Ranglistenberechnung am Beispiel Volleyball

Bachelorarbeit

Ranglistenberechnung am Beispiel Volleyball

Zur Erlangung des akademischen Grades eines Bachelor of Science (B.Sc.) Studienfach: Information Engineering

Fachbereich Informatik und Informationswissenschaft Universität Konstanz

von Lars Volkhardt

1. Gutachter:Prof. Dr. Ulrik Brandes 2. Gutachter:Prof. Dr. Oliver Deussen

Konstanz, im März 2006

Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS)

URL: http://www.ub.uni-konstanz.de/kops/volltexte/2008/5792/

URN: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:352-opus-57927

Kurzfassung

Die vom Internationalen Volleyballverband herausgegebene Weltrangliste weist gewisse Eigenheiten auf, welche von den nationalen Verbänden oft kritisiert werden.

Die Rangliste wird maßgebend bestimmt mit der Vergabe von Punkten, die nur durch Teilnahme an einigen wenigen Turnieren gewonnen werden können. Welche Rahmenbedingungen die Turniere und einzelne Spiele beeinflusst haben, und die Stärke der Gegner, auf die eine Mannschaft traf, werden nicht berücksichtigt.

Ziel dieser Bachelor-Arbeit ist es, diese Eigenheiten darzulegen und ein alternatives Modell zur Berechnung einer Weltrangliste zu entwerfen.

Abstract

The volleyball world ranking published by the Fédération Internationale de Volleyball exhibits some peculiarities often criticised by the national volleyball associations. The ranking is determined by points that can only be collected by participating in a few selected tournaments. General conditions affecting the tournaments and particular matches, and the strength of opponents a team played against are not tanken into account.

The aim of this bachelor thesis is to expose these peculiarities and to design an alternative model for calculating the ranking of volleyball teams.

Vorwort

Bei sportlichen Mannschaftswettbewerben geht es häufig um die Frage nach der besten Mannschaft. Nicht selten ist auch ein Vergleich zwischen dem eigenen, favorisierten Team, und der besten Mannschaft im Wettbewerb interessant. Meist werden solche Fragen mit Hilfe einer Rangliste aller teilnehmenden Teams be- antwortet. Innerhalb einer Liga ist es einfach, eine Rangliste zu erstellen, treten schließlich alle Mannschaften gleich oft gegen einander an, und das mit den meisten Siegen und Toren ist das beste aller Teams.

Aber bei unregelmäßig aufeinander treffenden Teams, außerhalb eines regulären Liga-Betriebs, ist es um einiges schwieriger aussagekräftige Ranglisten zu erstellen.

Muss doch zum Beispiel berücksichtigt werden, dass viele Mannschaften ganz selten oder nie direkt aufeinander treffen. Bei Weltranglisten kommt weiterhin die Besonderheit der „kontinentalen Abgeschiedenheit“ hinzu. Tritt eine Mannschaft an vielen kleinen Wettbewerben mit regionaler Bedeutung an, bei der sie gegen schwache Teams leicht gewinnt, kann sie sich in der Weltrangliste um einige Plätze nach oben schieben. Dabei muss sie nichtig notwendigerweise im Vergleich zur direkten Konkurrenz in der Weltrangliste besser sein.

Diese und weitere Probleme werde ich am Beispiel der aktuellen Volleyball- Weltrangliste im folgenden Kapitel beschreiben. Im zweiten Teil meiner Arbeit werde ich anschließend auf die Erstellung von Weltranglisten näher eingehen, und dabei erläutern, wie man verschiedene Ranglisten miteinander vergleichen kann. Ziel ist es, die mit Hilfe von Modellen generierten Ranglisten in der Aus- sagekraft bezüglich der realen Stärken der Mannschaften zu vergleichen. Im dritten Kapitel werde ich eine Alternative zum aktuellen Ranking-Verfahren darlegen und versuchen, mit Hilfe des verwendeten Eigenvektor-Ranking die vor- her beschriebenen Probleme zu vermeiden. Im letzten Abschnitt werde ich das Eigenvektor-Ranking mit dem aktuell verwendeten Verfahren zur Berechnung der Volleyball-Weltrangliste vergleichen.

An dieser Stelle möchte ich mich bei all denjenigen herzlich bedanken, die mich unterstützt und mir in irgend einer Weise bei dieser Arbeit geholfen haben. In besonderen Maße danke ich Ulrik Brandes und Barbara Schlieper für die Ideen und Beantwortung meiner Fragen zum Volleyball und dessen mathematischer Umsetzung. Meinen Eltern danke ich für die fortwährende Unterstützung in den Jahren meines Studiums. Natürlich danke ich auch allen, die immer ein offenes Ohr hatten und durch Diskussionen und Anregungen mir immer wieder Rückhalt gaben.

Inhaltsverzeichnis

1 Die offizielle Volleyball-Weltrangliste 1

1.1 Einführung . . . 1

1.2 Zeitliche Wertung . . . 1

1.3 Weitere Besonderheiten . . . 2

1.4 Gewinnung der Spieldaten . . . 3

2 Visualisierung als Graph 5 2.1 Grundlagen . . . 5

2.2 Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen . . . 8

2.3 Der PageRank-Algorithmus . . . 14

2.4 Vergleichsmöglichkeiten von Ranglisten . . . 16

2.4.1 Spearman-Distanz . . . 16

2.4.2 Kendall-Tau-Distanz . . . 17

2.4.3 Weitere Distanz-Metriken . . . 18

3 Eigenvektorranking 19 3.1 Ziele . . . 19

3.2 Grundlage . . . 19

3.3 Implementation . . . 23

4 Experimentelle Untersuchungen 26 4.1 Basisranking . . . 26

i

4.2 Punktdifferenz als Basis der Berechnungen . . . 30

4.3 Aufsummierung der Spiele . . . 32

4.4 Turnierwertungen . . . 32

4.4.1 Gewichtung nach FIVB-Modell . . . 34

4.4.2 Gewichtung nach FIFA-Modell . . . 34

4.5 Zeitliche Wertung der Spiele . . . 36

4.6 Kontinentale Bewertungen . . . 38

4.7 Wertung des Heimvorteils . . . 40

4.8 Kombination . . . 41

4.9 Ausblick . . . 43

5 Anhang 44 5.1 FIVB Weltrangliste, Stand: 1. Oktober 2005 . . . 44

5.2 Zuordnung zu Kontinentalverbänden . . . 47

5.3 Provisorische FIVB Weltrangliste . . . 49

5.4 Eigenvektorberechnung einer Weltrangliste . . . 51

5.5 Enthaltene Turniere . . . 53

5.6 Verschiedene Zentralitätsmaße . . . 54

5.7 Implementation des Eigenvektorrankings . . . 56

5.8 Beispiel einer GraphML-Datei . . . 58

Abbildungsverzeichnis 59

Tabellenverzeichnis 61

Literaturverzeichnis 62

1 Die offizielle Volleyball-Weltrangliste

1.1 Einführung

Die heute gültige, offizielle Volleyball-Weltrangliste wird erstellt mit Hilfe eines Punktsystem, bei dem für die Teilnahme an bestimmten Turnieren eine gewis- se Anzahl an Punkten vergeben werden [FIV05a]. Die Turniere werden dabei unterschiedlich gewichtet, und die maximal erreichbare Punktzahl variiert. Die erhaltene Punktzahl hängt allein davon ab, wie weit eine Mannschaft im Turnier kommt. Gewinnt man die Olympischen Spiele, so erhält man 100 Punkte für die Weltrangliste. Bei den Weltmeisterschaften sind ebenfalls maximal 100 Punkte erreichbar, für die darauf folgenden Plätze werden in absteigender Reihenfolge jeweils 10 Punkte weniger vergeben. Weitere Turniere, die in die Berechnung der Weltrangliste einfließen, sind der Weltcup (maximal 100 Punkte), kontinentale Meisterschaften (30 Punkte), bei den Frauen derWorld Grand Prix (50 Punkte) und bei den Herren die Weltliga (30 Punkte).

1.2 Zeitliche Wertung

Dabei werden die Punkte, die in die Berechnung der aktuellen Weltrangliste einfließen, abhängig gemacht davon, wie lange das Turnier zeitlich zurück liegt.

Erhält man in der Weltliga im Jahr 2005 für den ersten Platz 30 Punkte, so werden diese Punkte nur für das darauf folgende Jahr in die Weltrangliste einbezogen.

Sobald in der Weltliga ein Sieger für das Jahr 2006 ermittelt wurde, werden die Punkt aus dem Jahr 2005 gestrichen. Etwas differenzierter verhält es sich bei den Meisterschaften und den Olympischen Spielen. Hier werden die erreichten Punkte gestaffelt einbezogen – im ersten Jahr nach Erreichen der Punkte fließen sie zu 100% ein, um danach stufenweise reduziert zu werden. So werden die Punkte für die Olympischen Spiele 2004 in Athen beispielsweise jedes Jahr um 25% reduziert, bis sie nach vier Jahren aus der Berechnung der Weltrangliste heraus fallen. Die genauen zeitlichen Bedingungen für das Einbeziehen der erreichten Punkte können den Regeln der FIVB¹ entnommen werden [FIV05b].

1Fédération Internationale de Volleyball, internationaler Volleyballverband

1

1.3. Weitere Besonderheiten 2

1.3 Weitere Besonderheiten

Um sich in der Weltrangliste besser zu platzieren, gibt es einige weitere Mög- lichkeiten. Beispielsweise werden auch Punkte vergeben für das Absolvieren von Qualifikationsspielen. Die Herren-Nationalauswahl Deutschlands hat sich drei seiner 22 Punkte auf der aktuellen Weltrangliste durch die erste Runde in der Qua- lifikation für die Olympischen Spiele 2004 erkämpft. Um die Qualifikation für ein Turnier zu erreichen, werden verschiedene Runden gespielt. Für die Olympischen Spiele geschieht dies zu Anfang auf kontinentaler Ebene, und schließlich kämpft eine weltweite Auswahl an Mannschaften um die begehrten Plätze der Olympiade.

Je weiter ein Team in der Qualifikation kommt, desto mehr Punkt erhält es. Eine Besonderheit tritt dann ein, wenn sich eine Mannschaft schlussendlich für ein Turnier qualifiziert – dann entfallen alle Punkte, die durch die Qualifikationss- piele schon erspielt wurden. Durch die anfänglich kontinentale Beschränkung der Qualifikationsrunden kommt es bei der Berechnung der Weltrangliste zu einem ersten unschönen Effekt. Für eine Mannschaft aus einem Kontinent mit starker Konkurrenz ist es schwieriger, Punkte zu erhalten als für eine Mannschaft, die aus einem relativ schwachen Kontinent kommt. Um sich mit Qualifikationsspielen in Europa drei Punkte zu erspielen, muss eine Mannschaft stärkere Gegner besiegen als eine Mannschaft aus Asien. Allerdings werden die vergebenen Punkte für die Qualifikationsspiele ausschließlich nach der erreichten Runde vergeben, die Stärke der Gegner während der Qualifikation werden nicht berücksichtigt. Der Sinn einer Weltrangliste jedoch sollte darin liegen, eine Reihenfolge aller Mannschaften weltweit nach derrealen Stärke aufzustellen.

Aber auch die kontinentalen Meisterschaften tragen zu diesem Missverhältnis bei. Brasilien, welches in Südamerika [CSV] praktisch außer Konkurrenz steht, gewinnt regelmäßig die kontinentale Meisterschaft Südamerikas. So kann sich Brasilien allein durch diese Meisterschaft in zweijährigem Abstand 30 Punkte für die Weltrangliste sichern – mehr als Deutschland zur Zeit insgesamt besitzt.

Die offizielle Weltrangliste der FIVB kann auf der Homepage des Volleyballwelt- verbandes betrachtet werden [FIV05a], eine Version vom 01.10.2005 ist im Anhang im Kapitel 5.1 aufgeführt.

Allgemein ist zu bemängeln, dass für die Punktzahl allein das Abschneiden in den Wettbewerben maßgebend ist, während die Randbedingungen der einzelnen Spiele innerhalb eines Turniers überhaupt keine Beachtung finden. Ein Sieg gegen eine vergleichsweise starke Mannschaft ist immer höher zu bewerten als ein solcher gegen einen schwachen Gegner. Dies gilt auch und insbesondere für Finalspiele.

Daher ist inzwischen bei vielen Nationalverbänden der Ruf nach einem neuen Modell zur Berechnung der Weltrangliste erklungen.

1.4. Gewinnung der Spieldaten 3

1.4 Gewinnung der Spieldaten

Um sinnvoll ein alternatives Modell zu entwickeln, müssen zunächst einmal sämt- liche Daten, die man für solch ein Modell benötigt, erhoben werden. Für die Erfassung eines Spiels zwischen zwei Mannschaften werden zuerst einmal die Namen der teilnehmenden Mannschaften, sowie die Satzdifferenz nach dem Spiel benötigt. Entscheidend ist also, wer gegen wen gewonnen (verloren) hat. Weitere wichtige Punkte sind das Spieldatum, sowie das Umfeld, in welchem das Spiel stattfand. Es gilt zu erfassen, ob es ein Finalspiel um die Weltmeisterschaft, ein Vorrundenspiel in der Gruppe, oder beispielsweise ein Freundschaftsspiel war. Für letzteres könnte man bei einem überraschenden Spielausgang annehmen, dass die vermeintlich stärkerer Mannschaft nicht mit ihren Stammspielern gespielt hat. Das Datum ist natürlich wichtig, um Aussagen über die aktuelle Stärke der verschiedenen Mannschaften machen zu können. Ein gewonnenes Spiel vor vier Jahren muss keine Bedeutung für die Stärke einer Mannschaft zum jetzigen Zeitpunkt haben.

Um weitere Aussagen über das Spiel zu machen, ist darüber hinaus die genaue Punktdifferenz zu jedem Satz von Bedeutung. Werden alle Sätze nur sehr knapp entschieden², so waren die Stärken der beiden Teilnehmer sehr ausgeglichen.

Leider gibt es keine (offiziell zugängliche) Spieldatenbank der FIVB, in der sämtli- che Spiele zwischen Nationalmannschaften verzeichnet sind. Daher galt es, diese Daten aus zahlreichen Webseiten der verschiedenen Kontinentalverbände zusam- men zu tragen. Dabei mussten die Informationen in ein einheitliches Format gebracht werden, denn die Angaben auf den Webseiten wurden alle auf andere Art zugänglich gemacht. Für jedes Turnier habe ich dazu die Daten in eine OpenOffice- Calc-Tabelle kopiert, in ein bestimmtes Format gebracht, aus dem die benötigten Daten leicht ausgelesen werden konnten, und anschließend als Komma-Getrennte Textdatei³ exportiert. Anschließend wurden diese CSV-Dateien mit Hilfe eines selbst geschriebenen Perl-Skripts⁴ in das Format GraphML⁵ gebracht. Dieses nütz- liche Format für Graphen wird inzwischen von vielen Programmen zur Darstellung und Bearbeitung von Graphen unterstützt. Es entwickelt sich immer mehr zu einem Standard-Austauschformat für Graphdaten. Details zur Verwendung des Formats werden im Abschnitt über die Implementierung im Kapitel 3 gegeben (Seite 23).

2Zum Beispiel mit der Minimaldifferenz von zwei Punkten.

3Comma separated value, CSV,http://de.wikipedia.org/wiki/CSV-Datei

4http://www.perl.org

5http://graphml.graphdrawing.org

1.4. Gewinnung der Spieldaten 4

Ich habe versucht, sämtliche stattgefundenen Spiele während wichtiger Turniere zwischen den Jahren 2003 und 2005 in die Berechnung der Ranglisten einfließen zu lassen. Wollte man versuchen, die offizielle Volleyballweltrangliste exakt nach- zubilden, müssten sicher auch Turniere aus vorhergehenden Jahren einbezogen werden. Um die Berechnungen überschaubar zu halten, wurden nur internationale Turniere berücksichtigt, die auch für die Punktvergabe bei der FIVB-Weltrangliste von Bedeutung sind. Damit Aussagen über Stärken und Schwächen der Mann- schaften verbessert werden, sollten außerdem sämtliche Qualifikationsspiele für diese Turniere in die Bewertung einfließen.

Leider war es mir nicht für jedes Turnier möglich, diese Daten zu beziehen, sodass ich außer den Qualifikationsspielen für die Olympischen Spiele 2004 keine weiteren Qualifikationen einbezog. Eine Berücksichtigung beispielsweise nur der Spiele für die Qualifikation zur Europameisterschaft (die mir durchaus vorlagen) würde eine Verschiebung der Rangliste zugunsten europäischer Mannschaften bedeuten.

Eine Übersicht über die Turniere, die in die Berechnung der Modelle einbezogen wurden, findet sich im Anhang auf Seite 53. Wenn nicht anders angegeben, beziehen sich die Berechnungen im Folgenden immer auf die Daten aus allen im Anhang angegebenen Turnieren.

2 Visualisierung als Graph

2.1 Grundlagen

Zunächst einmal stellt man sich die aktiven (National–)Mannschaften im Volleyball als Knoten in einem Graph vor, und die Kanten sind die Spiele, die zwischen den Mannschaften stattfanden. So ergibt sich bei Berücksichtigung mehrerer Turniere ein ungerichteter Multigraph. Die Kanten im Graph erhalten eine Gewichtung entsprechend dem Spielresultat.

2.1 Def inition

Ein Multigraph ist ein Graph, bei dem zwischen je zwei Kanten mehrere gleichartige Kanten verlaufen können.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie die Kanten zu den Spielen gebildet werden.

Eine besteht darin, für jedes Spiel genau eine Kante zu definieren, die vom Verlierer des Spiels zum Gewinner verläuft. Grundgedanke dieser Möglichkeit ist die Abgabe der Punkte für ein verlorenes Spiel vom Verlierer an den Gewinner. Entsprechend könnte man die Kante gewichten mit der Satzdifferenz am Ende des Spiels. Ein 3:0-Sieg würde entsprechend hoch mit3 gewertet, während ein knapper 3:2-Sieg nur eine Gewichtung von1 bekäme.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, für jedes Spiel zwei Kanten in den Graph einzufügen. Jede der Kanten verläuft zu jeweils einer Mannschaft, und wird mit der Anzahl gewonnener Sätze gewichtet.

Außerdem gibt es eine Vielzahl an Möglichkeiten, die Gewichtungen zu variieren.

Denkbar ist eine Gewichtung mit der Gesamtpunktzahl an gewonnenen Punk- ten; entsprechendes mit der Differenz bei nur einer Kante pro Spiel. Einfluss auf die Gewichtung könnte ein gegebenenfalls vorhandener Heimvorteil nehmen, indem man die Gewichtung erhöht, falls eine Mannschaft auswärts gegen eine mit Heimvorteil spielen musste. Auch die Art des Spiels sollte die Gewichtung beeinflussen – eine Mannschaft spielt in einem Erstrundenspiel vielleicht noch nicht mit voller Leistung, während dies bei einem Finalspiel selbstverständlich ist.

Weitere Möglichkeiten der Einflussname und deren Auswirkung auf die Rangfolge werde ich später untersuchen.

5

2.1. Grundlagen 6

In Abbildung 2.1 ist ein verhältnismäßig einfacher Graph dargestellt¹ Er umfasst die Daten der Europameisterschaft 2005. Die Knoten repräsentieren die 12 teil- nehmenden Mannschaften. Sie sind alle auf einem Kreis angeordnet. Spiele, die während der Europameisterschaft ausgetragen wurden, sind durch die gerichtete Kanten dargestellt, sie verlaufen in Richtung vom Verlierer zur Siegesmannschaft.

Beschriftet sind sie mit der Gewichtung des Spiels. Dabei wurde die Gewichtung vereinfachend festgelegt im Verhältnis zur Satzdifferenz – ein Spiel welches 3:2 ausging, wurde mit 1, ein Spiel mit 3:0-Ausgang entsprechend mit 3 gewertet.

Abbildung 2.1: Graph der Europameisterschaft 2005

Gut zu erkennen im Graph ist die Gruppenphase, in der zu Anfang der Euro- pameisterschaft gespielt wurde. Die zwei Gruppen sind deutlich von einander separiert – innerhalb der Gruppen hat jede Mannschaft mindestens einmal gegen jede andere gespielt, während dies zwischen den beiden Gruppen nicht der Fall ist. Weiterhin sind auch die beiden Halbfinalspiele deutlich sichtbar (Russland gegen Spanien und Serbien-Montenegro gegen Italien). Einzig das Finalspiel hebt sich nicht besonders hervor. Dies liegt vor allem daran, dass die beiden Finalis- ten (Russland und Italien) aus der selben Gruppe stammen, und beide folglich während der Gruppenphase schon einmal aufeinander trafen.

1Dieser und alle weiteren Graphen wurde mit Hilfe des GraphenpaketsVisone 2 erstellt (http://www.visone.info). Visone 2 basiert auf dem GraphenpaketyFilesder Firma yWorks (http://www.yworks.com).

2.1. Grundlagen 7

Eine Anforderung an das später erläuterte Eigenvektor-Ranking ist in diesem Graph nicht erfüllt.

2.2 Def inition

• Ein ungerichteter Graph G= (V, E) heißt zusammenhängend, wenn es zu je zwei beliebigen Knoten u, v ∈V einen Weg von u nachv gibt.

• Ein gerichteter Graph G⁰ = (V, E⁰) heißtzusammenhängend von einem Knoten u aus, falls es zu jedem Knoten v ∈V ein Weg vonu aus nach v gibt.

• Ein gerichteter Graph G⁰ = (V, E⁰) heißtstark zusammenhängend, falls G⁰ von jedem Knoten v ∈V aus zusammenhängend ist.

Um das Verfahren des Eigenvektorrankings anwenden zu können, muss ein Graph stark zusammenhängend sein [Kee93]. Für die Volleyball-Spiele in einem Graph bedeutet dies, dass es keine Partition des Graphen in zwei disjunkte Teilmengen S und T geben darf, so dass kein Team aus S gegen irgendein Team aus T spielt, oder jedes Spiel zwischen einer Mannschaft ausS und einer aus T von der Mannschaft ausS gewonnen wurde [Kee93, Seite 82]. Wie man leicht erkennen kann, ist dies bei dem Graph 2.1 nicht der Fall: keine der Mannschaften aus der Gruppe mit Spanien hat gegen irgend eine der Mannschaft aus der anderen Gruppe ein Spiel gewonnen. Oder anders ausgedrückt, es gibt zum Beispiel keinen Weg von Russland nach Spanien.

2.3 Def inition

Ein GraphG= (V, E) ist vollständig, wenn zwischen je zwei Knoten u, v ∈V genau eine Kante existiert. Ein Graph heißtvollständiger Multigraph, wenn zwischen je zwei Knotenu, v ∈V mindestens eine Kante existiert.

Um die Anforderung des starken Zusammenhangs effizient zu lösen, wird der (gerichtete) Graph G = (V, E) in einen vollständigen Multigraph G⁰ = (V, E⁰) überführt, indem zwischen je zwei Knoten u, v mit (u, v)6∈ E eine Kante in E⁰ eingefügt wird:

E⁰ ={(u, v) : (u, v)∈E} ∪ {(u⁰, v⁰) : (u⁰, v⁰)6∈E}

Damit die neuen Kanten die Rangfolge der Teams nicht zu stark beeinflusst, wird ihnen nur eine minimale Gewichtung zugewiesen. Optimal hat sichg((u⁰, v⁰)) = ¹_n herausgestellt, wobein =|E|. Eine andere – etwas ineffizientere – Möglichkeit, ist die Gewichtung mit einem Bruchteil des Minimum der „regulären“ Gewichtungen:

g((u⁰, v⁰)) = 1

nmin{g((u, v)) : (u, v)∈E}

2.2. Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen 8

2.2 Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen

Eine Möglichkeit, die Rangfolge aller möglichen Akteure zu bilden, besteht in der Bestimmung verschiedener Zentralitätsmaße für die Graphen. Zentralitätsmaße machen Aussagen über die Rolle bestimmter Akteure innerhalb eines Netzwerkes.

Die Maße geben dieWichtigkeit bestimmter Teams wieder, und können als erste Wertung der Mannschaften gelten.

Vor dem Untersuchen der Graphen auf ihre Zentralitätsmaße müssen ein paar grundlegende Definitionen gegeben werden. Die nun folgenden Definitionen sind fast ausschließlich dem Skript von Prof. Ulrik Brandes zur Vorlesung „Methoden der Netzwerkanalyse“ [Bra05] entnommen.

2.4 Def inition (Strukturindex)

Seien K eine unter Bildung von Zusammenhangskomponenten abgeschlosse- ne Klasse nicht-isomorpher Multigraphen und R^∗≥0 die Menge aller Vektoren über den nicht-negativen reellen Zahlen. Eine Funktion s : K → R^∗≥0 heißt (Knoten-)Strukturindex aufK, falls

• für alle G= (V, E)∈ K

s(G)∈R^V≥0

(d.h. s ist ein Knotenindex),

• für alle G= (V, E)∈ Kund Automorphismen α von G s(G)v =s(α(G))_α(v)

für alle v ∈V

(d.h. s bewertet ausschließlich die Struktur des Graphen), und

• für alle G= (V, E)∈ K und Zusammenhangskomponenten C = (V_C, E_C)⊆ G

s(G)_v ·s(C)_w =s(C)_v·s(G)_w für alle v, w∈VC (d.h. s ist konsistent).

EinStrukturindex ist daher eine Funktion, die jedem Knoten eines Graphen einen positiven Eintrag in einem Vektor zuweist.² Zentralitätsmaße (oder Zentralitätsin- dizes) sind Strukturindizes, die einesinnvolle Aussage über die Zentralität von Knoten machen – und damit ein Maß für die Wichtigkeit von Knoten. Daher definieren wir zusätzlich noch folgende Mindestanforderungen an Zentralitäten.

2Außer den Knotenstrukturindizes gibt es noch solche auf Kanten, die analog definiert sind. Sie werden im Rahmen dieser Arbeit aber nicht weiter benötigt.

2.2. Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen 9

2.5 Def inition (Zentralität)

Ein Strukturindex c auf einer unter Hinzufügen von Kanten abgeschlossenen Klasse K von Multigraphen heißt (schwacher) (Knoten-)Zentralität(sindex), falls eine der drei folgenden Bedingungen für alle G= (V, E)∈ Kv, w∈V gilt:

• Für alle x∈V

c(G)_v ≥c(G)_x =⇒c(G+ (v, w))_v ≥c(G+ (v, w))_x (Einflusszentralität)

• Für alle x∈V

c(G)_w ≥c(G)_x =⇒c(G+ (v, w))_w ≥c(G+ (v, w))_x (Erreichbarkeitszentralität)

• Für alle x∈V

c(G)_v+c(G)_w ≥c(G)_x =⇒c(G+ (v, w))_v+c(G+ (v, w))_w ≥c(G+ (v, w))_x (Vermittlungszentralität)

Um die Wichtigkeit von Knoten relativ zueinander bestimmen zu können, unab- hängig von der Größe der Graphen, müssen Zentralitätsindizes normiert sein.

2.6 Def inition (Normalisierung)

Ein Knotenstrukturindex s auf Kheißt normiert, falls X

v∈V

s(G)_v = 1

für alleG= (V, E)∈ K.

Jede Zentralität kann normiert werden, indem man die einzelnen Indizes durch die Summe über alle Indizes teil.

Das einfachste Zentralitätsmaß ist die Degree-Zentralität³, die Summe aller ein- gehenden und ausgehenden Kanten eines Knotens. Für Volleyballmannschaften würde damit eine Rangfolge allein anhand der Anzahl der Spiele aufgestellt werden.

Die Degree-Zentralität erfüllt alle drei Bedingungen an ein Zentralitätsmaß aus De- finition 2.5. Allerdings ist offensichtlich, dass eine Rangfolge allein in Abhängigkeit der Anzahl Spiele nicht sehr sinnvoll ist.⁴

3oder auchKnotengrad-Zentralität

4In dieser Rangliste würde Italien mit 77Punkten führen vor Frankreich und Brasilien mit je75Punkten.

2.2. Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen 10

Etwas besser ist da schon die Gewichtung anhand desInDegree-Wertes, damit werden nur noch eingehende Kanten betrachtet. In Abbildung 2.2 ist die InDegree- Zentralität mit den Daten aller Turniere (siehe 5.5) dargestellt.

Abbildung 2.2: InDegree-Zentralität für alle Mannschaften

In Tabelle 2.1 wurde für die ersten zehn Mannschaften die InDegree-Zentralität verglichen mit der offiziellen Weltrangliste der FIVB.

Die Werte in der Tabelle geben die Punkte einer Mannschaft (gewonnene Spiele bzw. FIVB-Punkte) an. Um die Werte besser miteinander vergleichen zu können, wurden in den Klammern die Angaben normiert auf einen Wertebereich zwischen 0und 1. Interessant ist, dass neun von zehn Mannschaften in beiden Ranglisten vertreten sind. Während Bulgarien scheinbar viele Spiele gewinnt, aber in den

2.2. Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen 11

InDegree FIVB

1 BRA 71,0 (1,000) BRA 278,0 (1,000) 2 ITA 52,0 (0,732) ITA 223,0 (0,802) 3 FRA 44,0 (0,620) SCG 186,0 (0,669) 4 SCG 42,0 (0,592) RUS 169,0 (0,608) 5 POL 36,0 (0,507) USA 165,5 (0,595) 6 RUS 31,0 (0,437) ARG 120,0 (0,432) 7 CUB 29,0 (0,408) FRA 109,0 (0,392) 8 USA 28,0 (0,394) POL 107,5 (0,387) 9 BUL 27,0 (0,380) GRE 103,0 (0,371) 10 GRE 24,0 (0,338) CUB 71,5 (0,257)

Tabelle 2.1: Vergleich InDegree-Zentralität mit FIVB Ranking

Turnieren häufig früh ausscheidet⁵, ist Argentinien auf Rang 6der FIVB-Liste, hat aber nur 14 Spiele innerhalb der letzten 3 Jahre gewinnen können.⁶ Mit einem fünften Rang während der Olympischen Spiele 2004 in Athen konnte sich Argentinien 45 Punkte sichern und sich dadurch in der offiziellen Rangliste nach oben schieben⁷.

Durch ein einfaches Ranglisten-Modell wie die InDegree-Zentralität kann man also erstaunlich gut die offizielle Weltrangliste nachbilden, zumindest – bis auf ein paar Ausreißer – im oberen Teil der Rangliste⁸. Bei genauerer Betrachtung erscheint dies logisch, können doch nur jene Mannschaften viele Spiele bestreiten (und damit in der InDegree-Wertung steigen), welche in den offiziellen Turnieren gut abschneiden.

Allerdings ist eine Rangliste allein aufgrund der Anzahl gewonnener Spiele nicht sehr aussagekräftig. Spätestens wenn kleinere, international unbedeutende Turniere in die Berechnungen einbezogen werden⁹, könnten Mannschaften in der Rangliste oben erscheinen (und damit als „wichtig“ bzw. „stark“ eingestuft werden), die in

5Es hat zwar27Spiele gewonnen in den hier erfassten Turnieren, befindet sich aber in der FIVB-Rangliste mit41,5Punkten nur auf Rang20.

6bezogen auf die Turniere aus Abschnitt 5.5

7Die Plätze5–8wurden an der Olympiade nicht ausgespielt – alle vier Verlierer des Viertelfinales erhielten45Punkte für die Weltrangliste.

8Die Mannschaften im unteren Teil der FIVB-Liste (ab Platz20) erhielten ihre Punkte fast ausschließlich durch Qualifikationsspiele. Diese können aufgrund der fehlenden Daten hier nicht berücksichtigt werden.

9Um schwächeren Mannschaften überhaupt eine Chance auf Erscheinen in der Welt- rangliste zu geben, ist dies natürlich sinnvoll.

2.2. Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen 12

Wirklichkeit um einiges schwächer sind und nur durch eine Vielzahl an Siegen gegen unbedeutende Mannschaften Punkte erhalten.

Bessere Maße für die Wichtigkeit oder Stärke einer Mannschaft sind dieCloseness- Zentralität und die Betweenness-Zentralität. Im Gegensatz zum Degree-Maß berücksichtigen diese beiden nicht nur die direkten Nachbarn eines Knoten, sondern beziehen das gesamte Umfeld in die Berechnung ein. Als dasUmfeld eines Knotens v ∈V definieren wir alle Knotenw ∈V, für die inGein Weg existiert von v nach w.

Dadurch werden Teams unter anderem als „wichtiger“ bewertet, wenn sie gegen wichtige Teams gespielt haben – also gegen Teams, die wiederum gegen viele andere Teams gespielt haben. Im Graph bedeutet dies, dass die Nachbarn der Nachbarn eines Knoten v (eventuell geringer gewichtet) in die Bewertung des Knotenv einbezogen werden, auch wenn sie selbst keine direkten Nachbarn von v sind. Außerdem können erneut die Nachbarn dieser indirekten Nachbarn (mit noch geringerer Gewichtung) berücksichtigt werden, usw.

2.7 Def inition (Abstand)

SeiG= (V, E)ein Multigraph. Gibt es für zwei Knoten s, t ∈V einen Weg von s nach t, so heißt die kürzeste Länge eines (s, t)-Weges Abstand d_G(s, t), von s nacht. Gibt es keinen (s, t)-Weg, so vereinbaren wir d_G(s, t) = ∞.¹⁰

Mit Hilfe des paarweisen Abstands zu je zwei Knoten u, v ∈ V kann nun der durchschnittliche minimale Abstand eines Knotens v zu allen anderen Knoten berechnet werden.

2.8 Def inition (Closeness; Beauchamp 1965) Die Closeness-ZentralitätcC ist definiert durch

c_C(G)_v = 1 P

t∈V

d_G(v, t)

für alleG= (V, E)∈ S, wobei ¹₀ = 1 gelte.

Eine Tabelle mit den Closeness- und Betweenness-Werten für die ersten 50 Mann- schaften ist im Anhang im Abschnitt 5.6 gegeben.

Hier ergibt sich ein völlig anderes Bild. Unter den ersten10 Mannschaften sind

10Um Probleme mit der Unendlichkeit zu vermeiden, werden im folgenden nur stark zusammenhängende Graphen berücksichtigt. Wie dies für unsere Volleyball-Graphen sichergestellt wird, ist auf Seite 7 beschrieben.

2.2. Rangfolgen anhand von Zentralitätsmaßen 13

6aus dem Asiatischen Volleyballverband AVC¹¹. Japan „führt“ diese Rangfolge knapp an vor den Vereinigten Arabischen Emiraten. Dies erklärt sich durch die hohe Anzahl Mannschaften in diesem Verband, welche natürlich bei kontinentalen Wettkämpfen häufig direkt aufeinander treffen. Die im Verhältnis zu anderen Kontinenten große Anzahl an Spielen bei den Asiatischen Volleyballmeisterschaften trägt ebenfalls dazu bei. Die Durchführung der Meisterschaften im Serpentine System ¹² in Verbindung mit dem Verfahren des Drawing of Lots sorgt dafür, dass viele Teams direkt aufeinander treffen und ihr Closeness-Zentralitätswert steigt.[AVC05]

Mit alleiniger Berücksichtigung der minimalen Entfernung zu allen Knoten beach- tet die Closeness-Zentralität die Besonderheiten eines Multigraphen nicht. Wie häufig zwei Teams (direkt) aufeinander getroffen sind, wird nicht bewertet. Die Betweenness-Zentralität berücksichtigt diesen Wert.

2.9 Def inition (Betweenness; Anthonisse 1971, Freeman 1977) Die Betweenness-ZentralitätcB ist definiert durch

c_B(G)_v = X

s,t∈V

σG(s, t|v) σ_G(s, t)

für alle G= (V, E)∈ G. Dabei seiσ_G(s, t) die Anzahl der kürzesten Wege von s nacht, σ_G(s, t|v) die Anzahl der kürzesten(s, t)-Wege, die v als inneren Knoten beinhalten (d.h. v 6=s, t).

Durch diese Definition werden Knoten höher gewichtet, wenn sie ein „Verknüp- fungspunkt“ zwischen zwei nicht benachbarten Knoten im Graph sind. Für unser Volleyballranking bedeutet dies, dass diejenigen Teams hoch bewertet werden, welche regional (zum Beispiel auf kontinentaler Ebene) gegen viele andere Teams spielen, aber auch international häufig an großen Turnieren teilnehmen. Nur über diese wichtigen „Verknüpfungspunkte“ können Mannschaften, die international kaum Erfolg aufweisen, im Graph miteinander verbunden sein.¹³ Etwas vereinfacht ausgedrückt werden dadurch Mannschaften höher eingeschätzt, wenn sie viel Erfolg in ihrem jeweiligen Kontinentalverband haben, und sie Mitglied innerhalb von Verbänden mit vielen Mannschaften sind. Dies ist der Grund, wieso Japan die Betweenness-Rangliste deutlich anführt.

Interessant ist allerdings auch die Wertung der USA. Sie steht in der offiziellen Weltrangliste (5. Platz) vor ihren Verbandskollegen aus Kuba (10.), aber in der

11Asian Volleyball Confederation:http://www.asianvolleyball.org

12http://en.wikipedia.org/wiki/Serpentine_system

13Sofern sie natürlich in verschiedenen Regionen der Welt beheimatet sind – ansonsten würden sie mit hoher Wahrscheinlichkeit an regionalen Turnieren aufeinander treffen.

2.3. Der PageRank-Algorithmus 14

Betweenness-Wertung ist sie deutlich abgeschlagen auf Rang26 (5.6). Während Kuba an allen Turnieren derWorld League (2003–2005) teilnahm und auf eine Vielzahl Gegner traf¹⁴, ist in der offiziellen Rangliste nur ihr dritter Platz im Jahr 2005 mit 22 Wertungspunkten enthalten.¹⁵ Dem gegenüber liegt die USA vor allem durch ihren vierten Platz bei den Olympischen Spielen 2004 soweit vorn, durch den sie70 ihrer derzeit165,5 Punkte eingeholt hat.

2.3 Der PageRank-Algorithmus

Die bisherigen beschriebenen Möglichkeiten zur Ranglistenbildung haben eine Gemeinsamkeit. Sie bewerten die Mannschaften stets nur aus Sicht der Anzahl Spiele, welche gewonnen (bzw. ausgetragen) wurden. Eine Gewichtung der einzel- nen Spiele – beispielsweise anhand der Stärke des Gegners – fand bisher nicht statt.

Allerdings ist es nicht gerade trivial zu bestimmen, wie stark eine Mannschaft ist.

Schließlich ist es gerade das Ziel von Ranglisten, eine Sortierung der vorhandenen Mannschaften nach ihrer Stärke zu machen.

Die Google-Gründer Lawrence Page und Sergey Brin erstellten mit ihrem PageRang- Algorithmus [PBMW98] eine Möglichkeit, die Wichtigkeit von Webseiten daraus zu bestimmen, wie viele andere bedeutende Webseiten auf sie verweisen. Je mehr Links auf eine Seite zeigen, um so wichtiger ist diese Seite, umso höher ihr Rang.

Aber nicht allein die Anzahl der Verweise auf eine Seite bestimmt ihren Rang.

Die Wichtigkeit der verlinkenden Seiten fließt in die Bewertung der Seite ein, auf die verwiesen wird. Diese Situation entspricht auf dem ersten Blick derjenigen unserer Volleyball-Mannschaften. Ein gewonnenes Spiel sollte umso stärker in die Bewertung einer Mannschaft einfließen, je stärker der Gegner war. Der Vorteil des PageRank ist indes, dass im Voraus keine Bewertung der Wichtigkeit (Stärke) der Webseiten (Volleyballteams) erfolgen muss – diese wird während des Verfahrens bestimmt.

SeiL_v die Menge der Mannschaften, gegen die Teamv verloren hat,W_v die Menge der Mannschaften, gegen die v gewonnen hat, und N_v = |L_v| die Anzahl der verlorenen Spiele von v. Die Stärke (der Rang) einer Mannschaft v bestimmt sich aus

R(v) = 1−c

n +c X

u∈Wv

R(u) N_u

1467% der „überkontinentalen“ Spiele Kuba’s stammen allein aus der World League

15In der FIVB-Rangliste geht die jährlich ausgetragene World League nur mit dem jeweils letzten Turnier in die Wertung ein.

2.3. Der PageRank-Algorithmus 15

Dabei teilt sich der Gewinn für die Rangliste, der aus einem Sieg gegen Teamu resultiert, gleichmäßig auf alle Mannschaften auf, die gegen ugewonnen haben.

In der Formel ist der Dämpfungsfaktor c integriert, der die Wahrscheinlichkeit simuliert, dass eine eigentlich schwächere Mannschaft durchaus auch gegen eine stärkere gewinnen kann. Außerdem sorgt er dafür, dass die Summe über alle Stärken gegen1 konvergiert.¹⁶ Auch wenn die Gleichung rekursiv ist, kann der Ranglistenvektor R durch Iteration und einen beliebigen positiven Startvektor R0

bestimmt werden. Nach endlich vielen Schritten konvergiert R gegen die gesuchte Rangliste mit den Stärke-Werten.

In Abbildung 2.3 ist ein einfaches Beispiel gegeben zur Berechnung der PageRank- Werte. Die Berechnung wird gestartet mit einem PageRank-Wert von 1für alle drei Mannschaften. Im ersten Iterationsschritt ergeben sich folgende Werte:

R_GER = 1−0.85

3 + 0.85· R_BRA NBRA

= 0.05 + 0.85· 1 1 = 0.9 R_ITA = 1−0.85

3 + 0.85· R_GER

N_GER = 0.05 + 0.85· 1

2 = 0.475 RBRA = 1−0.85

3 + 0.85·

R_GER

N_GER + R_ITA N_ITA

= 0.05 + 0.85· 1

2 +1 1

= 1.325

Abbildung 2.3: Berechnung des PageRank an einfachem Graph

In Tabelle 2.2 sind die PageRank-Werte für die drei Mannschaften nach 10, 25 und50 Iterationsschritten angegeben. Nach 50 Iterationsschritten ist die Summe über die Fehler (Differenz der Werte zwischen zwei Iterationsschritten) knapp 1.2281·10⁻⁴, und man könnte die Iteration für dieses Beispiel bereits hier abbrechen.

16Für gewöhnlich (wenn PageRank auf Webseiten bezogen wird) istc≈0.85.

2.4. Vergleichsmöglichkeiten von Ranglisten 16

GER ITA BRA

1 1,0000 1,0000 1,0000 10 0,5702 0,3061 0,5869 25 0,4040 0,2229 0,4136 50 0,3881 0,2149 0,3977

Tabelle 2.2: PageRank-Werte während der Iteration

Im Abschnitt 5.6 im Anhang wurden die PageRank-Werte für alle Mannschaften berechnet, über welche mir Daten vorlagen. Auf den ersten Blick entspricht die Rangliste – verglichen mit den Closeness- oder Betweenness-Ranglisten – eher den Werten der offiziellen Rangliste. Doch auch hier sind große Unterschiede vorhanden. Beispielsweise beträgt der Unterschied bei Bulgarien zwischen der offiziellen und der PageRank-Liste15 Ranglistenplätze, und Portugal springt vom 18.auf den 10. Platz. Auch wenn es mir aufgrund fehlender Spieldaten unmöglich ist, die offizielle Rangliste mit Ranglisten-Modellen exakt nachzubilden, ist ein Maß für den Unterschied zwischen zwei Ranglisten durchaus sinnvoll. Nicht zuletzt ist erst damit die Möglichkeit gegeben, Ranglisten miteinander vergleichen zu können.

2.4 Vergleichsmöglichkeiten von Ranglisten

Zur Messung von Differenzen zwischen zwei gegebenen Ranglisten gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. Im folgenden Abschnitt werden einige Metriken zur Messung kurz vorgestellt.

2.4.1 Spearman-Distanz

Man stelle sich eine Rangliste mit n Plätzen als n-dimensionalen Vektor vor, und die Mannschaften als Einträge, welche durchnummeriert sind. Eine der Ranglisten dient als „Pattern“-Vektor und ist damit der Zielvektor, mit dem die andere Rangliste – der „unsortierte“ Vektor – verglichen werden soll. Im Pattern- Vektor sind alle Mannschaften vom ersten bis zum letzten Platz durchnummeriert, während im unsortierten Vektor an der Position einer Mannschaft ihr Rang im Pattern-Vektor eingetragen ist. Sind im Pattern-Vektor nacheinander die Mannschaften Brasilien, Deutschland und Italien auf den ersten drei Plätzen ( [BRA, GER, ITA] ) und die Reihenfolge der zu vergleichenden Rangliste ist Deutschland, Brasilien, Italien, so ergibt sich der „unsortierte“ Vektor[2, 1, 3].

2.4. Vergleichsmöglichkeiten von Ranglisten 17

Die zwei Ranglisten sind nun zwei Punkte im dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten(1, 2, 3) bzw. (2, 1, 3). Der geometrische Abstand zwischen beiden beiden Punkten beträgt:

d=p

(1−2)²+ (2−1)²+ (3−3)² =√

1 + 1 + 0 = √ 2

Die Spearman-Distanz¹⁷ [Spe06] ist der euklidischen Distanz ähnlich. Seien π₁ undπ₂ die beiden Ranglisten, die der Menge der MannschaftenU ={u₁. . . u_n} jeweils einen Ranglistenplatzπ₁(i) und π₂(i)zuordnen.

2.10 Def inition (Spearman-Distanz)

Die Summe der Ranglistenplatzunterschiede zwischen zwei Ranglistenπ₁ und π₂

F(π1, π2) =

n

X

i=1

|π1(ui)−π2(ui)|

heißtSpearman-Distanz.

2.4.2 Kendall-Tau-Distanz

Die Kendall-Tau-Distanz [Ken62] zählt die minimale Anzahl paarweiser Tausch- operationen, um eine Rangliste in die jeweils andere Rangliste zu überführen.

2.11 Def inition (Kendall-Tau-Distanz)

Die Anzahl der Inversionen zwischen zwei Ranglisten π₁ und π₂

K(π₁, π₂) =|{i, j ∈U : i < j, π₁(u_i)< π₁(u_j) und π₂(u_i)> π₂(u_j)}|

heißtKendall-Tau-Distanz.

Die Kendall-Tau-Distanz kann normalisiert werden, indem man den erhaltenen Wert durch die Anzahl aller möglichen Inversionen teilt:

K_n(π₁, π₂) = K(π₁, π₂)

n 2

So ergibt sich ein Wertebereich zwischen0und1. Zwei Distanzmessungen zwischen verschiedenen Ranglisten lassen sich dann direkt miteinander vergleichen. Da bei den folgenden Distanzmessungenn immer gleich ist¹⁸, können auch die Anzahl der InversionenK(π1, π2) direkt miteinander verglichen werden.

17Es gibt zwei Versionen, gemeint ist Spearmans „Footrule“-Distanz.

18Die Distanzen werden immer nur zwischen den 63 Mannschaften gemessen, die sowohl im FIVB-Ranking als auch in den Daten für das Eigenvektorranking vorhanden sind.

Die maximal mögliche Anzahl Inversionen ist ⁶³₂

= 1953.

2.4. Vergleichsmöglichkeiten von Ranglisten 18 2.4.3 Weitere Distanz-Metriken

2.12 Def inition (Chebyshev-Distanz)

Die absolute maximale Differenz für alle Teams zwischen zwei Ranglisten

C(π₁, π₂) = max{|π₁(u_i)−π₂(u_i)|,1≤i≤n}

wird Chebyshev-Distanz, oder auch Maximum-Distanzgenannt.

Die letzte Metrik ist vor allem aus der Informationstheorie bekannt.

2.13 Def inition (Hamming-Distanz)

Die Hamming-Distanzist die Anzahl der Nicht-Übereinstimmungen zwischen zwei Ranglisten.

H(π1, π2) =

n

X

i=1

xi

mit

x_i =

(0 falls π₁(u_i) =π₂(u_i) 1 sonst

Es gibt eine Reihe weiterer Distanz-Metriken, die aber für Ranglistenvergleiche weniger sinnvoll erscheinen. Im folgenden Kapitel werde ich die Ranglisten meist anhand den ersten beiden Metriken vergleichen und dort, wo es mir sinnvoll erscheint, die Ranglisten mit Hilfe der restlichen Distanz-Maße untersuchen.

3 Eigenvektorranking

3.1 Ziele

Die Idee für ein neues Ranglistenmodell liegt darin, dass in die Bewertung der Mannschaften in der Weltrangliste nicht mehr nur deren reinen Spielergebnisse (gewonnene Spiele und Sätze) und der Zeitpunkt der Spiele einfließen, wie es bisher geschieht. Es soll vielmehr eine ausgewogene Bewertung der einzelnen Spiele stattfinden, bei der vor allem die Stärke der gegnerischen Mannschaft einen Einfluss hat. Mögliche Kriterien, die Einfluss finden sind:

• die Stärke des Gegners,

• die Differenz aus den gewonnenen Sätze beider Mannschaften,

• die Art des Spiels (Freundschaft, Turnier, Ligaspiel),

• bei welchem Turnier das Spiel stattfand,

• von welchem Kontinent die gegnerische Mannschaft stammt,

• zu welchem Zeitpunkt das Spiel stattfand,

• und ob eine Mannschaft einen Heimvorteil hatte.

Das Ziel soll sein, eine ausgewogene Bewertung der wirklichen „Leistung“ einer Mannschaft während eines Spiel zu finden, und nicht mehr nur das reine Ergebnis zu werten. Verliert eine starke Mannschaft bei einem Freundschaftsspiel gegen eine Mannschaft, die im Normalfall unterlegen wäre, dann liegt dies eventuell daran, dass sich die Spieler schonen wollten für ein wichtiges Spiel. Dieser Hintergrund muss untersucht werden, und Freundschaftsspiele sollten in der Bewertung eventu- ell einen geringeren Einfluss haben als beispielsweise ein Weltmeisterschaftsspiel.

3.2 Grundlage

Beim Eigenvektorranking werden, ähnlich der PageRank-Methode, die Stärken der Mannschaften während der Berechnung bestimmt. Im Vorfeld wird dabei für

19

3.2. Grundlage 20

jedes Spiel beiden Mannschaften ein „Score“ für dieses Spiel zugeteilt. Der Score sollte außer von dem eigentlichen Ergebnis auch von den im ersten Abschnitt genannten Punkten abhängen. Der Ausgangspunkt für den Score ist die Anzahl gewonnener Sätze bei dem Spiel.¹ Diese Punkte (im Bereich von0−3) werden nun gewichtet mit den eingangs erwähnten Rahmen-Faktoren. Fand das Spiel während einer Weltmeisterschaft statt, so werden die Punkte proportional erhöht, z. B. durch Multiplikation mit einem Faktor 1.5. Zwei gewonnene Sätze bei einer Weltmeisterschaft sind dann soviel Wert wie drei gewonnene Sätze bei einem

„normalen“ Spiel (Wertungsfaktor 1.0). Auch die anderen Kriterien finden in Form von Wertungsfaktoren Einfluss in die Berechnung des Scores für ein Spiel.

Der Score für eine Mannschafti bei einem Spiel ergibt sich dann also aus a_i =w_i ·f₁·f₂·. . .·f_n

wobei w_i die Anzahl der gewonnen Sätze ist (die Gewichtung, weighting) und f₁ bisf_n die Einflussfaktoren für die genannten Kriterien.

Die bisherigen Überlegungen entsprechen weiterhin dem Graph-Modell für Vol- leyballspiele. Die Knoten repräsentieren wie bisher die Mannschaften und die Spiele zwischen ihnen werden durch gewichtete Kanten repräsentiert. Dabei gibt es für jedes Spiel eine gerichtete Kante vom Verlierer des Spiels zum Gewinner.

Gewichtet werden die Kanten mit den Faktoren und der Anzahl gewonnener Sätze (bzw. Punkte). Da es durchaus mehrere Spiele zwischen je zwei Mannschaften geben kann, handelt es sich um einen Multigraph.

Sei A∈ R^n×n eine Adjazenzmatrix des Multigraphen, und der Einträge a_ij die Summe der Spiel-Gewichtungen für Mannschafti gegen Mannschaft j. Hier muss entschieden werden, auf welche Art die Gewichtungen der einzelnen Kanten aufsummiert werden. Dazu gibt es mehrere Möglichkeiten, die ich später analy- sieren werde. Weiterhin seir der gesuchte Ranking-Vektor mit den Stärken der Mannschaften, mit positiven Wertenr_j für die Stärke der j-ten Mannschaft.

Der Gesamtscore einer Mannschaft i sei dann definiert durch s_i = 1

n_i

N

X

j=1

a_ijr_j

wobeiN die Anzahl aller Mannschaften und n_i die Anzahl der Spiele von Mann- schafti ist. [Kee93]

Die Division mitn_i sorgt für eine Harmonisierung von Mannschaften mit unter- schiedlicher Anzahl an Spielen – ohne diese Vorkehrung könnte eine Mannschaft

1Andere Varianten sind allerdings ebenso möglich, beispielsweise die Punktdifferenz zwischen beiden Mannschaften am Ende des Spiels.

3.2. Grundlage 21

allein durch eine Vielzahl an Spielen eine große Punktzahl erreichen. Die obige Formel kann nun in Matrixform gebracht werden mit

s=Ar

wobeis der Vektor mit den Scores der Mannschaften als Einträge ist. Keener geht nun davon aus, dass die Stärke einer Mannschaft proportional zu ihrem erreichten Score sein sollte, dass heißt

s=λr bzw.

Ar=λr

Also ist der gesuchte Rankingvektor r ein Eigenvektor der Matrix A.

3.1 Def inition

SeiM eine quadratische Matrix der Dimension n, und x∈ Rⁿ ein Vektor, und gilt für sie

M x=λx

mitλ ∈R,x6= 0, so heißtxEigenvektorvonM zumEigenwertλ. Man nennt (λ, x)auch Eigenpaar von M.

3.2 Satz (Perron-Frobenius-Theorem)

Ist die Matrix Aeine Matrix mit reellwertigen, nicht-negativen Einträge und ist sie weiterhin irreduzibel, so gibt es einen positiven Eigenvektor r zum größten Eigenwert (als Absolutwert) λ von A.

Der Beweis des Perron-Frobenius-Theorems ist im Anhang von [Kee93] zu finden, und soll hier nicht wiedergegeben werden.

Eine MatrixM ∈R^n×n ist reduzierbar (reduzibel), wenn es eine Permutation der Koordinaten der Matrix gibt, so dass

P⁰M P = M₁₁ M₁₂ 0 M₂₂

wobeiP ∈R^n×neine Permutationsmatrix²ist,M₁₁∈R^r×rundM₂₂ ∈R(n−r)×(n−r). Gibt es keine solche Permutation vonM, so ist die Matrix irreduzibel.

Die Matrix mit unseren Volleyballspielen als Einträgen ist dann irreduzibel, wenn es keine Zerlegung der Mannschaften in zwei disjunkte Teilmengen S und T gibt, so dass kein Team aus S gegen irgendein Team aus T spielt, oder jedes Spiel

2Jede Zeile und Spalte haben genau einen Eintrag mit 1, der Rest ist0

3.2. Grundlage 22

zwischen einer Mannschaft aus S und einer aus T von der Mannschaft aus S gewonnen wurde (S. 7).

Daher wird im Algorithmus zur Berechnung des Eigenvektors nach dem Eintragen der Gewichtungen die Matrix auf0-Werte durchsucht, und entsprechende Einträge durch eine minimale Gewichtung > 0 ersetzt. Versuche mit _n¹ und _n¹ ·min

i,j a_ij wurden unternommen.

Da die direkte Berechnung eines Eigenvektors bei einer so großen Matrix (Di- mension: Anzahl aller Mannschaften) nicht trivial ist, wird eine Potenziteration auf die MatrixA angewendet. Bei einer Potenziteration über eine Matrix A wird ein beliebiger³ Ausgangsvektorq₍₀₎ mit der Matrix A multipliziert. Anschließend wird der erhaltene Vektor (als q₍₁₎ bezeichnet) mit seiner Länge normiert, und abermals mit der Matrix multipliziert. Dieses Vorgehen wird iteriert, bis schließlich der Vektor gegen den Eigenvektor zum größten absoluten Eigenwert der Matrix A konvergiert. Man erhält also nach k Schritten eine Approximation q_(k) des Eigenvektors zum größten Eigenwert der Matrix A.

Es gilt:

n→∞lim Aⁿr0

|Aⁿr₀| =r

für einen beliebigen nicht-negativen Ausgangsvektorr₀.

Durch iterative Matrixmultiplikation vonAmitr_(x)(wobeir_(x) dasx-te Zwischen- ergebnis ist), tangiert das Ergebnis gegen den gesuchten Eigenvektor, welcher die Stärken der Mannschaften enthält.

Als Abbruchbedingung könnte man die Differenz des Eigenvektors zwischen zwei Iterationsschritten wählen, und bei Unterschreitung einer vorgegebenen Schranke den Vorgang beenden. Allerdings kann es bei diesem Vorgehen zu einem Abbruch in einem lokalen Differenzminimum kommen, welches möglicherweise weit entfernt vom globalen Minimum liegt. Eine bessere Vorgehensweise ist die Differenzbe- rechnung zwischen dem aktuell berechneten Eigenvektor und dem Produkt aus vorherigem Eigenvektor und Eigenwert der Matrix. Für den Eigenvektorr zum Eigenwert λ muss gelten Ar=λr, und damit ergibt sich für den Eigenwert:

λ= r^TAr r^Tr

Weiterhin gilt zum Zeitpunktt+ 1:r_(t+1)= Ar_(t)und damitr_(t+1) =λr_(t). Berech- net man nun die Länge des Differenzvektors zwischenr_(t+1) undλr_(t), so erhält

3mit gleicher Dimension wie die Breite der Matrix, z.B.q₍₀₎=1n

3.3. Implementation 23

man den absoluten Fehler zu einem Zeitpunkt t+ 1, und kann abbrechen, sobald dieser unter eine vorgegebene Schrankeεfällt. Somit lautet die Abbruchbedingung:

kr(t+1)−λr(t)k< ε

Der nach dem Ende der Iteration erhaltene Eigenvektorrwird in die Weltrangliste umgesetzt, indem die Einträge des Vektors sortiert und nummeriert werden.

3.3 Def inition (Rangfolge)

Eine Rangfolge ist eine Funktionπ:V → {1. . . n}, die den Elementen der Menge V ={v₁. . . v_n} jeweils einen Index (Rang) zuweist.

Wird ein Rang mehrmals vergeben (bei gleich hohen Einträgen im Eigenvektor), so wird die entsprechende Anzahl Folgeränge nicht besetzt.

Der genaue Algorithmus, wie ich ihn in Java⁴ implementiert habe, ist im Anhang im Abschnitt 5.7 beschrieben.

3.3 Implementation

Der Algorithmus zur Berechnung des Eigenvektorrankings wurde in Java^R (http:

//java.sun.com) als Modul für Visone 2 (http://www.visone.info) erstellt.

Das Programm Visone 2 zur Netzwerkanalyse basiert auf dem Graphenpaket yFiles der Firma yWorks (http://www.yworks.com).

Im Listing 5.1 im Anhang (Seite 56) ist der Ausschnitt aus dem Sourcecode gegeben, in dem die Gewichtungen und der Eigenvektor berechnet werden.

Nach der Überprüfung am Anfang, ob überhaupt genügend Knoten im Graph vorhanden sind (Zeile 29), beginnt der Algorithmus mit der Initialisierung der Matrix (Zeilen34–37). Danach wird über alle Kanten im Graph iteriert (ab Zeile 43). In den Zeilen51–55wird die Anzahl der gewonnenen Sätze für die Heim- und Auswärtsmannschaft, und für den Gewinner und Verlierer bestimmt. Diese dienen als Score und Ausgangsbasis für die Gewichtungen, die im Anschluss erfolgen.⁵ Bei aktivierter Turniergewichtung erfolgt diese in den Zeilen 69-77, dabei wird zuerst das zugehörige Turnier bestimmt und für dieses der Gewichtungsfaktor mit

4Java^R ist eine Marke der Firma Sun,http://java.sun.com

5An dieser Stelle wurden Variationen vorgenommen und getestet, die hier nicht alle im Quellcode aufgeführt sind.

3.3. Implementation 24

dem bisherigen Score multipliziert, welcher bis zu diesem Zeitpunkt nur aus der gewonnenen Satzanzahl bestand.

Auf ähnliche Art wird danach in den Zeilen 79–100 die zeitliche Gewichtung vorgenommen. Hier wird vom Basisjahr ausgegangen (aktuelles Jahr der Berech- nungen – keine zeitliche Abwertung der Spiele) und das Alter eines Spiels (in Jahren) bestimmt. Je nach aktivierter Form der zeitlichen Abwertung der Spiele wird dieses Alter geometrisch, linear oder nach fest vorgegebenen Gewichtungs- faktoren in den aktuellen Score einbezogen.

Falls eines der Teams einen Heimvorteil besaß⁶, so wird diese der Score damit gewichtet (Zeilen102–109).

Als letzter Faktor⁷ erfolgt nun noch die Kontinentalgewichtung in den Zeilen 112–

126. Nach der Bestimmung der Kontinente für beide Mannschaften wird der Score beider Mannschaften mit dem Kontinentalfaktor der jeweils anderen Mannschaft multipliziert. Wurde ausgewählt, dass in Anlehnung an das FIFA-Ranking⁸ eine Mittelbildung der Kontinentalgewichtungen erfolgen soll, so wird dies statt der getrennten Gewichtung vorgenommen. Der Score, den Teami für das Spiel gegen Team j erhalten hat, wird nun zu dem ggf. bereits eingetragenen Wert in A_ij addiert, und umgekehrt entsprechend für Mannschaftj.⁹

Damit endet die Iteration über alle Kanten in Zeile 136. In den Zeilen 139–145 wird dafür gesorgt, dass die Matrix irreduzibel ist (siehe Seite 3.2), indem alle noch vorhandenen Einträge mit dem Wert0 durch einen Minimaleintrag ersetzt werden. Die Potenziteration der Matrix erfolgt in den Zeilen168–182. Es wird solange iteriert, bis der Fehler der Berechnung unter die gewünschte Schwelle fällt, und am Ende jedes Iterationsschrittes der Rankingvektor normalisiert mit seiner Länge.

Zuletzt werden die errechneten Werte in einer NodeMap (ai_weighting) gespei- chert, und so im Analyse-Tool vonVisone 2 zur Verfügung gestellt. Dort können die errechneten Werte weiter analysiert und Layouts für den Graph basierend auf dem Eigenvektorranking generiert werden.

Die Daten über den Graph, die Resultate der Spiele und sämtliche Zentralitäts-

6Dies wurde ggf. direkt in den Daten der Spiele markiert

7Siehe Fußnote 5.

8FIFA-Ranking: http://www.fifa.com/de/mens/statistics/rank/procedures/

(Abschnitt 3.5)

9Siehe Fußnote 5.

3.3. Implementation 25

werte werden als GraphML-Datei¹⁰ abgespeichert, und können durch das damit verwendete XML-Format von zahlreichen weiteren Programmen geöffnet und bearbeitet werden. Ein kurzes Beispiel einer solchen Datei ist im Anhang auf Seite 58 aufgeführt.

Mit Hilfe eines Perl-Skripts wurden die Zentralitätswerte schließlich aus den GraphML-Dateien extrahiert und konnten so tabellarisch aufbereitet und weiter untersucht werden.

Für die Abbildungen der Graphen in dieser Arbeit wurden die Dateien im Vektor- format SVG¹¹ abgespeichert und mit geeigneten Programmen schließlich in eine PDF-Datei umgewandelt.

10http://graphml.graphdrawing.org/

11http://www.w3.org/TR/SVG/

4 Experimentelle Untersuchungen

Ziel dieses Kapitels ist die Untersuchung des Eigenvektorrankings hinsichtlich des Einflusses verschiedener Rahmenparameter. Zu Anfang werde ich dasungewichtete Ranking als Referenz darlegen, eine Rangliste gebildet allein mit den Ergebnissen und den Stärken der Mannschaften, ohne zusätzliche Gewichtung der einzelnen Spiele. Danach werden die einzelnen Parameter (und Kombinationen derer) hin- sichtlich der Auswirkung auf das Referenzranking untersucht. Außerdem werde ich die Ranglistenmodelle aus den vorigen Kapiteln mit dem Eigenvektorranking vergleichen.

4.1 Basisranking

Für das Basisranking wurden sämtliche Gewichtungen deaktiviert. In dieser Rangliste haben also nur die gewonnenen Sätze, und die Stärke der Gegner (die während des Verfahrens berechnet werden) einen Einfluss auf das Ergebnis. Tabelle 4.1 stellt die Top-40 Mannschaften aus dem Basisranking der offiziellen FIVB- Rangliste gegenüber. Bis auf wenige Ausnahmen wurden fast alle Plätze um mehrere Positionen verschoben im Vergleich zum FIVB-Ranking.

Auffällig ist vor allem die recht hohe Chebyshev-Distanz von 70 zwischen den beiden Ranglisten. Sie wird verursacht durch den extrem großen Sprung von Pakistan (+70Plätze) im unteren Abschnitt des Rankings. Hier wirkt die alleinige Bewertung der gewonnenen Sätze und der Stärke des Gegners sehr verzerrend.

Pakistan hat alle seine 13 erfassten Spiele nur bei kontinentalen Meisterschaften bestritten (von denen es neun gewann). Während in der offiziellen FIVB-Liste davon noch genau ein Punkt übrig ist (9. Platz der Asiatischen Meisterschaften 2005), fließen die 13 gemachten Spiele in das Eigenvektorranking viel stärker ein.

Durch die Gewichtung der Spiele nach der Art der Turniers und dem Kontinent könnte sich dieses Bild allerdings noch ändern.

Die Spearman-Distanz des Eigenvektorrankings im Vergleich zur offiziellen Ranglis- te liegt für die 63 Teams, welche im Eigenvektorranking vertreten sind, bei 770.

Im Mittel wurde jede Mannschaft um 12,2 Ränge verschoben. Allerdings sind im FIVB-Ranking in der unteren Hälfte viele Mannschaften vertreten, die im Eigen-

26

4.1. Basisranking 27

FIVB-Rangliste Eigenvektor

1. BRA 278 1. (+2) SCG 0,4271

2. ITA 223 2. (−1) BRA 0,3884

3. SCG 186 3. (−1) ITA 0,3781

4. RUS 169 4. (+16) BUL 0,3076 5. USA 165,5 5. (+2) FRA 0,2915

6. ARG 120 6. (+2) POL 0,2698

7. FRA 109 7. (+3) CUB 0,2388

8. POL 107,5 8. (−4) RUS 0,2291

9. GRE 103 9. (±0) GRE 0,2114

10. CUB 71,5 10. (+9) NED 0,1532 11. VEN 70,5 11. (+10) ESP 0,144 12. JPN 70 12. (±0) JPN 0,1076 13. CAN 62 13. (+14) CZE 0,0992 14. KOR 61 14. (−8) ARG 0,0989 15. CHN 57 15. (−10) USA 0,0907 16. EGY 56 16. (+16) GER 0,0907 17. TUN 54 17. (−6) VEN 0,0893 18. POR 47 18. (±0) POR 0,0893 19. NED 42,5 19. (−4) CHN 0,073 20. BUL 41,5 20. (−6) KOR 0,0375 21. ESP 39,5 21. (−8) CAN 0,0336 22. CMR 34,5 22. (−5) TUN 0,0205 23. PUR 34 23. (+3) IRI 0,0158 24. AUS 30,5 24. (±0) AUS 0,0149 25. IND 29,5 25. (+10) CRO 0,0124 26. IRI 29 26. (−3) PUR 0,0104 27. CZE 26,5 27. (−11) EGY 0,0097 27. MAR 26,5 28. (+6) DOM 0,0067 29. COL 25 29. (−4) IND 0,0052 30. MEX 23,5 30. (+10) UKR 0,005 30. THA 23,5 31. (+70) PAK 0,0041

32. GER 22 32. (−2) MEX 0,004

33. KAZ 21,5 33. (+21) SVK 0,0038 34. DOM 19,5 34. (+8) FIN 0,0032 35. CHI 16,5 35. (+2) PAN 0,0027 35. CRO 16,5 36. (−7) COL 0,0021 37. PAN 16 37. (±0) PAR 0,0021

37. PAR 16 38. (−8) THA 0,002

37. RSA 16 39. (+10) INA 0,0013 40. UKR 15,5 40. (+2) QAT 0,0009

Tabelle 4.1: Top-40 der FIVB Rangliste verglichen mit Eigenvektorranking

4.1. Basisranking 28

vektorranking nicht berücksichtigt sind.¹ Dadurch kommt es zu vielen Leerstellen zwischen den Rängen. Eliminiert man diese, und nummeriert die FIVB-Liste neu durch, so befindet sich beispielsweise Pakistan auf dem 58. Platz (statt vorher auf dem 101.). Damit sinkt die Spearman-Distanz auf 469 (7,44 pro Team), und der Maximalwert (Chebyshev-Distanz) liegt bei 27.

Die Kendall-Tau-Distanz liegt in beiden Fällen bei 372, dies entspricht 5,9 Inver- sionen pro Team.²

Das derzeitige offizielle FIVB-Ranking berücksichtigt nicht die gleichen Turniere wie die Eigenvektorberechnung. Das FIVB-Ranking beinhaltet im Moment die Weltmeisterschaften 2006 (nur Qualifikation), die Kontinentalen Meisterschaften 2005 (alle Kontinente), die Weltliga 2005, die Olympischen Spiele 2004 (Qualifikati- on und Finalrunde), sowie zu je 50% den Weltcup 2003 und die Weltmeisterschaften 2002.

Um zu testen, ob die hohe Anzahl an Verschiebungen allein dem Eigenvektor- ranking zuzuschreiben ist oder eher der unterschiedlichen Datenbasis, habe ich eine provisorische FIVB-Weltrangliste erstellt. Als Grundlage dient die offizielle Rangliste der FIVB, allerdings umfasst sie nur die Turniere, welche auch im Eigenvektorranking vorhanden sind (siehe Liste der Turniere auf Seite 53).³ In Tabelle 4.2 sind Auszüge aus der neuen Rangliste dargestellt.⁴ Hohe Änderungen der Rangplätze im Vergleich zur offiziellen Rangliste ergebenen sich vor allem im unteren Bereich der Tabelle.

Die provisorische FIVB-Weltrangliste belegt allerdings, dass die große Abwei- chung meines Eigenvektorrankings von den offiziellen FIVB-Berechnungen nicht alleinig aufgrund des unterschiedlichen Datenumfangs zu Stande kommt. Denn die Spearman-Distanz weicht nicht merklich gegenüber dem vorherigen Vergleich ab. Auch die Kendall-Tau-Distanz sinkt nur gering, sie liegt jetzt bei 300 (4,76 Inversionen pro Mannschaft).

1Dies liegt daran, dass diese Teams die einzigen Punkte für die FIVB-Rangliste in der Qualifikation zur Weltmeisterschaft 2006 geholt haben. Dieses Turnier wurde im Eigenvektorranking nicht berücksichtigt.

2Die Kendall-Tau-Distanz ist invariant gegenüber dem Umnummerieren von Ranglisten.

3Im „Gegenzug“ mussten auch die Daten des Eigenvektorranking angepasst werden.

Die Spiele der Weltliga werden zum Beispiel nur für das Jahr 2005 in die offizielle FIVB-Liste einbezogen, die vorherigen Jahre werden ignoriert.

4In Abschnitt 5.3 im Anhang ist die komplette Rangliste abgedruckt.

4.1. Basisranking 29

Rang Diff Team Total 1. (±0) BRA 210 2. (±0) ITA 175

· · ·

20. (+9) COL 18 20. (+14) DOM 18

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29. (+15) RWA 14

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33. (−9) AUS 10 33. (+18) NGR 10

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42. (−10) GER 3 43. (+5) ALG 2 43. (+23) PER 2 45. (+33) BOT 1 45. (+56) BRN 1

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45. (+56) NZL 1 45. (+56) PAK 1 45. (+21) PHI 1 45. (+16) SUD 1

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45. (+56) VIE 1

Tabelle 4.2: Provisorische FIVB-Rangliste

4.2. Punktdifferenz als Basis der Berechnungen 30

4.2 Punktdifferenz als Basis der Berechnungen

Bisher wurde für alle Ranglisten alsBasisgewichtung der Spiele (bzw. derKanten) die Anzahl gewonnener Sätze herangezogen. Laut dem offiziellen FIVB-Regelwerk wird die Entscheidung, welche Mannschaft ein Spiel gewinnt, auch aufgrund der gewonnenen Sätze getroffen. Interessant wäre allerdings zu sehen, welches Bild von den Stärken der Mannschaften entsteht, wenn man die Punktanzahl als Basis wählt. Dass dies durchaus sinnvoll sein kann, liegt an der Mindestpunktzahl für einen Satzgewinn. Während eine Fußballmannschaft, die gegen Ende eines Spiels mit vielen Toren in Führung liegt, durchaus die Leistung reduzieren kann (denn sie kann kaum mehr verlieren), verhält sich dies im Volleyball etwas anders.

Eine Mannschaft, die mit 2:0 Sätzen, und 10:0 Punkten im dritten Satz führt, mag vielleicht ein wenig reduzierter kämpfen, aber letztlich muss sie die 25 Mindestpunkte erreichen, um den dritten Satz, und damit das Spiel, zu gewinnen.

Sie kann nicht auf den Abpfiff des Spiels warten, wie dies im Fußball des Öfteren vorkommt. Sie wird also weiterhin bemüht sein, volle Leistung zu geben, um den letzten Satz ebenfalls schnell gewinnen zu können.

Ein Beispiel verdeutlicht diesen Sachverhalt sehr gut: während der Afrikanischen Meisterschaften 2003 betrug beim Spiel Ägypten gegen Tunesien die Differenz der Gesamtpunkte am Ende des Spiels genau ein Punkt (98:97 für Ägypten). Trotzdem gewann Ägypten „hoch“ mit 3:1 Sätzen. Kennt man nur die Satzdifferenz, würde man nicht vermuten wie knapp das Spiel wirklich ausging. Vermutlich waren beide Mannschaften gleich stark, und durch Glück gewannen die Ägyptern die entscheidenden Punkte in den einzelnen Sätzen.⁵

Für das folgende Ranking wurden wieder sämtliche Daten der Turniere aus dem Abschnitt 5.5 verwendet. Allerdings lagen mir keinerlei Informationen zu den Punktverhältnissen der Vorrundenspiele der Asiatischen Meisterschaft 2003 vor.

Diese 21 Spiele konnte daher für die Rankingberechnung nicht berücksichtigt werden. Pro Spiel und Mannschaft wurde die Gesamtpunktzahl berechnet, und diese in die Adjazenzmatrix als Grundlage für das Eigenvektorranking eingetragen.

Hier ergeben sich vor allem in der unteren Hälfte des Rankings große Veränderun- gen in der Rangfolge. In Tabelle 4.3 wurden die Mannschaften mit den größten Rangplatzunterschieden aufgeführt. Von der Wertung nach Punktanzahl profitie- ren vor allem Teams mit wenig Spielen und dementsprechend wenig insgesamt gewonnenen Sätzen.

5Das komplette Endergebnis des Spiels lautete 26-24, 25-22, 19-25, 28-26 aus Sicht der Ägypter.