Der Satz von Rice

Der Satz von Rice

Prof. Dr. Berthold V¨ocking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexit¨at

RWTH Aachen

Bisher betrachtete Probleme

Die Diagonalsprache:

D = {w ∈ {0,1}^∗ |w =w_i und M_i akzeptiertw nicht}

Das Halteproblem:

H = {hMiw |M h¨alt auf w} Das spezielle Halteproblem:

H = {hMi |M h¨alt auf Eingabe }

Alle diese Probleme sind nicht rekursiv. Was haben diese Probleme gemeinsam?

Von TM berechnete Funktionen sind partielle Funktionen

Da TM nicht auf jeder Eingabe halten, berechnen sie

”partielle Funktionen“. Das k¨onnen wir wie folgt formalisieren:

Die von einer TMM berechnete Funktion ist von der Form f_M :{0,1}^∗ → {0,1}^∗∪ {⊥} .

Das Zeichen ⊥steht dabei f¨ur undefiniertund bedeutet, dass die Maschine nicht h¨alt.

Im Fall von Entscheidungsproblemen vereinfacht sich die Funktion zu

f_M :{0,1}^∗→ {0,1,⊥} .

Dabei steht 0 f¨ur Verwerfen, 1 f¨ur Akzeptierenund ⊥f¨ur Nicht-Halten.

Satz von Rice

Satz:

Sei Rdie Menge der von TM berechenbaren partiellen Funktionen undS eine Teilmenge von Rmit∅ 6=S 6=R. Dann ist die Sprache

L(S) ={ hMi | M berechnet eine Funktion ausS}

nicht rekursiv.

In anderen Worten: Aussagen ¨uber die von einer TM berechneten Funktion sind nicht entscheidbar.

Satz von Rice – Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:

Sei S ={f_M |f_M()6=⊥}.

Dann ist

L(S) = { hMi |M berechnet eine Funktion ausS}

= { hMi |M h¨alt auf Eingabe }

= H

Gem¨aß Satz von Rice ist H nicht entscheidbar.

(Aber das wussten wir ja schon ;-)

Satz von Rice – Anwendungsbeispiele

Beispiel 2:

Sei S ={f_M | ∀w ∈ {0,1}^∗ :f_M(w)6=⊥}.

Dann ist

L(S) = { hMi |M berechnet eine Funktion ausS}

= { hMi |M h¨alt auf jeder Eingabe}

Diese Sprache ist auch als das allgemeine Halteproblem Hall

bekannt.

Gem¨aß Satz von Rice ist Hall nicht entscheidbar.

Satz von Rice – Beweis

Beweis:

Wir nutzen die Unterprogrammtechnik. Aus einer TMM_L(S), die L(S) entscheidet, konstruieren wir eine TMM, die das spezielle HalteproblemH entscheidet.

Einige Vereinbarungen:

Sei u die ¨uberall undefinierte Funktion.

O.B.d.A.u 6∈S.

Sei f eine Funktion ausS. Sei N eine TM, die f berechnet.

f S R

u

Bemerkung: Im Falleu∈S betrachten wir R \S stattS und zeigen die Unentscheidbarkeit vonL(R \S). Hieraus ergibt sich dann unmittelbar die Unentscheidbarkeit vonL(S).

Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Die TMM mit UnterprogrammM_L(S) arbeitet wie folgt 1) Falls die Eingabe nicht aus einer korrekten G¨odelnummer

besteht, verwirft M die Eingabe.

2) Sonst berechnetM aus der Eingabe hMi die G¨odelnummer der TM M^∗ (n¨achste Folie).

3) Starte M_L(S) mit der Eingabe hM^∗i und akzeptiere (verwerfe) genau dann, wenn M_L(S) akzeptiert (verwirft).

Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Verhalten vonM^∗ auf Eingabe x

Schritt A: Simuliere das Verhalten von M bei Eingabe auf einer f¨ur diesen Zweck reservierten Spur.

Schritt B: Simuliere das Verhalten von N auf x, stoppe sobald N stoppt und ¨ubernehme die Ausgabe.

Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Korrektheit:

Bei Eingabe vonw =hMi gilt:

w ∈H ⇒ M h¨alt auf

⇒ M^∗ berechnet f

f∈S

⇒ hM^∗i ∈L(S)

⇒ M_L(S) akzeptiert hM^∗i

⇒ M akzeptiertw w 6∈H ⇒ M h¨alt nicht auf

⇒ M^∗ berechnet u

u6∈S⇒ hM^∗i 6∈L(S)

⇒ M_L(S) verwirft hM^∗i

⇒ M verwirftw

Satz von Rice – Weitere Anwendungsbeispiele

Beispiel 3:

Sei L₁₇=

{ hMi | M berechnet bei Eingabe der Zahl 17 die Zahl 42}.

Es istL17=L(S) f¨ur S ={f_M |fM(bin(17)) =bin(42)}.

Somit ist diese Sprache gem¨aß dem Satz von Rice nicht entscheidbar.

Beispiel 4:

Sei H17=

{ hMi | Auf jeder Eingabe stoppt M nach≤17 Schritten}.

Uber diese Sprache sagt der Satz von Rice nichts aus!!!¨ IstH₁₇ entscheidbar?