TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT DORTMUND Wintersemester 2008/09
FAKULT ¨AT STATISTIK 14.10.2008
Prof. Dr. G. Trenkler Blatt 1
Dr. M. Arnold
Ubungen zur Vorlesung¨
Nichtparametrische statistische Methoden
Aufgabe 1
Die folgende Tabelle zeigt die von der Bundesagentur f¨ur Arbeit in N¨urnberg ver¨offentlichten Ar- beitslosenquoten (ALQ) in den 16 deutschen Bundesl¨andern f¨ur den Monat September 2008:
Bundesland ALQ Bundesland ALQ
Baden-W¨urtemberg 4,0 Bayern 3,9
Berlin 13,3 Brandenburg 12,1
Bremen 10,9 Hamburg 7,9
Hessen 6,3 Mecklenburg-Vorpommern 12,7
Niedersachsen 7,2 Nordrhein-Westfalen 8,2
Rheinland-Pfalz 5,2 Saarland 6,8
Sachsen 11,9 Sachsen-Anhalt 12,8
Schleswig-Holstein 7,2 Th¨uringen 10,2
a) Geben Sie die zugeh¨orige geordnete Statistik an.
b) Berechnen Sie die Rangstatistik (r1, . . . , r16)0.
c) Wie lauten Minimum, Maximum, Median und Spannweite?
d) Wie groß ist hier die empirische Korrelation zwischen den Stichprobenvariablen und den zu- geh¨origen R¨angen?
Aufgabe 2
Nach dem Hauptsatz der Statistik gilt f¨ur eine Zufallsvariable X mit zugeh¨origer stetiger Vertei- lungsfunktion F, dass die Zufallsvariable F ◦ X stetig gleichverteilt ist auf dem Intervall [0,1].
Dieser Zusammenhang l¨asst sich zur Konstruktion von Zufallszahlen mit der gleichen Verteilung wie X ausnutzen: F¨ur eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable R gilt, dass die Zufallsvariable F−1◦R die VerteilungsfunktionF und somit die gleiche Verteilung wieX hat.
Verwenden Sie diesen Zusammenhang, um Zufallszahlen aus einerExp(2)-Verteilung mit Dichte f(x) = 2e−2x1[0,∞](x)
zu erzeugen.
Berechnen Sie dazu zun¨achst f¨ur dieExp(2)-Verteilung die VerteilungsfunktionF und die inverse VerteilungsfunktionF−1. Wenden SieF−1anschließend auf Zufallszahlen aus einer Gleichverteilung auf [0,1] an. Vergleichen Sie das Ergebnis mit direkt per Computer erzeugten Zufallszahlen aus der Exp(2)-Verteilung, indem Sie beispielsweise die beiden erzeugen Stichproben grafisch darstellen.
Aufgabe 3
Erzeugen Sie Zufallszahlen aus der durch die Dichte f(x) = 1
2x1[0,2](x)
charakterisierten Verteilung und stellen Sie die Zufallszahlen grafisch dar.
Aufgabe 4
Beim Iterationstest gibt die AnzahlRan Iterationen (Aufeinanderfolgen von identischen Symbolen) Aufschluss dar¨uber, ob die Stichprobe zuf¨allig zustande gekommen ist. Die Wahrscheinlichkeitsver- teilung vonR unterH0 (Zuf¨alligkeit) lautet
P(R= 2r) = 2
n1−1 r−1
n2−1 r−1
n n1
,
P(R= 2r+ 1) =
n1−1 r
n2−1 r−1
+
n1−1 r−1
n2−1 r
n n1
.
Dabei bezeichnenn1 bzw.n2 die Anzahl der Beobachtungen vom Typ 1 bzw. Typ 2 undn=n1+n2 die Gesamtzahl der Beobachtungen.
Berechnen Sie f¨ur die folgenden drei Datens¨atze jeweils die Wahrscheinlichkeitsverteilung von R unterH0 und entscheiden Sie, ob die Datens¨atze zum Niveauα= 0,05 signifikant von der Nullhy- pothese der Zuf¨alligkeit abweichen:
Datensatz A: 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 Datensatz B: 1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0 Datensatz C: 1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0
Abgabe: Dienstag, 21.10.2008, 8:15 Uhr, in den Briefkasten im Mathefoyer.
