und Folgerungen f¨ ur die Konstruktion numerischer Methoden

Institut f¨ur Aerodynamik und Gasdynamik Universit¨at Stuttgart

Pfaffenwaldring 21 70550 Stuttgart

Asymptotische Untersuchungen der Magnetohydrodynamischen Gleichungen

und Folgerungen f¨ ur die Konstruktion numerischer Methoden

F. Kemm

C.-D. Munz

22. Oktober 1998

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die Information von asymptotischen Analysen ausgewertet, um Vor- schl¨age f¨ur die Konstruktion numerischer Methoden f¨ur die MHD-Gleichungen im Falle kleiner Mach- bzw. Alfvenzahlen zu formulieren. Die Schwierigkeit in diesem Bereich ent- steht dadurch, daß die Geschwindigkeiten der verschiedenen Wellen sehr unterschiedlich werden. Damit wird das ganze System in diesen Bereichen steif und die Konstruktion robuster numerischer Methoden sehr erschwert. Rein explizite Verfahren kommen hier nicht mehr in Betracht, da die CFL-Bedingung in diesem Fall nur ¨außerst kleine Zeit- schritte erlaubt und damit die Effizienz stark herabsetzt. Implizite Verfahren dagegen kosten wegen der Komplexit¨at und Nichtlinearit¨at der MHD-Gleichungen sehr viel Re- chenzeit. Daher scheint der g¨unstigste Weg ein halbimplizites Verfahren zu sein, bei dem nur die Terme, welche die schnelle Wellenausbreitung bedingen, implizit behandelt wer- den. Eine geeignete Aufspaltung in schnelle und langsame Wellen, die im Grenzfall als hyperbolisch-elliptische Aufspaltung bezeichnet wird, ist zun¨achst nat¨urlich nicht evi- dent. Hier nun werden asymptotische Methoden angewandt, um Informationen f¨ur eine solche Aufspaltung zu bekommen.

F¨ur kleine Machzahlen, also im Bereich des ¨Ubergangs zu den inkompressiblen MHD- Gleichungen, lassen sich Ergebnisse aus der Gasdynamik in geeigneter Weise ¨ubertragen.

Das halbimplizite Verfahren l¨ost Konvektion und Magnetfeldausbreitung in einem expli- ziten Schritt, w¨ahrend die schnellen Druckwellen implizit approximiert werden. In einem entkoppelten Ansatz reduziert sich der implizit zu rechnende Teil des Verfahrens auf die L¨osung einer Druck- oder Druckkorrekturgleichung. Die hier gemachten eindimensiona- len Betrachtungen lassen sich sofort auf mehrere Raumdimensionen ¨ubertragen.

F¨ur kleine Alfvenzahlen sieht die Sachlage anders aus. Der

”elliptische“ l¨aßt sich zwar von der Konvektion und den Druckwellen entkoppeln ist aber immer noch ein nichtli- neares System von f¨unf Gleichungen, l¨aßt sich auch nicht auf eine einzelne elliptische Gleichung reduzieren.

Die beiden Grenzf¨alle werden getrennt voneinander untersucht. Diese Untersuchun- gen k¨onnten f¨ur jeweils verschiedene praktische Anwendungen von hohem Interesse sein.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Gleichungen 6

2.1 Gleichungen in Erhaltungsform . . . 6

2.2 Die Gleichungen in primitiven Variablen . . . 8

2.2.1 Die isentropen Gleichungen . . . 8

2.2.2 Die Gleichungen mit dem idealen Gas . . . 9

3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Auswertung 11 3.1 Entwicklung f¨ur kleine Machzahlen . . . 12

3.2 Entwicklung f¨ur kleine Alfvenzahlen . . . 16

4 Die hyperbolisch-elliptische Aufspaltung 24 4.1 Der Fall kleiner Machzahlen . . . 24

4.2 Der Fall kleiner Alfvenzahlen . . . 26

5 Die Konstruktion halbimpliziter numerischer Methoden f¨ur die MHD- Gleichungen 29 5.1 Der Fall der kleinen Machzahl . . . 30

5.2 Der Fall der kleinen Alfvenzahl . . . 32

1 Einleitung

In den Problemen, welche durch die Gleichungen der Magnetohydrodynamik beschrieben werden, k¨onnen sehr verschiedene nichtlineare Wellenvorg¨ange auftreten. So hat man ne- ben dem Transport oder Scherung mit der Str¨omungsgeschwindigkeit als verschiedene Wellen vier magnetoakustische, die zwei langsamen und die zwei schnellen, und zwei Alf- venwellen. Diese komplexe Wellenstruktur kann die Konstruktion numerischer Methoden sehr kompliziert machen.

In den letzten Jahren haben sich sogenannte Godunov-Typ-Verfahren in der Gasdy- namik als sehr leistungsstark erwiesen. Bei diesen Methoden wird die lokale Wellenaus- breitung f¨ur die numerische Berechnung der Fl¨usse zwischen den einzelnen Gitterzellen ermittelt und benutzt. Dies geschieht durch die Berechnung — exakt oder n¨aherungs- weise — der L¨osung von Riemannproblemen. Diese Verfahren sind ¨ublicherweise zur Berechnung von instation¨aren Vorg¨angen explizit in der Zeit. Dadurch muß die Zeit- schrittweite der CFL-Bedingung gen¨ugen. Eine kritische Situation entsteht, falls die verschiedenen Wellenausbreitungsvorg¨ange sehr unterschiedliche Ausbreitungsgeschwin- digkeiten besitzen. Insbesondere dann, wenn Wellengeschwindigkeiten sehr groß werden und die physikalischen Vorg¨ange, welche zu dieser Geschwindigkeit geh¨oren, keine große Rolle f¨ur das betrachtete Problem spielen, wird diese Ausbreitungsgeschwindigkeit in die CFL-Bedingung zu dem numerischen Verfahren eingehen und eine starke Restriktion des Zeitschritts bewirken. Das ganze Problem wird steif.

Eine solche Situation entsteht etwa f¨ur die Gleichungen der Gasdynamik im inkom- pressiblen Grenzwert, wenn die Machzahl gegen Null strebt. Im Vergleich zur Str¨omungs- geschwindigkeit wird die Schallgeschwindigkeit sehr groß. Dies bedeutet im Grenzwert eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit f¨ur die Druckwellen. Das zugeh¨orige ma- thematische Modell enth¨alt eine elliptische Bedingung in der Form der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes. Eine ganz analoge Situation ergibt sich, wenn die Machzahl in den Gleichungen der Magnetohydrodynamik gegen Null strebt. Der Grenzwert muß hier nat¨urlich die inkompressiblen MHD-Gleichungen liefern, welche ebenso eine unend- liche Ausbreitung von Druckwellen enthalten. In diesem Bericht untersuchen wir die kompressiblen MHD-Gleichungen f¨ur den Fall, daß verschiedene Wellenausbreitungsge- schwindigkeiten sehr groß werden. Dabei werden asymptotische Methoden verwendet.

Der Quotient der Referenzgr¨oßen von Str¨omungs- und Wellengeschwindigkeit wird sehr klein und wird als Entwicklungsparameter angesetzt. Wird die Schallgeschwindigkeit im Vergleich zur Str¨omungsgeschwindigkeit sehr groß ist dieser Entwicklungsparameter gerade die Machzahl. Wird die Alfvengeschwindigkeit im Vergleich zur Str¨omungsge- schwindigkeit sehr groß ist dies die Alfvenzahl.

Eine formale asymptotische Entwicklung mit zwei Raumskalen und einer Zeitska- la wird in dieser Arbeit ausgef¨uhrt. Dies liefert Erkenntnisse ¨uber den entsprechenden Grenz¨ubergang. So lassen sich die Terme identifizieren, welche mit der großen Ausbrei- tungsgeschwindigkeit zusammenh¨angen. Ein Aufspalten der Konvektionsterme und der Terme assoziiert mit den schnellen Wellen l¨aßt sich ausf¨uhren. Dies liefert Erkenntnisse f¨ur die Konstruktion numerischer Methoden, welche die Zeitschrittbedingung durch die schnellen Wellen umgehen. Die schnellen Terme m¨ussen in der Approximation implizit behandelt werden. Die zwei Raumskalen, eine lokale und eine f¨ur langwellige Ph¨ano- mene, geben Informationen ¨uber die Wechselwirkung schneller aber langwelliger Anteile im Str¨omungsfeld und deren Wechselwirkung mit den kleinskaligen Ph¨anomenen. Diese asymptotischen Betrachtungen folgen den Ans¨atzen in [2] und [3] f¨ur die Gleichungen der Gasdynamik.

2 Gleichungen

2.1 Gleichungen in Erhaltungsform

Die Gleichungen der dreidimensionalen idealen Magnetohydrodynamik lauten¹ in karte- sischen Koordinaten:

∂

∂t







 ρ ρ~v

B~ E







 + div











ρ~v^T

ρ~v~v^T + (p+¹₂B²)I−B ~~B^T

~v ~B^T −B~~v^T

(E+p+ ¹₂B²)~v^T −(~v^TB)~ B~^T











= 0 (2.1)

mit dem Geschwindigkeitsvektor ~v = (u, v, w)^T, dem Magnetfeldvektor B~ = (B₁, B₂, B₃)^T und

B² :=B~^TB .~

Nimmt man f¨ur das Plasma die Zustandsgleichung des idealen Gases

p= (γ−1)ρε (2.2)

an, so ergibt sich die zus¨atzliche Beziehung E = p

γ−1 +1

2ρ(~v^T~v) +1

2B² . (2.3)

Nimmt man das Plasma als isentrop an, d.h. der Druck h¨angt ¨uber die Beziehung

p=cρ^γ (2.4)

mit einer Konstantencdirekt von der Dichte ab, so werden Dichte, Impuls und Magnet- feld unabh¨angig von der Energie, d.h. man kann die letzte Zeile des Systems streichen.

Dieser Fall wird sp¨ater getrennt untersucht werden.

Betrachtet man nun eine — allerdings recht hypothetische — Situation, in der die Werte der beteiligten Gr¨oßen nur in einer Raumrichtung, die der Einfachheit halber als die erste angenommen werden soll, variieren, so ergibt sich f¨ur das Magnetfeld in Abh¨angigkeitsrichtung

B_1,t = 0 . (2.5)

1Zur Vereinfachung der Ausdr¨ucke wurde das Magnetfeld mit einem Faktor 1/√

4πnormiert.

D.h. die Zeitableitung (die hier durch den Index t gekennzeichnet ist) des Feldes in x- Richtung verschwindet. Nun weiß man, daß es keine magnetischen Monopole gibt, wes- halb das Feld divergenzfrei sein muß. Daraus ergibt sich mit der alleinigen Abh¨angigkeit von der x-Richtung

0 = divB~ =B_1x+B_2y+B_3z =B_1x , (2.6) weshalb die Feldkomponente B1 auch r¨aumlich konstant werden muß. Damit kann man die zugeh¨orige Komponentengleichung ganz weglassen und erh¨alt das System

qt+f(q)x= 0 (2.7)

mit

q =



















 ρ ρu ρv ρw B₂ B₃ E





















, f(q) =





















ρu

ρu²+p+¹₂B²−B₁² ρuv−B₁B₂ ρuw−B1B3

B₂u−vB₁ B₃u−wB₁

(E+p+¹₂B²)u−(uB1+vB2+wB3)B1





















. (2.8)

Dieses hat man nun in jedem Schritt eines numerischen Verfahrens mit Dimensions- splitting f¨ur jede Raumrichtung zu l¨osen. Da die (dreidimensionalen) idealen MHD- Gleichungen, wie man aus der physikalischen Anschauung vermutet und aus der Kom- ponentenschreibweise schnell abliest, rotationsinvarant sind, reicht es, das System f¨ur diese eine Richtung zu betrachten.

Rechnet man f¨ur (2.8) und den Fall des idealen Gases (2.3) die Eigenwerteλ1, . . . , λ7

von f⁰(q) aus und w¨ahlt f¨uri= 1,2,3 die folgenden Abk¨urzungen bi=

s B_i²

ρ b²= B²

ρ a=

rγp

ρ , (2.9)

wobei a gerade die akustische Schallgeschwindigkeit ist, so findet man der Gr¨oße nach geordnet

λ₁ =u−c_f, λ₂ =u−c_A, λ₃ =u−c_s, λ₄ =u,

λ₅=u+c_s, λ₆=u+c_A, λ₇ =u+c_f mit

cA=|b1|, (2.10)

cf = s

1 2

a²+b²+ q

(a²+b²)²−4a²b12

, (2.11)

c_s= s

1 2

a²+b²− q

(a²+b²)²−4a²b₁²

. (2.12)

F¨ur die isentropen Gleichungen entf¨allt der Eigenwert λ₄ =u.

Nun sieht man schon die Entartungsf¨alle, die auftreten k¨onnen. Zum einen, wenn es kein Feld in der ersten Raumrichtung gibt, d.h. b₁ = 0. Dann fallen die Eigenwerteλ₂ bisλ₆ zusammen. Genauer gilt:

cA=cs= 0 , c_f =p

a²+b² = q

a²+b²_⊥ (2.13)

mit

b²_⊥=b²₂+b²₃

dem Quadrat der Magnetfeldkomponente orthogonal zur Stromrichtung. Zum anderen der Fall, daß eben diese Orthogonalkomponente des Feldes verschwindet. Dann ist n¨am- lich je nachdem, obb₁ betraglich kleiner oder gr¨oßer ist als die Schallgeschwindigkeit

cs=cA cf =a oder

c_f =c_A c_s=a

und, wennb₁ betraglich mit der Schallgeschwindigkeitaubereinstimmt, sogar¨ cf =cA=cs=a .

Man nennt dies einen dreifachen Entartungspunkt, weil hier alle drei Wellengeschwindig- keiten zusammenfallen. F¨ur ein System von Eigenvektoren, das auch in diesen kritischen Punkten des Zustandsraums noch stabil ist siehe z.B. [4].

Die genannten F¨alle werden im Folgenden an einigen Stellen eine besondere Behand- lung erfahren.

2.2 Die Gleichungen in primitiven Variablen

F¨ur die Untersuchung der asymptotischen Entwicklung ist es g¨unstig, die Gleichungen in primitiven Variablen zu betrachten.

2.2.1 Die isentropen Gleichungen

In diesem Fall ergeben sich f¨ur die primitiven Variablenp, u, v, w, B2, B3die Gleichungen p_t+up_x+γpu_x= 0 , (2.14) ut+px

ρ +uux+ 1

2ρ(B²)x= 0 , (2.15)

vt+uvx−1

ρB1B2x= 0 , (2.16)

wt+uwx−1

ρB1B3x= 0 , (2.17)

B_2t+B₂u_x−B₁v_x+uB_2x= 0 , (2.18) B_3t+B₃u_x−B₁w_x+uB_3x= 0 . (2.19)

Die Dichte ergibt sich dabei aus der Zustandsgleichung (2.4) des isentropen Gases:

ρ=p c

_γ¹ .

Verschwindet nun das Feld in Orthogonalrichtung, d.h. wird B_⊥ = 0, so haben das Magnetfeld und die orthogonalen Geschwindigkeiten keinen Einfluß mehr auf den Druck und die Str¨omungsgeschwindigkeit, und man beh¨alt gerade die eindimensionalen isen- tropen Eulergleichungen

pt+upx+γpux = 0 , u_t+ px

ρ +uu_x = 0 , ρ=p c

_γ¹ .

Hat man den Fall, daßB1 null wird, so gibt es keine Wechselwirkung des Feldes mit den orthogonalen Geschwindigkeiten mehr, d.h. auch hier lassen sich die Gleichungen (2.16) und (2.17) vom ¨ubrigen System abkoppeln. Die Gleichungen f¨urB₂ undB₃ haben nun die selbe Gestalt, sodaß das Magnetfeld die Richtung nicht mehr wechseln kann.

Damit kann man das Magnetfeld als in einer der beiden Koordinatenrichtungen gelegen annehmen, die andere Gleichung weglassen und die ¨ubrige Feldkomponente einfach mit B bezeichnen. Damit ergibt sich das System

pt+upx+γpux= 0 , u_t+uu_x+p_x

ρ + 1 2 B²

x= 0 , Bt+Bux+uBx= 0 ,

ρ= p

c ¹

γ . 2.2.2 Die Gleichungen mit dem idealen Gas

Nimmt man als Zustandsgleichung die des idealen Gases an, so erf¨ullen die primitiven Variablen ρ, u, v, w, B₂, B₃, p die Gleichungen

ρ_t+uρ_x+ρu_x= 0 , (2.20) ut+uux+ 1

2ρ(B_⊥²)x+px

ρ = 0 (2.21)

v_t+uv_x−B₁

ρ B_2x= 0 , (2.22)

wt+uwx−B1

ρ B3x= 0 , (2.23)

B2t+B2ux−B1vx+uB2x= 0 , (2.24) B_3t+B₃u_x−B₁w_x+uB_3x= 0 , (2.25) p_t+γpu_x+up_x= 0 . (2.26)

Verschwindet nun f¨ur eintdas Feld in der Orthogonalenrichtung, so haben zu diesem Zeitpunkt — bei einem numerischen Verfahren im aktuellen Zeitschritt — das Magnetfeld und die orthogonalen Geschwindigkeiten keinen Einfluß auf die Gr¨oßenρ,uund p. Also bleiben auch hier wie im isentropen Fall gerade die eindimensionalen Eulergleichungen

¨

ubrig. Mit dem idealen Gas lauten diese:

ρ_t+uρ_x+ρu_x = 0 , ut+uux+px

ρ = 0 , p_t+γpu_x+up_x = 0 .

Nach der L¨osung dieser lassen sich dann (2.22) und (2.23) ausrechnen.

Wird B₁ null, ohne daß das orthogonale Feld verschwindet, so gibt es auch f¨ur das ideale Gas keine Wechselwirkung des Feldes mit den orthogonalen Geschwindigkeiten mehr. Also lassen sich auch hier wieder (2.22) und (2.23) vom ¨ubrigen System abkoppeln.

Auch die Gleichungen f¨ur die beiden orthogonalen Magnetfeldrichtungen werden wieder identisch, so daß man das Magnetfeld als in einer Koordinatenrichtung gelegen denken kann und das geschlossene System erh¨alt:

ρt+uρx+ρux = 0 , u_t+uu_x+ 1

2ρ(B²)_x+p_x ρ = 0 , B_t+Bu_x+uB_x = 0 , pt+γpux+upx = 0 .

Man kann auch in diesem Fall wieder die Gleichungen (2.22) und (2.23)

”nachtr¨aglich“

l¨osen.

Anmerkung: Die reduzierten Systeme lassen sich nat¨urlich auch aus den konservativen Gleichungen herleiten. Es ist jedoch einfacher und insbesondere physikalisch aussage- kr¨aftiger, die Asymptotik mit den primitiven Gr¨oßen zu betrachten, weshalb dies hierher verschoben wurde.

3 Asymptotische Entwicklungen und ihre Auswertung

Die asymptotische Mehrskalenentwicklung wurde von R. Klein f¨ur die Eulergleichun- gen vorgeschlagen ([2]). Sie war zun¨achst physikalisch motiviert. Sp¨ater lieferte dann A.

Meister ([3]) eine mathematische Grundlegung, in der er asymptotische Ein- und Mehrs- kalenentwicklungen einf¨uhrt und einige wichtige Eigenschaften herleitet. Insbesondere gibt er f¨ur den Fall, daß die L¨osung eine solche asymptotische Entwicklung besitzt, hin- reichende Voraussetzungen f¨ur die G¨ultigkeit der in [2] angegebenen Interpretation.

Der Ausgangspunkt f¨ur die gew¨ahlte Asymptotik ist eine Entdimensionalisierung der Gleichungen, wie man sie etwa in [1] auf Seite 116 ausgerechnet findet. Dabei w¨ahlt man f¨ur die Schallgeschwindigkeit und die Alfvengeschwindigkeit eine eigene, von der Referenz der Str¨omungsgeschwindigkeit unabh¨angige Referenz. D.h. man f¨uhrt Referenzgr¨oßen ρ0, l0, v0, p0 und B0 f¨ur Dichte, L¨ange, Geschwindigkeit, Druck und Magnetfeld ein und bildet daraus die Referenzen f¨ur Zeit und Energie sowie

a0 = rγp0

ρ0

und cA,0 = s

B²₀ ρ0

f¨ur die Schallgeschwindigkeit und die Alfvengeschwindigkeit. Hiermit definiert man die globale MachzahlM und die globale AlfvenzahlAv:

M := v₀ a0

, Av:= v₀ cA,0

.

Dies f¨uhrt f¨ur die Gleichungen der idealen eindimensionalen MHD auf das folgende ent- dimensionalisierte System:

p_t+up_x+γpu_x= 0 , (3.1) ut+uux+ 1

M² px

ρ + 1

2Av²ρ(B²)x= 0 , (3.2) vt+uvx− 1

Av²ρB1B2x= 0 , (3.3) wt+uwx− 1

Av²ρB1B3x= 0 , (3.4) B_2t+B₂u_x−B₁v_x+uB_2x= 0 , (3.5) B_3t+B₃u_x−B₁w_x+uB_3x= 0 , (3.6)

ρ=p c

¹_γ

(3.7)

f¨ur das isentrope bzw.

ρt+uρx+ρux = 0 , (3.8) u_t+uu_x+ 1

M² p_x

ρ + 1

2Av²ρ(B²)_x = 0 , (3.9) v_t+uv_x− B1

Av²ρB_2x = 0 , (3.10)

wt+uwx− B1

Av²ρB3x = 0 , (3.11)

B_2t+B₂u_x−B₁v_x+uB_2x = 0 , (3.12) B_3t+B₃u_x−B₁w_x+uB_3x = 0 , (3.13) pt+γpux+upx = 0 (3.14) f¨ur das ideale Gas.

Wie man an diesen Gleichungen sieht, unterscheiden sich die Situationen f¨ur das isentrope und das ideale Gas nur darin, daß die Dichte im einen Fall durch die Zu- standsgleichung im anderen Fall nur durch die Kontinuit¨atsgleichung bestimmt ist.

”Nur“

deshalb, weil sich die Kontinuit¨atsgleichung auch im isentropen Fall als Folgerung aus Zustands- und Druckgleichung gewinnen l¨aßt. Daher sollen zun¨achst einmal die Eigen- schaften nachgerechnet werden, die in beiden F¨allen gleich sind, d.h. nicht von den speziellen Eigenschaften einer Zustandsgleichung abh¨angen.

3.1 Entwicklung f¨ ur kleine Machzahlen

In diesem Abschnitt wird das Verhalten f¨ur kleine Machzahlen und Av = O(1) unter- sucht. Zur Vereinfachung wird im FolgendenAv = 1 angenommen. Man betrachtet nun L¨osungen der Form

q(x, t) =q⁽⁰⁾(x, ξ, t) +M q⁽¹⁾(x, ξ, t) +M²q⁽²⁾(x, ξ, t) +. . . (3.15) mit Funktionen

q⁽ⁱ⁾ : R×R×[0,∞) → R^m (x, ξ, t) 7→ q⁽ⁱ⁾(x, ξ, t)

(i= 0,1,2, . . .) (3.16) und der Setzung

ξ =M x . (3.17)

Dabei bezeichnetm die Dimension des Zustandsvektors q, ist also sechs (isentrop) oder sieben (ideales Gas). Die Funktionenq⁽ⁱ⁾ sollen im Raum nur sublinear wachsen d¨urfen.

D.h. es muß gelten:

q⁽ⁱ⁾(x, ξ, t)

x →0 f¨ur x→ ∞ ∀i, t . (3.18)

Setzt man eine solche Entwicklung in die Gleichungen ein, so erh¨alt man durch Ko- effizientenvergleich in M Aussagen ¨uber die Funktionenq⁽ⁱ⁾.

Die Idee der Mehrskalenentwicklung ist, daß bei großen Unterschieden zwischen den verschiedenen Skalen die entsprechenden physikalischen Effekte getrennt voneinander betrachtet werden k¨onnen. Die kleinskalige Variable x und die großskalige Variable ξ werden somit als voneinander unabh¨angig betrachtet. Die Wechselwirkung der Ph¨a- nomene ergibt sich dann durch Mittelwertbildung. Die G¨ultigkeit der asymptotischen Entwicklung (3.15) wird vorausgesetzt.

Betrachtet man zum Beispiel die Gleichung f¨ur die Str¨omungsgeschwindigkeit u, so findet man beim KoeffizientenM⁻²

p⁽⁰⁾_x = 0 (3.19)

und beiM⁻¹

p⁽¹⁾_x +p⁽⁰⁾_ξ = 0 . (3.20)

Integriert man nun Gleichung (3.20) in der ersten Variablen ¨uber ein Intervall I = [a, b]

und verwendet dabei, daß der Druck nullter Ordnung nach (3.19) nicht mehr von x abh¨angt, so ergibt sich

0 = 1

|I| Z

I

p⁽⁰⁾_ξ (ξ, t)dx+ 1

|I| Z

I

p⁽¹⁾_x (x, ξ, t)dx

=p⁽⁰⁾_ξ + 1

|I| Z

I

p⁽¹⁾_x (x, ξ, t)dx

=p⁽⁰⁾_ξ + 1

|I| p⁽¹⁾b

a .

Nun kannp⁽¹⁾ im Raum nur sublinear wachsen (3.18). Damit folgt aber

p⁽⁰⁾_ξ = 0 f¨ur |I| → ∞ (3.21) Damit ist der Druck nullter Ordnung nur noch von der Zeit abh¨angig. Außerdem sieht man in (3.20), daß auch der Druck erster Ordnung nicht von x abh¨angt. Es ergibt sich also:

p⁽⁰⁾ =p⁽⁰⁾(t) , p⁽¹⁾=p⁽¹⁾(ξ, t) . (3.22) Beim KoeffizientenM⁰findet man in (3.2) bzw. (3.9), wenn man das Ganze anschlie- ßend mitρ⁽⁰⁾ multipliziert,

ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_t +p⁽¹⁾_ξ +p⁽²⁾_x +B⁽⁰⁾₂ B_2,x⁽⁰⁾+B₃⁽⁰⁾B_3,x⁽⁰⁾ = 0.

Analog ergibt sich aus der Dichtegleichung (3.8), wenn man mit u⁽⁰⁾ multipliziert, ρ⁽⁰⁾_t u⁽⁰⁾+ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x +ρ⁽⁰⁾_x u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾= 0 .

Addiert man diese beiden Gleichungen, so erh¨alt man die Erhaltungsform

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)t+ (ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)x+p⁽¹⁾_ξ +p⁽²⁾_x +B₂⁽⁰⁾B_2,x⁽⁰⁾+B₃⁽⁰⁾B_3,x⁽⁰⁾= 0 . (3.23) Durch Integration von (3.23) bez¨uglich der ersten Variablen ¨uber dem IntervallI erh¨alt man unter Ber¨ucksichtigung von (3.22)

0 = 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_tdx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_x+p⁽²⁾_x +B⁽⁰⁾₂ B_2,x⁽⁰⁾+B₃⁽⁰⁾B_3,x⁽⁰⁾dx + 1

|I| Z

I

p⁽¹⁾_ξ dx

= d dt

1

|I| Z

I

ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾dx+p⁽¹⁾_ξ + 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)x+p⁽²⁾_x +1

2 (B₂⁽⁰⁾)²+ (B₃⁽⁰⁾)²

xdx und damit

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_t+p⁽¹⁾_ξ = 0 f¨ur |I| → ∞ (3.24) Dabei bezeichnet der Oberstrich die Mittelung einer Gr¨oße.

Aus den Koeffizienten vonM⁰ in der Druckgleichung ergibt sich p⁽⁰⁾_t +p⁽⁰⁾_x u⁽⁰⁾+γp⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x = 0

bzw., wenn man (3.19) ausn¨utzt,

p⁽⁰⁾_t +γp⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x = 0 . (3.25) Damit kann auchu⁽⁰⁾x nur noch von der Zeit abh¨angen. Integration von Gleichung (3.25) wie oben ergibt

0 = 1

|I| Z

I

p⁽⁰⁾_t dx+ 1

|I| Z

I

γp⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x dx

=p⁽⁰⁾_t + 1

|I|γp⁽⁰⁾ u⁽⁰⁾b

a ,

(3.26)

das heißtp⁽⁰⁾ ¨andert sich zeitlich nur durch Kompression von außen.

L¨ost man (3.25) nachu⁽⁰⁾x auf, so erh¨alt man die zeitliche Ableitung vonu⁽⁰⁾x : u⁽⁰⁾_x =− p⁽⁰⁾_t

γp⁽⁰⁾ . (3.27)

Einsetzen in die aus dem Koeffizientenvergleich entstandene Kontinuit¨atsgleichung zur Ordnung null ein ergibt

ρ⁽⁰⁾_t +ρ⁽⁰⁾_x u⁽⁰⁾ = ρ⁽⁰⁾p⁽⁰⁾_t γp⁽⁰⁾ .

Sammelt man nun in der Druckgleichung (3.1) bzw. (3.14) die Koeffizienten von M und f¨uhrt die gleiche Integration durch, so findet man unter Ber¨ucksichtigung von (3.22):

0 = 1

|I| Z

I

p⁽¹⁾_t dx+ 1

|I| Z

I

γp⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ dx+ 1

|I| Z

I

γp⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x +γp⁽¹⁾u⁽⁰⁾_x dx

=p⁽¹⁾_t +γp⁽⁰⁾ 1

|I| Z

I

u⁽⁰⁾_ξ dx+γp⁽⁰⁾ 1

|I| Z

I

u⁽¹⁾_x +γp⁽¹⁾ 1

|I| Z

I

u⁽⁰⁾_x dx Es ist also

p⁽¹⁾_t +γp⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ= 0 f¨ur|I| → ∞. (3.28) Man bekommt somit auch hier wie bei den Eulergleichungen mit (3.24) und (3.28) aus der Asymptotik die Gleichungen der linearisierten Akustik.

Alles in Allem ergibt sich f¨urM →0 in der Grenze die folgende Situation:

Zun¨achst der isentrope Fall:

p⁽⁰⁾_t +γp⁽⁰⁾u_x = 0, (3.29) u_t+uu_x+ 1

ρp⁽²⁾_x + 1

2Av²ρ(B²)_x =−1

ρp⁽¹⁾_ξ , (3.30) v_t+uv_x− 1

Av²ρB₁B_2x = 0, (3.31) w_t+uw_x− 1

Av²ρB₁B_3x = 0, (3.32) B2t+B2ux−B1vx+uB2x = 0, (3.33) B_3t+B₃u_x−B₁w_x+uB_3x = 0. (3.34) F¨ur das ideale Gas:

ρt+ρux+ρxu= 0 , (3.35) ut+uux+1

ρp⁽²⁾_x + 1

2Av²ρ(B²)x=−1

ρp⁽¹⁾_ξ , (3.36) vt+uvx− 1

Av²ρB1B2x= 0 , (3.37) wt+uwx− 1

Av²ρB1B3x= 0 , (3.38) B_2t+B₂u_x−B₁v_x+uB_2x= 0 , (3.39) B_3t+B₃u_x−B₁w_x+uB_3x= 0 , (3.40) p⁽⁰⁾_t +γp⁽⁰⁾ux= 0 . (3.41) Es zeigt sich, daß f¨urM = 0 die drei ersten Druckterme der Entwicklung

p=p⁽⁰⁾+M p⁽¹⁾+M²p⁽²⁾+O(M³) (3.42)

in die Gleichungen eingehen und alle einen Einfluß auf die f¨uhrende Ordnung der anderen physikalischen Gr¨oßen haben. Dabei gilt f¨urM → ∞:

p⁽⁰⁾=p⁽⁰⁾(t), p⁽¹⁾=p⁽¹⁾(ξ, t) und p⁽²⁾=p⁽²⁾(x, ξ, t). (3.43) Man findet inp⁽⁰⁾ den thermodynamischen Druck und in p⁽¹⁾ die Amplitude der akusti- schen Wellen. Die rechte Seite in (3.30) bzw. (3.36) ist Null, falls das Str¨omungsgebiet endlich ist. Die zeitliche Entwicklung von p⁽⁰⁾ ergibt sich aus

p⁽⁰⁾_t + 1

|I|γp⁽⁰⁾ ub

a= 0 . (3.44)

Diese Gleichungen entsprechen den inkompressiblen MHD-Gleichungen mit einer m¨oglichen Kompression von außen.

F¨ur kleine Machzahlen liefert die asymptotische Betrachtung durch Mittelung der St¨orungsgleichungen Evolutionsgleichungen f¨ur die langwellige Akustik:

(ρu)_t+p⁽¹⁾_ξ = 0 , (3.45)

p⁽¹⁾_t +γp⁽⁰⁾u_ξ = 0 . (3.46) Im isentropen Fall ergeben sich die inkompressiblen Gleichungen ohne r¨aumliche Dichtevariation. Eine Dichte¨anderung in der Zeit kann durch Kompression von außen vorgegeben sein. Entweder ist der Hintergrunddruckp⁽⁰⁾ =p(⁽⁰⁾(t) vorgegeben — dann istux =ux(t) bestimmt aus (3.29) — oder es sind die Randwerte vonuvorgegeben, d.h.

es ist

u_x=u(b)−u(a) ,

und p⁽⁰⁾ ist aus (3.29) bestimmt. Die Dichte¨anderung ergibt sich dann direkt aus der Zustandsgleichung (2.4).

Die ¨Uberlegungen f¨ur den Hintergrunddruckp⁽⁰⁾ und ux sind auch f¨ur die Gleichun- gen (3.35) - (3.46) noch g¨ultig. Jedoch sind aufgrund der anderen Zustandsgleichung r¨aumliche Dichte¨anderungen m¨oglich. Die Dichtegleichung (3.35) beschreibt den Trans- port der Dichte mit einer zeitlichen Dichte¨anderung durch Kompression von außen, d.h.

einer adiabaten Kompression entlang Teilchenbahnen.

3.2 Entwicklung f¨ ur kleine Alfvenzahlen

In diesem Abschnitt nun wird das Verhalten f¨ur kleine Alfvenzahlen und M =O(1) un- tersucht. Um die Schreibweise zu vereinfachen, wird im FolgendenM = 1 angenommen.

Man betrachtet also nun L¨osungen der Form

q(x, t) =q⁽⁰⁾(x, ξ, t) +Av q⁽¹⁾(x, ξ, t) +Av²q⁽²⁾(x, ξ, t) +. . .

mit Funktionen

q⁽ⁱ⁾ : R×R×[0,∞) → R^m (x, ξ, t) 7→ q⁽ⁱ⁾(x, ξ, t)

(i= 0,1,2, . . .) und der Setzung

ξ =Av x . (3.47)

Dabei bezeichnetmwieder die Dimension des Zustandsvektorsq, ist also sechs (isentrop) oder sieben (ideales Gas). Auch hier d¨urfen die Funktionenq⁽ⁱ⁾ nur sublinear wachsen:

q⁽ⁱ⁾(x, ξ, t)

x →0 f¨ur x→ ∞ ∀i, t . (3.48) F¨ur die Interpretation dieser Entwicklung kommt man nun nicht mehr umhin, auch die Entartungsf¨alle gesondert zu betrachten.

Zun¨achst der einfachste Fall, n¨amlich der, daß das orthogonale Magnetfeld verschwin- det. Dann verschwinden die Terme in den Gleichungen (3.1) – (3.14), die von der Alf- venzahl abh¨angen. Das heißt aber, daß diese keinen Einfluß mehr auf die L¨osung hat, und man kann sich die Entwicklung g¨anzlich sparen.

Verschwindet nun das Feld in Str¨omungsrichtung, ohne daß das orthogonale Feld null wird, so kann man sich wie in2.2.1und 2.2.2gesehen auf die Betrachtung des Systems pt+upx+γpux= 0 , (3.49) u_t+uu_x+p_x

ρ +1 2

1 Av² B²

x= 0 , (3.50)

B_t+Bu_x+uB_x= 0 , (3.51)

ρ= p

c ¹

γ (3.52)

im isentropen Fall bzw.

ρ_t+uρ_x+ρu_x= 0 , (3.53) u_t+uu_x+ 1

Av² 1

2ρ(B²)_x+px

ρ = 0 , (3.54)

Bt+Bux+uBx= 0 , (3.55)

p_t+γpu_x+up_x= 0 (3.56)

f¨ur das ideale Gas beschr¨anken. Wie man bereits ahnt, ¨ubernimmt der TermB²die Rolle, die bei der Entwicklung f¨ur die Machzahl der Druck hatte, und die Magnetfeldgleichung die Rolle, die bisher der Druckgleichung zufiel.

Sammelt man in der Momentengleichung die Koeffizienten von Av⁻², so findet man, daß Bx⁽⁰⁾ verschwindet. Sammelt man die Koeffizienten von Av⁻¹ und setzt diese Er- kenntnis dort ein, so ergibt sich

B⁽⁰⁾B⁽¹⁾_x +B⁽⁰⁾B_ξ⁽⁰⁾= 0 . (3.57)

Integriert man Gleichung (3.57) in der ersten Variablen ¨uber ein IntervallI = [a, b], so f¨uhrt das wie bei der Integration von (3.20) auf

0 = 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾B_x⁽¹⁾dx+ 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾B_ξ⁽⁰⁾dx

=B⁽⁰⁾ 1

|I| Z

I

B_x⁽¹⁾dx+B⁽⁰⁾B_ξ⁽⁰⁾ und damit

B⁽⁰⁾B_ξ⁽⁰⁾= 0 f¨ur|I| → ∞ . (3.58) Also ist das Magnetfeld nullter Ordnung r¨aumlich konstant. Setzt man dies in (3.57) ein, so findet man, daß auch Bx⁽¹⁾ verschwindet. Das heißt, es gilt

B⁽⁰⁾ =B⁽⁰⁾(t) , B⁽¹⁾=B⁽¹⁾(ξ, t) . (3.59) Bleibt man bei der Momentengleichung, sucht nun die Koeffizienten von Av⁰ und multipliziert das Ganze mitρ⁽⁰⁾, so f¨uhrt dies unter Ber¨ucksichtigung von (3.59) auf die Beziehung

ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_t +ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x +p⁽⁰⁾_x +B⁽⁰⁾B_x⁽²⁾+B⁽⁰⁾B⁽¹⁾_ξ = 0 . Analog ergibt sich aus der Dichtegleichung (3.8) nach Multiplikation mit u⁽⁰⁾

ρ⁽⁰⁾_t u⁽⁰⁾+ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x +ρ⁽⁰⁾_x u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾= 0 . Addiert man diese beiden Gleichungen, so erh¨alt man

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_t+ (ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_x+p⁽⁰⁾_x +B⁽⁰⁾B⁽²⁾_x +B⁽⁰⁾B_ξ⁽¹⁾= 0 . (3.60) Durch Integration von (3.60) bez¨uglich der ersten Variablen ¨uber dem Intervall I be- kommt man

0 = 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)tdx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)x+p⁽⁰⁾_x +B⁽⁰⁾B_x⁽²⁾dx + 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾B⁽¹⁾_ξ dx

= d dt

1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)dx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)x+p⁽⁰⁾_x +B⁽⁰⁾B_x⁽²⁾dx+B⁽⁰⁾B_ξ⁽¹⁾ . Also ist

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_t+B⁽⁰⁾B_ξ⁽¹⁾= 0 . (3.61) Dabei bezeichnet der Oberstrich wieder die Mittelung der betreffenden Gr¨oße.

Aus den Koeffizienten vonAv⁰ in der Magnetfeldgleichung (3.51) bzw. (3.55) ergibt sich unter Ber¨ucksichtigung von (3.59)

B_t⁽⁰⁾+B⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x = 0 . (3.62) Damit ist auchu⁽⁰⁾x nur noch eine Funktion der Zeit. Integration wie oben liefert

0 = 1

|I| Z

I

B_t⁽⁰⁾dx+ 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x dx

=B_t⁽⁰⁾+ 1

|I|B⁽⁰⁾ u⁽⁰⁾b

a ,

(3.63)

was bedeutet, daß sich — in Analogie zu (3.26) — B⁽⁰⁾ nur noch durch Kompression von außen ¨andern kann.

Sammeln der Koeffizienten vonAv in der Magnetfeldgleichung f¨uhrt auf B_t⁽¹⁾+B⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ +B⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x +B⁽¹⁾u⁽⁰⁾_x = 0 .

Integriert man auch hier, so findet man unter Ber¨ucksichtigung von (3.59):

0 = 1

|I| Z

I

B_t⁽¹⁾dx+ 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ dx+ 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x +B⁽¹⁾u⁽⁰⁾_x dx

=B_t⁽¹⁾+B⁽⁰⁾ 1

|I| Z

I

u⁽⁰⁾_ξ dx+ 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x +B⁽¹⁾u⁽⁰⁾_x dx . Daraus folgt

B_t⁽¹⁾+B⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ = 0 . (3.64) Man bekommt also mit (3.61) und (3.64) ein Analogon zu den Gleichungen der lineari- sierten Akustik.

Insgesamt gilt damit f¨urAv→0 in der Grenze unter der Annahme, daß das Feld in Str¨omungsrichtung verschwindet, im isentropen Fall

p_t+up_x+γpu_x= 0 , (3.65) ut+uux+ 1

M² px

ρ +1

ρ(B⁽⁰⁾B_x⁽²⁾+B⁽⁰⁾B_ξ⁽¹⁾) = 0 , (3.66) B_t+Bu_x+uB_x= 0 (3.67) und im Fall des idealen Gases

ρ_t+ρu_x+ρ_xu= 0 , (3.68) ut+uux+ 1

M² px

ρ +1

ρ(B⁽⁰⁾B_x⁽²⁾+B⁽⁰⁾B_ξ⁽¹⁾) = 0 , (3.69) B_t+Bu_x+uB_x= 0 , (3.70) p_t+up_x+γpu_x= 0 . (3.71)

Es zeigt sich, daß f¨urAv= 0 die ersten drei Magnetfeldterme aus der Entwicklung B =B⁽⁰⁾+AvB⁽¹⁾+Av²B⁽²⁾+O(Av³) (3.72) in die Gleichungen eingehen und alle einen Einfluß auf die f¨uhrende Ordnung der anderen physikalischen Gr¨oßen haben. Dabei gilt f¨urAv →0:

B⁽⁰⁾ =B⁽⁰⁾(t), B⁽¹⁾ =B⁽¹⁾(ξ, t) und B⁽²⁾ =B⁽²⁾(x, ξ, t) . (3.73) Die zeitliche Entwicklung vonB⁽⁰⁾ ergibt sich aus

B_t⁽⁰⁾+ 1

|I|B⁽⁰⁾ ub

a= 0 . (3.74)

F¨ur kleine Alfvenzahlen liefert die asymptotische Betrachtung durch Mittelung der St¨o- rungsgleichungen Evolutionsgleichungen f¨ur die langwelligen Magnetischen Erscheinun- gen:

(ρu)_t+B⁽⁰⁾B_ξ⁽¹⁾ = 0 , (3.75) B_t⁽¹⁾+B⁽⁰⁾u_ξ = 0 . (3.76) Nun bleibt noch die Situation zu betrachten, in der keine der Magnetfeldkomponenten verschwindet. Sammelt man hier in der Momentengleichung f¨ur die zweite bzw. dritte Raumrichtung die Koeffizienten vonAv⁻²bzw.Av⁻¹, so findet man analog zum vorigen Fall

B₂⁽⁰⁾=B₂⁽⁰⁾(t) B₂⁽¹⁾=B₂⁽¹⁾(ξ, t) , (3.77) B₃⁽⁰⁾=B₃⁽⁰⁾(t) B₃⁽¹⁾=B₃⁽¹⁾(ξ, t) . (3.78) Sammelt man nun in einer dieser beiden Momentengleichungen, etwa in (3.3) bzw. (3.10), die Koeffizienten von Av⁰ und multipliziert mit ρ⁽⁰⁾, so f¨uhrt dies unter Ber¨ucksichtigung von (3.77) auf

ρ⁽⁰⁾v_t⁽⁰⁾+ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾v_x⁽⁰⁾−B₁B_2,x⁽²⁾−B₁B_2,ξ⁽¹⁾ = 0 .

Analog ergibt sich aus der Dichtegleichung (3.8), nach Multiplikation mitv⁽⁰⁾ ρ⁽⁰⁾_t v⁽⁰⁾+ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x v⁽⁰⁾+ρ⁽⁰⁾_x u⁽⁰⁾v⁽⁰⁾ = 0 .

Addiert man diese beiden Gleichungen, so erh¨alt man

(ρ⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)_t+ (ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)_x−B₁B_2,x⁽²⁾−B₁B_2,ξ⁽¹⁾= 0 . (3.79) Die ¨ubliche Integration f¨uhrt auf

0 = 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)_tdx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)_x−B₁B_2,x⁽²⁾dx− 1

|I| Z

I

B₁B_2,ξ⁽¹⁾dx

= d dt

1

|I| Z

I

ρ⁽⁰⁾v⁽⁰⁾dx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)x−B1B_2,x⁽²⁾dx−B1B_2,ξ⁽¹⁾

Daher ist

(ρ⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)_t−B₁B_2,ξ⁽¹⁾= 0 f¨ur |I| → ∞ . (3.80) Gleiches gilt f¨ur (3.4) bzw. (3.11), wenn man w statt v und B3 statt B2 schreibt.

Auch f¨ur die Momentengleichung in Str¨omungsrichtung kann man dies tun. Analog zu (3.79) erh¨alt man¹

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_t+ (ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_x+p⁽⁰⁾_x +B₂⁽⁰⁾B_2,x⁽²⁾+B₃⁽⁰⁾B⁽²⁾_3,x+B₂⁽⁰⁾B_2,ξ⁽¹⁾+B₃⁽⁰⁾B_3,ξ⁽¹⁾ = 0 . (3.81) Integriert man nun auch (3.81) entsprechend, so kommt man auf

0 = 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)tdx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)x+p⁽⁰⁾_x +B₂⁽⁰⁾B_2,x⁽²⁾+B⁽⁰⁾₃ B_3,x⁽²⁾dx + 1

|I| Z

I

B₂⁽⁰⁾B⁽¹⁾_2,ξ +B₃⁽⁰⁾B_3,ξ⁽¹⁾dx

= d dt

1

|I| Z

I

ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾dx+ 1

|I| Z

I

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_x+p⁽⁰⁾_x +B₂⁽⁰⁾B_2,x⁽²⁾+B₃⁽⁰⁾B_3,x⁽²⁾dx + B₂⁽⁰⁾B_2,ξ⁽¹⁾+B₃⁽⁰⁾B⁽¹⁾_3,ξ

. Insgesamt ist also

(ρ⁽⁰⁾u⁽⁰⁾)_t+ B₂⁽⁰⁾B_2,ξ⁽¹⁾+B₃⁽⁰⁾B⁽¹⁾_3,ξ

= 0 , (ρ⁽⁰⁾v⁽⁰⁾)_t−B1B_2,ξ⁽¹⁾= 0 , (ρ⁽⁰⁾w⁽⁰⁾)_t−B1B_3,ξ⁽¹⁾= 0 .

(3.82)

Die Koeffizienten von Av⁰ in den Magnetfeldgleichungen ergeben

B_2,t⁽⁰⁾+B⁽⁰⁾₂ u⁽⁰⁾_x −B1v_x⁽⁰⁾= 0 , (3.83) B_3,t⁽⁰⁾+B₃⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x −B₁w_x⁽⁰⁾= 0 . (3.84) Integriert man Gleichung (3.83) in derselben Weise, wie dies bei den anderen Glei- chungen durchgef¨uhrt wurde, so f¨uhrt dies auf

0 = 1

|I| Z

I

B_2,t⁽⁰⁾dx+ 1

|I| Z

I

B₂⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_x dx− 1

|I| Z

I

B1v⁽⁰⁾_x dx

=B_2,t⁽⁰⁾+B⁽⁰⁾₂ 1

|I| Z

I

u⁽⁰⁾_x dx−B₁ 1

|I| Z

I

v_x⁽⁰⁾dx

=B_2,t⁽⁰⁾+B⁽⁰⁾₂ 1

|I| u⁽⁰⁾b

a−B₁ 1

|I| v⁽⁰⁾b

a .

1Die Dichtegleichung wurde hier nat¨urlich mitu⁽⁰⁾ multipliziert.

Geht man f¨ur (3.84) analog vor, ergibt sich insgesamt B_2,t⁽⁰⁾+B₂⁽⁰⁾ 1

|I| u⁽⁰⁾b

a−B₁ 1

|I| v⁽⁰⁾b

a= 0 , B⁽⁰⁾_3,t +B₃⁽⁰⁾ 1

|I| u⁽⁰⁾b

a−B1

1

|I| w⁽⁰⁾b

a= 0 .

(3.85)

Damit kann sich das Magnetfeld nur noch durch Kompression und Scherung von den R¨andern her ver¨andern.

Sucht man nun in den Magnetfeldgleichungen nach den Koeffizienten von Av, so findet man z.B. f¨ur das Feld in y-Richtung

B_2,t⁽¹⁾+B⁽¹⁾₂ u⁽⁰⁾_x +B₂⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x +B₂⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ −B₁v_ξ⁽⁰⁾= 0 . (3.86) Integration ergibt

0 = 1

|I| Z

I

B⁽¹⁾_2,t dx+ 1

|I| Z

I

B₂⁽¹⁾u⁽⁰⁾_x +B₂⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x dx+ 1

|I| Z

I

B⁽⁰⁾₂ u⁽⁰⁾_ξ dx− 1

|I| Z

I

B₁v⁽⁰⁾_ξ dx

=B⁽¹⁾_2,t + 1

|I| Z

I

B₂⁽¹⁾u⁽⁰⁾_x +B₂⁽⁰⁾u⁽¹⁾_x dx+B₂⁽⁰⁾ 1

|I| Z

I

u⁽⁰⁾_ξ dx−B1

1

|I| Z

I

v_ξ⁽⁰⁾dx . Damit erh¨alt man analog zu (3.64)

B_2,t⁽¹⁾+B₂⁽⁰⁾u⁽⁰⁾_ξ−B₁v⁽⁰⁾_ξ = 0 , B_3,t⁽¹⁾+B₃⁽⁰⁾u⁽⁰⁾ξ−B1v⁽⁰⁾_ξ = 0 .

(3.87)

Alles in Allem ergibt sich in der Grenze f¨urAv→0 die folgende Situation:

ρ_t+ρu_x+ρ_xu= 0 , (3.88)

ut+uux+ 1 M²

1 ρpx+1

ρ(B₂⁽⁰⁾B_2,x⁽²⁾+B₃⁽⁰⁾B_3,x⁽²⁾) =−1

ρ(B₂⁽⁰⁾B_2,ξ⁽¹⁾−B⁽⁰⁾₃ B_3,ξ⁽¹⁾), (3.89) vt+uvx−1

ρB1B_2,x⁽²⁾= 1

ρB1B⁽¹⁾_2,ξ , (3.90) wt+uwx−1

ρB1B_3,x⁽²⁾= 1

ρB1B⁽¹⁾_3,ξ , (3.91) B_2,t⁽⁰⁾+B₂⁽⁰⁾ux−B1vx= 0 , (3.92) B_3,t⁽⁰⁾+B⁽⁰⁾₃ ux−B1wx= 0 , (3.93)

pt+γpux+pxu= 0 . (3.94)

F¨ur den Fall des isentropen Gases ersetzt man (3.88) durch die Zustandsgleichung (2.4).

Auch hier gehen wieder die drei ersten Druckterme aus der Entwicklung

Bi=B_i⁽⁰⁾+AvB_i⁽¹⁾+Av²B_i⁽²⁾+O(Av) , (i= 2,3), (3.95)

in die Gleichungen ein und haben einen Einfluß auf die f¨uhrende Ordnung der anderen physikalischen Gr¨oßen.

F¨urAv→ ∞ gilt:

B⁽⁰⁾_i =B⁽⁰⁾_i (t) , B⁽¹⁾_i =B⁽¹⁾_i (ξ, t) , B_i⁽²⁾=B_i⁽²⁾(x, ξ, t), (i= 2,3). (3.96) Die zeitliche ¨Anderung des Magnetfelds ergibt sich aus

B_2,t⁽⁰⁾+B₂⁽⁰⁾ 1

|I| ub

a−B1

1

|I| vb

a= 0 , (3.97)

B_3,t⁽⁰⁾+B₃⁽⁰⁾ 1

|I| ub

a−B₁ 1

|I| wb

a= 0 . (3.98)

Außerdem findet man wie oben wieder durch Mittelung der St¨orungsgleichungen Evolutionsgleichungen f¨ur langwellige magnetische Ph¨anomene:

(ρu)_t+ B₂⁽⁰⁾B_2,ξ⁽¹⁾+B₃⁽⁰⁾B⁽¹⁾_3,ξ

= 0, (3.99)

(ρv)_t−B₁B_2,ξ⁽¹⁾ = 0, (3.100) (ρw)_t−B₁B_3,ξ⁽¹⁾ = 0, (3.101) B_2,t⁽¹⁾+B₂⁽⁰⁾uξ−B1vξ = 0, (3.102) B_3,t⁽¹⁾+B₃⁽⁰⁾u_ξ−B₁v_ξ = 0. (3.103)

4 Die hyperbolisch-elliptische Aufspaltung

In diesem Abschnitt soll es darum gehen, die Resultate der asymptotischen Entwicklung dahingehend zu interpretieren, daß die Terme, welche mit der schnellen Ausbreitungs- geschwindigkeit assoziiert sind, und die reinen Konvektionsterme identifiziert werden k¨onnen. Die Idee ist dann nat¨urlich, f¨ur das numerische Verfahren ein Aufspalten dieser im Grenzwert elliptischen Terme und der hyperbolischen Transportterme durchzuf¨uhren.

Im Rahmen eines solchenSplitting-oder Fractional-Step-Verfahrens kann man dann die Konvektionsterme explizit und die elliptischen Terme implizit behandeln.

4.1 Der Fall kleiner Machzahlen

Im Folgenden wird die Situation f¨ur die Zustandsgleichung des idealen Gases ausf¨uhr- lich behandelt. Die Situation f¨ur die Zustandsgleichung des isentropen Gases ergibt sich daraus gewissermaßen als Spezialfall.

Aus der Diskussion der Druckgleichung f¨uhrender Ordnung ergibt sich, daß der Term γpu_x ein Schallterm ist. Er wird nach (3.26) konstant im Raum und zeitlich bestimmt durch die Randwerte, besitzt also eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Der Druckterm in der Geschwindigkeitsgleichung wird in f¨uhrender Ordnung konstant im Raum. Die Dichte ¨andert sich durch die schnellen Wellen aufgrund einer adiabaten Kom- pression vom Rand, welche durchρux bestimmt wird.

Mit diesen ¨Uberlegungen erh¨alt man die folgende Aufspaltung. Das System welches die Konvektionsterme enth¨alt lautet:

ρt+ρxu= 0 , (4.1)

ut+uux+ 1

2Av²ρ(B²)x= 0 , (4.2) vt+uvx− 1

Av²ρB1B2x= 0 , (4.3)

wt+uwx− 1

Av²ρB1B3x= 0 , (4.4)

B_2t+B₂u_x+uB_2x−B₁v_x= 0 , (4.5) B_3t+B₃u_x+uB_3x−B₁w_x= 0 , (4.6)

pt+pxu= 0 . (4.7)

Wie ¨ublich kann man (4.1) – (4.7) als System von Evolutionsgleichungen

q_t+Aq_x= 0 (4.8)