einsetzung –8 für x Wertepaar:

–8/–56

5. y = 8x Einsetzung –9 für x Wertepaar:

–9/–72

6. y = 10x Einsetzung 0,5 für x Wertepaar:

0,5/5

7. y = 12x Einsetzung 1,5 für x Wertepaar:

1,5/18

8. y = 15x Einsetzung –0,5 für x Wertepaar:

–0,5/–7,5

–2,5/–42,5

–3,5/–66,5

W er tetabellen er stellen

Wertetabelle y = –x xy

Wertetabelle y = –2x xy Wertetabelle y = –3x xy

Wertetabelle y = –4x xy

1234–4–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –x 1234–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –2x

1234–4–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –3x

1234–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –4x

Wertetabelle y = –x xy 1–1 2–2 00 –11 –22

Wertetabelle y = –2x xy 1–2 2–4 00 –12 –24 Wertetabelle y = –3x xy 1–3 2–6 00 –13 –26

Wertetabelle y = –4x xy 1–4 2–8 00 –14 –28

1234–4–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –x 1234–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –2x

1234–4–3–2–10

12

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –3x

1234–3–2–10

1

2

3

4

5 –5–4–3–2–1

x

y

y = –4x

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