Lineare Funktionen
• Funktionsbegriff
• Geradengleichung
• Schaubild
• Punkt-Steigungsform
• 2-Punkte-Form
• Abstand zweier Punkte
• Nullstellen / Schnittpunkte mit den Achsen
• Übungsaufgaben
Funktionsbegriff
Eine Funktion ist eine Zuordnungvorschrift, die jedem Element einer ersten Menge eindeutig ein Element einer zweiten Mengen zuordnet.
Die erste Menge heißt Definitionsmenge oder Definitionsbereich, die zweite Menge heißt Wertemenge oder Wertebereich.
Beispiele Funktionsbegriff
x → x2 D= ℝ, W=
{
z∈ ℝ∣
z≥0}
x →
√
x D={
x∈ ℝ∣
x≥0}
, W={
z∈ ℝ∣
z≥0}
x → 1
x−2 D=
{
x∈ ℝ∣
x≠2}
, W={
z∈ ℝ∣
z≠0}
Allgemeine Schreibweise einer Funktion x → f(x) oder y=f (x)
x „unabhängige Variable“ , y „abhängige Variable“
Darstellung im Achsenkreuz / Schaubild
Funktion / keine Funktion
Allgemeine lineare Funktion
y = mx + b
z.B. y=1 2 x+1 Schaubild ist Gerade:Beispiel
Drucker D
1Drucker D
2Preis Drucker: p
D1= 70 € Preis Drucker: p
D2= 110 €
Preis Tinte
pT1 = 50 € pro 500 SeitenPreis Tinte
pT2 = 25 € pro 500 Seiten
p
1= 0,1⋅x + 70 p
2= 0,05⋅x + 110
0,1⋅x + 70 = 0,05 x + 110 ⇔
0,05⋅x = 40 ⇔ 5x = 4000 ⇔ x = 800
2-Punkte-Form
y − y
1x − x
1= y
2− y
1x
2− x
1Beispiel: Bestimme Gerade durch P (1,5) und Q (2,7).
y−5
x−1 = 7−5
2−1 = 2 │
• ( x-1 )
y−5 = 2(x−1) = 2x−2
Die Gleichung der Geraden lautet:
y = 2x + 3
Exkurs: Abstand zweier Punkte
Für den Abstand der Punkte P1 und P2 gilt:
(P1P2)2 = (x2−x1)2+ (y2−y1)2
P1P2 =
√
(x2−x1)2+ (y2−y1)2Punkt-Steigungsform
y − y
1x − x
1= m
Bestimmung Gerade durch 2 Punkte mittels Gleichungssystem
Bestimme die Gerade durch P (2 | 3) und Q (1 | 5).
Allgemeiner Ansatz: y = mx +b
Weil beide Punkte auf der Gerade liegen sollen, erhält man durch Einsetzen der jeweiligen Koordinaten:
3=m⋅2+b 5=m⋅1+b
Dieses Gleichungssystem kann man z.B. mit dem Additionsverfahren so lösen:
I 2 m+b=3
II m+b=5 │ ● (-2 )
I 2 m+b=3
IIa −2m−2b= −10 │ IIb = IIa + I
I 2 m+b=3 Liefert: 2m = -4, d.h. m= -2
Nullstellen / Schnittpunkte mit den Achsen
Mögliche Anzahl von Nullstellen von y = mx + b:
(a) Wenn m ≠ 0 → genau eine Nullstelle
(b) Wenn m = 0 und b = 0 → unendlich viele Nullstellen
(die Gerade stimmt mit der x-Achse überein) (c) Wenn m = 0 und b ≠ 0 → keine Nullstelle
Im Fall (b) erhält man die Nullstelle durch Lösen der Gleichung mx + b = 0.
Die Gerade y = mx + b schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b).
Übungsaufgaben
( sehr leicht , leicht , mittel )
(1) Löse: (x−7)2+3 x= (x−3) (x+3) +3
(2) Welche der Punkte P(1 | 4), Q (-1 | -4), R(2 | 6) liegen auf der Geraden y = 2x + 2 ?
(3) Bestimme die Gerade durch die Punkte P (1 | -3) und Q (-1 | -11) a) mit der 2-Punkte-Form
b) durch Lösen eines Gleichungssystems für m und b c) mit der Punkt-Steigungsform.
Probe nicht vergessen!
(4) Berechne den Abstand der Punkte P (2 | 2) und Q (3 | 1).
(5)
Bestimme die Gerade mit dem Steigungswinkel 60° , die durch den Punkt P(2∣√
3) geht.(6) Schnittpunkt der Geraden
a) y = 2x - 7 und y=- 2 x + 7 b) y = 7x + 3 und y = 7x + 5
