Einführung in lineare Funktionen
Eine Funktion ordnet jedem -Wert genau einen -Wert, auch Funktionswert genannt, zu. Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung die folgende Form hat:
y = mx+b
Lineare Funktionen Erklärung
Was ist eine lineare Funktion? Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, also sozusagen eine
„durchgehende Linie“. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist also eine Geradengleichung. Den Koeffizienten von nennt man St eigungSt eigung oder Steigungswert. Der Wert gibt den y-Achs ena bs chnit ty-Achs ena bs chnit t an, also den Funktionswert an der Stelle Gilt für den y-Achsenabschnitt so nennt man die lineare Funktion eine Urs prungs gera deUrs prungs gera de .
Eigenschaften linearer Funktionen
Eine lineare Funktion hat immer höchstens Grad 1. Das bedeutet, dass in einer linearen Funktion immer nur steht, was gleichbedeutend mit ist. Ausdrücke wie oder andere Potenzen sind also nicht erlaubt.
Daher nennt man lineare Funktionen auch Funkt ionen ers t en Gra desFunkt ionen ers t en Gra des . Bei Funktionen dieser Art ist die Ab- bzw. Zunahme immer gleichmäßig.
Steigung einer linearen Funktion
Die Steigung gibt an, wie steil die Gerade ansteigt oder abfällt. Ist negativ, so fällt die Gerade, ist positiv, so steigt sie.
Die Steigung einer linearen Funktion kann graphisch durch ein St eigungs dreieckSt eigungs dreieck bestimmt werden:
Steigungsdreieck
Die Abbildung zeigt den Graphen der linearen Funktion im Koordinatensystem. Um die Steigung ablesen zu können, werden zwei Punkte und auf dem Graphen gewählt, die möglichst einfach abgelesen werden können. Dann wird das durch die beiden Punkte und die lineare Funktion eindeutig festgelegte rechtwinklige Dreieck eingezeichnet. Die Steigung kann nun mit folgender Formel für lineare Funktionen berechnet werden:
Einführung Funkt ionen - Linea re Funkt ionen Funkt ionen - Linea re Funkt ionen
In obigem Beispiel gilt für die Steigung Da der y-Achsenabschnitt direkt aus dem Schaubild entnommen werden kann, ergibt sich direkt die Funktionsgleichung
Sind statt einem Schaubild nur zwei Punkte einer linearen Funkion bekannt, so kann die Steigung analog mit obiger Formel berechnet werden. Ist nicht nur die Steigung einer linearen Funktion, sondern ihre ganze Funktionsgleichung gesucht, so setzt man den berechneten Wert für die Steigung und die Koordinaten einer der beiden gegebenen Punkte in die Geradengleichung ein und stellt die so erhaltene Gleichung nach um. In obigem Beispiel gilt also (für die Koordinaten von ):
Damit sind alle Parameter der Funktionsgleichung bekannt und es ergibt sich auch hier
Lineare Funktionen zeichnen
Es gibt unterschiedliche Angaben, mit denen man lineare Funktionen zeichnen kann:
zwei Punkte gegeben Funktionsgleichung gegeben
Im ersten Fall werden beide Punkte in das Koordinatensystem eingezeichnet und zu einer Gerade verbunden.
Im zweiten Fall kann wie folgt vorgegangen werden:
Aus der Funktionsgleichung kann sofort der y-Achsenabschnitt abgelesen werden. Mithilfe des Steigungsdreiecks kann ausgehend von diesem Punkt die Gerade eingezeichnet werden. Beispielsweise kann man eine Einheit in positive -Richtung gehen und anschließend den Wert der Steigung in -Richtung gehen. Durch den so erhaltenen Punkt und den y-Achsenabschnitt wird nun die Gerade gezeichnet.
Alternativ kann mit der Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellt werden. Diese Wertetabelle besteht aus d e n -Werten und dem jeweils zugehörigen Funktionswert, der durch Einsetzten des -Werts in die Funktionsgleichung ermittelt werden kann. Mithilfe der Wertetabelle können dann die Punkte der linearen Funktion in das Koordinatensystem eingetragen werden und daraus schließlich der Graph der linearen Funktion gezeichnet werden.
y 2 1 0
Lineare Funktion mit Wertetabelle
Schnittpunkt linearer Funktionen berechnen
Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen zu berechnen, müssen ihre beiden Geradengleichungen gleichgesetzt werden. Die daraus resultierende lineare Gleichung wird anschließend nach aufgelöst. Um den zugehörigen Funktionswert zu ermitteln, wird der berechnete -Wert in eine der beiden Geradengleichungen eingesetzt. Es existiert immer ein eindeutiger Schnittpunkt, wenn die beiden linearen Funktionen nicht parallel oder identisch sind. Sind die Geraden parallel, so haben die sie die gleiche Steigung und es existiert kein Schnittpunt. Sind die Geraden identsich, so existieren quasi undendlich viele Schnittpunkte.
Ist speziell der Schnittpunkt von linearen Funktionen mit einer der Koordinatenachsen gesucht, so kann man wie folgt vorgehen:
Der Schnit t punkt mit der Schnit t punkt mit der -Achs e-Achs e ist gerade die Nullstelle der linearen Funktion. Um diesen zu berechnen, muss die Funktionsgleichung der linearen Funktion gleich Null gesetzt werden. Anschließend wird nach aufgelöst und der zugehörige Funktionswert berechnet.
Der Schnit t punkt mit der Schnit t punkt mit der -Achs e-Achs e ist durch den y-Achsenabschnitt gegeben.
Lineare Funktionen Übersicht
Die Steigung einer linearen Funktion kann unendlich viele Werte annehmen. Es gibt jedoch auch zwei Spezialfälle, wie eine lineare Funktion verlaufen kann.
In diesem Fall verläuft die lineare Funktion waagrecht und hat die Steigung null.
In diesem Fall werden einer -Koordinate alle -Werte zugeordnet, die Gerade verläuft also senkrecht. Die Steigung ist dann sozusagen unendlich.
In allen anderen Fällen hat die Gerade entweder positive oder negative Steigung, sie steigt oder fällt also.
a) Gib die Geradengleichung der linearen Funktion an.
Graph von y
b) Berechne die Funktionsgleichung der linearen Funktion, die durch die Punkte und verläuft.
Verschiedene Steigungen linearer Funktionen
Lineare Funktionen Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe 1
a) Berechne den Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen und
b) Berechne die Nullstelle der linearen Funktion
a) Der Funktionswert der linearen Funktion an der Stelle kann direkt aus dem Schaubild abgelesen werden. Für den y-Achsenabschnitt gilt also
Die Steigung lässt sich mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks berechnen. Wähle hierfür beispielsweise die beiden Punkte und die beide auf dem Graphen von liegen. Mit der oben gegebenen Formel, mit der man für lineare Funktionen m berechnen kann, gilt:
Damit lautet die gesuchte Geradengleichung für die lineare Funktion
b) Mit obiger Formel, mit der man für lineare Funktionen die Steigung berechnen kann, folgt
Der y-Achsenabschnitt lässt sich nun wie oben beschrieben wie folgt berechnen (für die Koordinaten von ):
Insgesamt ergibt sich also die
Funktionsgleichung Skizze (nicht gefordert)
a) Die beiden Punkte werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und mit einer Gerade verbunden.
Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
Aufgabe 3
Lösung 1
Lösung 2
b) Für den y-Achsenabschnitt gilt Von dem Punkt kann nun die Gerade mit der Steigung eingezeichnet werden, indem eine Einheit in postitve -Richtung und zwei Einheiten in positive -Richtung gegangen wird. Durch den so erhaltenen Punkt und den y-Achsenabschnitt wird nun die Gerade gezeichnet.
Alternativ kann auch eine Wertetabelle angelegt werden, mithilfe derer Werte die Gerade gezeichnet werden kann.
x -1 0 1 2
y -3 -1 1 3
a) Um den Schnittpunkt der beiden Funktionen zu berechnen, müssen zunächst die beiden Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.
Lösung 3
ermitteln, wird der berechnete -Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt.
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten
b) Um bei einer linearen Funktion die Nullstelle zu berechnen, muss die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt werden.
Die Nullstelle befindet sich also an der Stelle
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