Der Satz von Rice (Erg¨anzungen)

Der Satz von Rice (Erg¨anzungen)

Prof. Dr. Berthold V¨ocking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexit¨at

RWTH Aachen

10. November 2009

Satz von Rice – Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:

Sei S ={fM |fM()6=⊥}.

Dann ist

L(S) = { hMi | M berechnet eine Funktion ausS}

= { hMi | M h¨alt auf Eingabe }

= H

Gem¨aß Satz von Rice ist H nicht entscheidbar.

Satz von Rice – Anwendungsbeispiele

Beispiel 2:

Sei S ={fM | ∀w ∈ {0,1}^∗ :fM(w)6=⊥}.

Dann ist

L(S) = { hMi | M berechnet eine Funktion ausS}

= { hMi | M h¨alt auf jeder Eingabe}

Diese Sprache ist auch als das allgemeine Halteproblem H_all bekannt.

Gem¨aß Satz von Rice ist H_all nicht entscheidbar.

Satz von Rice – Beweis

Beweis:

Wir nutzen die Unterprogrammtechnik. Aus einer TM ML(S), die L(S) entscheidet, konstruieren wir eine TMM, die das spezielle Halteproblem H entscheidet.

Einige Vereinbarungen:

Sei u die ¨uberall undefinierte Funktion.

O.B.d.A.u 6∈S.

Sei f eine Funktion ausS. Sei N eine TM, dief berechnet.

f S R

u

Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Die TM M mit UnterprogrammML(S) arbeitet wie folgt 1) Falls die Eingabe nicht aus einer korrekten G¨odelnummer

besteht, verwirft M die Eingabe.

2) Sonst berechnetM aus der Eingabe hMi die G¨odelnummer der TM M^∗ (n¨achste Folie).

3) Starte ML(S) mit der Eingabe hM^∗i und akzeptiere (verwerfe) genau dann, wennML(S) akzeptiert (verwirft).

Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Verhalten vonM^∗ auf Eingabe x

Schritt A: Simuliere das Verhalten von M bei Eingabe auf einer f¨ur diesen Zweck reservierten Spur.

Schritt B: Simuliere das Verhalten von N auf x, stoppe sobald N stoppt und ¨ubernehme die Ausgabe.

Satz von Rice – Fortsetzung Beweis

Korrektheit:

Bei Eingabe vonw =hMi gilt:

w ∈H ⇒ M h¨alt auf

⇒ M^∗ berechnet f

⇒ hM^∗i ∈L(S)

⇒ ML(S) akzeptiert hM^∗i

⇒ M akzeptiert w w 6∈H ⇒ M h¨alt nicht auf

⇒ M^∗ berechnetu

⇒ hM^∗i 6∈L(S)

⇒ ML(S) verwirfthM^∗i

⇒ M verwirftw