Die Hausdorff-Metrik und Limiten von Mengen

Die Hausdorff-Metrik und Limiten von Mengen

Jakob Reiffenstein Seminararbeit aus Analysis

SS 2017

Inhaltsverzeichnis

1 Die Hausdorff-Metrik 3

2 Konvergenz inH(X) 6

3 Kompaktheit in H(X) 8

Zusammenfassung

Die vorliegende Seminararbeit widmet sich zun¨achst der Hausdorff-Metrik. Diese l¨asst sich ausgehend von einem beliebigen kompakten metrischen Raum (X, d) definieren und gibt eine Metrik f¨ur denHyperraum H(X) der abgeschlossenen, nichtleeren Teilmengen vonX. Das erlaubt uns, nicht nur den Abstand zweier Punkte ausX zu messen, sondern auch, wie nahe bzw. ¨ahnlich sich zwei Mengen ausH(X) sind.

Anschließend wird untersucht, wie sich Konvergenz bez¨uglich der Hausdorff-Metrik charak- terisieren l¨asst. Schließlich l¨asst sich sogar beweisen, dass der Raum H(X), auf dem die Hausdorff-Metrik definiert ist, kompakt ist. Dasselbe gilt f¨ur den Raum C(X) der zusam- menh¨angenden Mengen ausH(X).

1 Die Hausdorff-Metrik

Definition 1.1 Sei (X,T) ein topologischer Raum. Der HyperraumH(X) ist definiert als die Menge aller abgeschlossenen und nichtleeren Teilmengen von X, d.h.

H(X) :={A⊆X:A ist abgeschlossen undA6=∅}.

F¨ur die nun folgende Definition der Hausdorff-Metrik ben¨otigen wir die wesentlich spezifischere Voraussetzung eines kompakten metrischen Raumes (X, d). Beachte, dass in diesem Fall die abgeschlossenen Teilmengen von X genau die kompakten Teilmengen sind.

Definition 1.2 Sei(X, d)ein kompakter metrischer Raum,A,B ∈ H(X)undδ >0. Bezeichne N_δ(A) :={x∈X:d(x, A)< δ},

wobei d(x, A) := inf

y∈Ad(x, y) = min

y∈Ad(x, y). Dann wird die Hausdorff-Metrik definiert durch Hd(A, B) := inf{ >0 :A⊆N(B) und B ⊆N(A)}.

Bemerkung 1.3. Der Ausdruck H_d(K, L) gibt an, wie stark K und L aneinander gekoppelt sind. Und zwar liegt jedesx∈K nicht weiter alsH_d(K, L) vonLentfernt. Genauer werden wir folgende Aussage beweisen:

F¨ur alle K, L∈ H(X) und x∈K existierty∈Lmitd(x, y)≤H_d(K, L). (1) Wir konstruieren einy∈Lmit dieser Eigenschaft. Nach Definition vonH_dgilt f¨ur allen∈Ndie InklusionK ⊆N_H

d(K,L)+_n¹(L). Daraus folgt die Existenz vony_n∈Lmitd(x, y_n)< H_d(K, L) +

1

n. Weil L kompakt ist, hat (yn)n∈N eine konvergente Teilfolge mit Grenzwerty ∈L. Dieses y erf¨ullt dann die Beziehungd(x, y)≤H_d(K, L).

Weiters sei angemerkt, dass die Definition von H_d offensichtlich symmetrisch in A und B ist.

Salopp gesagt wird dadurch sichergestellt, dass die Hausdorff-Metrik mit unserer Anschauung zusammenpasst. Wenn n¨amlich bloßA⊆N(B) mit ”kleinem” >0 gilt, folgt nicht zwingend, dassA ¨ahnlich zuB ist. Ein Gegenbeispiel w¨aren die KugelnU₁(0) und U₂(0) imRⁿ: Zwar gilt U1(0) ⊆N(U2(0)) f¨ur alle > 0, aber U2(0) ⊆N(U1(0)) nur f¨ur > 1. Wir sehen also, dass MengenA, B mit ”kleinem” AbstandH_d(A, B) immer eine ¨ahnliche Gr¨oße besitzen.

Lemma 1.4 Die Funktion H_d definiert eine Metrik auf H(X).

Beweis. Symmetrie und Nichtnegativit¨at sind aus der Definition ersichtlich. Ist H_d(A, B) = 0, dann folgtA⊆N(B) undB ⊆N(A) f¨ur alle >0. Wir behaupten, dass daraus A⊆B sowie B ⊆Afolgt, alsoA=B. Um das einzusehen, w¨ahle o.B.d.A. einx∈A\B. WeilB kompakt ist, giltc:=d(x, B)>0. Setze := ₂^c. Wir sehen x /∈N(B) im Widerspruch zur Voraussetzung.

Der wesentliche Aufwand besteht darin, die G¨ultigkeit der Dreiecksungleichung zu beweisen.

Wir verwenden die Hilfsaussage (1). Sind A, B, C ∈ H(X) und a ∈ A, dann gibt es aufgrund von (1) ein b∈B mitd(a, b)≤H_d(A, B). Ausgehend von jenembexistiert wiederum einc∈C mitd(b, c)≤H_d(B, C). Es folgt

d(a, c)≤d(a, b) +d(b, c)≤H_d(A, B) +H_d(B, C).

Das bedeutet, dass f¨ur beliebiges δ > 0 und mit z := H_d(A, B) +H_d(B, C) die strike Unglei- chungd(a, c)< z+δ gilt. Weila∈A beliebig war, folgt A⊆N_z+δ(C) f¨ur jedes δ >0. Analog beweist man auch C ⊆ Nz+δ(A). Daraus folgt Hd(A, C) ≤ η +δ f¨ur alle δ > 0. Damit gilt

schließlichH_d(A, C)≤z=H_d(A, B) +H_d(B, C).

Bemerkung 1.5. Mit der Hausdorff-Metrik erh¨alt man ein Instrument, mit dem man die geome- trische Gr¨oße zweier Mengen vergleichen kann. Diese Aussage klingt zun¨achst etwas schwammig, aber man kann ihr auch mathematisch gesehen einen Sinn geben. Und zwar l¨asst sich beweisen (siehe dazu [N, 4.33]), dass es zu jedem kompakten metrischen Raum (X, d) eine sogenannte

”Gr¨oßenfunktion”µ:H(X)→[0,+∞) gibt, die folgendes erf¨ullt:

• µist stetig,

• f¨ur alle A, B∈ H(X) mit A(B gilt µ(A)< µ(B) und

• µ({x}) = 0 f¨ur alle x∈X.

Als n¨achstes konstruieren wir eine weitere Topologie auf dem Hyperraum H(X), die Vietoris- Topologie. Dazu geben wir eine Basis und eine Subbasis an. Wir ben¨otigen daf¨ur keine Voraus- setzungen an den Raum (X,T). Wenn aber (X, d) ein kompakter metrischer Raum ist, stimmt die Vietoris-Topologie mit der von H_d erzeugten Topologie ¨uberein.

Definition 1.6 F¨ur einen topologischen Raum(X,T) und beliebigeU, U₁, ..., U_n∈ T definieren wir:

• Γ(U) :={A∈ H(X) :A⊆U},

• Λ(U) :={A∈ H(X) :A∩U 6=∅},

• hU₁, ..., Uni:={A∈ H(X) :A⊆Sn

i=1Ui und A∩Ui 6=∅, i= 1, ..., n}.

Lemma 1.7 Mit der Notation von Definition 1.6 gilt 1. Γ(U) =hUi und Λ(U) =hX, Ui,

2. hU₁, ..., Uni= Γ Sn i=1Ui

∩ Tn

i=1Λ(Ui)

. Mit U :=Sn

i=1U_i sowie V :=Sm

j=1V_j gilt:

3. hU₁, ..., U_ni ∩ hV₁, ..., V_mi=hV ∩U₁, ..., V ∩U_n, U ∩V₁, ..., U ∩V_mi.

Beweis. Die ersten beiden Aussagen sind klar. Um 3. nachzupr¨ufen, betrachte man zun¨achst folgende Gleichheit:

n

[

i=1

U_i

∩

m

[

j=1

V_j

=

m

[

j=1

(U ∩V_j) =

n

[

i=1

(V ∩U_i) =

m

[

j=1

(U∩V_j)∪

n

[

i=1

(V ∩U_i).

Es bleibt zu bemerken, dass A∩(V ∩Ui) 6= ∅ impliziert, dass (als Obermenge davon) auch A∩U_i 6=∅. Dasselbe gilt f¨ur U ∩V_j. Umgekehrt folgt f¨ur A ⊆V gemeinsam mit A∩U_i 6=∅, dass A∩(V ∩Ui) =A∩Ui6=∅; dieselbe Aussage gilt f¨urA∩(U∩Vj).

Satz 1.8 Sei(X,T) ein topologischer Raum und B:={hU₁, ..., U_ni:n∈N und U₁, ..., U_n∈ T } P :={Γ(U) :U ∈ T } ∪ {Λ(U) :U ∈ T }

Dann ist B die Basis einer Topologie T_V auf H(X), der sogenannten Vietoris-Topologie. P ist eine Subbasis dieser Topologie.

Beweis. Aus Lemma 1.7, 3. erkennt man, dass B durchschnittsstabil ist. Wegen H(X) =hXi ist B Basis von T_V := T(B), d.h. von der gr¨obsten Topologie auf H(X), die B enth¨alt; siehe [K, 12.4.8]. Sei [P] := {Tn

i=1Pi : n ∈ N, P1, ..., Pn ∈ P}. Wegen Lemma 1.7, 1. gilt P ⊆ B, und infolge auch [P]⊆ B, weil B ja durchschnittsstabil ist. Umgekehrt gilt aufgrund von 2. in Lemma1.7, dassB ⊆[P]. Insgesamt ergibt dasB= [P], womitP eine Subbasis vonT_V ist.

Satz 1.9 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Bezeichne T_H die Topologie, die man durch die Hausdorff-Metrik H_d auf H(X) erh¨alt. Dann gilt T_H =T_V.

Beweis. Wir schreiben f¨urA, B∈ H(X) und >0:

U(A) :={K ∈ H(X) :H_d(A, K)< } d(A, B) := inf{d(a, b) :a∈A, b∈B}.

Wir beweisen zuerst, dass f¨ur U ∈ T die Mengen Γ(U) und Λ(U) immer offen bez¨uglich Hd

sind. F¨ur U = X ist das klar, weil Γ(X) = Λ(X) = H(X). F¨ur U ∈ T \{X}, A ∈ Γ(U) sei := d(A, X\U) > 0. Zu beweisen ist die Inklusion U(A) ⊆ Γ(U). Angenommen, B ∈ U(A) w¨are keine Teilmenge vonU. Dann g¨abe esz∈B∩X\U. Wir erhieltend(z, A)≥d(X\U, A) =. Im Widerspruch dazu erhalten wir ausB ∈U(A), dassB∈N(A) und damitd(z, A)< . Also giltU(A)⊆Γ(U).

F¨ur U ∈ T \{X}, A ∈ Λ(U) w¨ahle ein p ∈ A∩U. Setze := d({p}, X\U) > 0. Wir zeigen U(A) ⊆Λ(U). F¨ur K ∈ U(A) gilt p∈ A ⊆N(K). Also existiert ein x ∈K mit d(p, x)< . Dieses x liegt wegen d(x, X\U) ≥d(p, X\U)−d(p, x) = −d(p, x) >0 auch in U. Damit ist K∩U 6=∅ bzw.K∈Λ(U).

Insgesamt erkennt man, dass P ⊆ T_H und als Konsequenz T_V ⊆ T_H.

F¨ur den Beweis vonT_H ⊆ T_V gen¨ugt es, dass f¨ur alle offenen KugelnU₂(A) mitA∈ H(X), >0 endlich viele MengenU₁, ..., U_n∈ T existieren, sodass

A∈ U_A:=hU₁, ..., Uni ⊆U2(A). (2)

Aus der Kompaktheit von A folgt, dass A total beschr¨ankt ist. Also lassen sich endlich viele Mengen U1, ..., Un ∈ T mit Durchmesser jeweils kleiner als finden, die A ¨uberdecken. Ohne

Beschr¨ankung der Allgemeinheit sei auch A∩U_i 6=∅ f¨ur allei= 1, ..., n verlangt. Klarerweise ist dannA∈ hU₁, ..., U_ni. Außerdem folgt f¨ur jedes weitereK∈ hU₁, ..., U_ni, dass jedesx∈Kin einem gewissenUienthalten ist. Da einxi∈A∩U_i existiert und der Durchmesser vonUikleiner als ist, erhalten wird(x, A)≤d(x, x_i)< .x∈K war beliebig und das bedeutetK ⊆N(A).

Genauso zeigt manA⊆N(K). Also mussH_d(A, K)≤ <2gelten, woraus (2) folgt.

Korollar 1.10 Sei(X,T) ein kompakter topologischer Raum und d1,d2 zwei Metriken auf X, die beide T erzeugen (d.h. T = T_d1 = T_d2). Dann sind die von H_d1 und von H_d2 auf H(X) induzierten Topologien ident.

Beweis. Das ist eine unmittelbare Konsequenz aus Satz 1.9.

2 Konvergenz in H(X )

Wie dem Leser/der Leserin vielleicht schon bekannt ist, kann man f¨ur Mengenfolgen eine Art von Konvergenz definieren, die ohne Metrik und sogar ohne Topologie auskommt. Wir verwenden hier eine Definition, die sehr wohl R¨ucksicht auf die Topologie vonXnimmt, aber auf den ersten Blick nichts mit der Vietoris-Topologie zu tun hat. In diesem Abschnitt wird ein Zusammenhang zwischen diesen beiden Konvergenzarten hergestellt.

Definition 2.1 Sei (X,T) ein topologischer Raum und (A_n)n∈N eine Folge von Teilmengen von X. Wir definieren

lim infA_n:={x∈X :F¨ur alleU ∈ T mit x∈U :U∩A_n6=∅ f¨ur fast alle n∈N}, lim supA_n:={x∈X :F¨ur alleU ∈ T mit x∈U :U∩A_n6=∅ f¨ur unendlich viele n∈N}.

Falls lim infA_n = lim supA_n =: A sagen wir, dass A_n gegen A konvergiert und schreiben limA_n=A.

Offensichtlich ist lim infA_n immer eine Teilmenge von lim supA_n.

Lemma 2.2 Sei(X,T) ein kompakter topologischer Raum und(A_n)n∈N eine Folge ausH(X).

Dann gilt auch lim supAn∈ H(X).

Beweis. Wir beweisen folgende Gleichheit:

lim supA_n= \

m∈N

[

n≥m

A_n. (3)

Dazu halten wir uns vor Augen, wasx∈lim supA_n bedeutet¹: x∈lim supA_n⇔

∀U ∈ T mitx∈U,∀m∈N ∃n≥m:A_n∩U 6=∅ ⇔

∀U ∈ T mitx∈U,∀m∈N:

[

n≥m

An

∩U 6=∅ ⇔

∀m∈N:x∈ [

n≥m

An ⇔ x∈ \

m∈N

[

n≥m

An.

1F¨ur die dritte ¨Aquivalenz ben¨utzen wir folgende Aussage: SindD⊆X,x∈X beliebig, so giltx∈D genau dann, wenn jede Umgebung vonxnichtleeren Schnitt mitD hat. Siehe dazu [K, 12.2.7].

Mit dieser Schreibweise ist klar, dass lim supA_nals Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlos- sen ist. Außerdem ist der Schnitt ¨uber endlich viele Mengen der FormS

n≥mA_n nicht leer, weil die Folge (S

n≥mA_n)m∈Nmonoton fallend bez¨uglich der Mengeninklusion ist. Die Kompaktheit vonXimpliziert, dass lim supAn, also der Durchschnitt ¨uber alle Folgenglieder, nicht leer ist.

Satz 2.3 Sei (X,T) ein kompakter topologischer Raum und (An)n∈N eine Folge aus H(X).

ExistiertA= limA_n, dann konvergiert A_n auch bez¨uglich der Topologie T_V aus Satz 1.9 gegen A. Erf¨ullt X zus¨atzlich das Trennungsaxiom (T2), dann folgt umgekehrt aus der Konvergenz von An gegen A bez¨uglich T_V auch limAn=A.

In einem kompakten metrischen Raum (X, d) gilt insbesondere limA_n =A genau dann, wenn limn→∞Hd(An, A) = 0.

Beweis. Wir beweisen zuerst, dass limAn = A die Konvergenz von An gegen A bez¨uglich T_V nach sich zieht. Wegen Lemma 2.2 gilt A ∈ H(X). Seien U1, ..., U_k offene Teilmengen von X mitA∈ hU₁, ..., U_ki. Wegen A∩U_i6=∅f¨ur allei= 1, ..., k lassen sichx₁, ..., x_k so w¨ahlen, dass xi ∈A∩Ui ⊆Ui. Nachdem ja lim infAn=A3xi gilt, gibt es Indizes Ni ∈N,i= 1, ..., kmit

A_n∩U_i 6=∅ f¨ur alle n≥N_i, i= 1, ..., k. (4)

Weiters wollen wir beweisen, dass auch einM ∈Nexistiert, sodass An⊆

k

[

i=1

Ui f¨ur alle n≥M. (5)

Wir nehmen das Gegenteil an und setzen K := X\Sk

i=1U_i. Dann w¨urde eine Teilfolge A_j(n) von An existieren, sodass f¨ur alle n ∈ N gilt A_j(n)∩K 6= ∅ f¨ur alle n ∈ N. Aus jedem dieser Schnitte w¨ahle einx_n. Die Folgex_nhat dann aufgrund der Kompaktheit vonKeine konvergente Teilfolge mit Grenzwert x∈K. F¨ur jede UmgebungU von x gibt es also einen Index ˜N ∈ N, sodass f¨ur alle n ≥ N˜ gilt xn ∈ U. Dann ist insbesondere A_j(n)∩U 6= ∅ und das bedeutet x∈lim supA_n=A. Das ist ein Widerspruch zuA∩K=∅.

Mit (4) und (5) erhalten wir

An∈ hU₁, ..., U_ki f¨ur alle n≥N := max{M, N₁, ..., N_k}, also konvergiert A_n gegen AinT_V.

F¨ur die R¨uckrichtung seiA= lim^T_n→∞^V An. Wenn wir sowohlA⊆lim infAnals auch lim supAn⊆ A zeigen k¨onnen, folgt die Aussage aus

A⊆lim infAn⊆lim supAn⊆A.

Zuerst beweisen wir A ⊆lim infA_n. Sei p ∈ A beliebig und U eine offene Umgebung von p in X. Dann ist Λ(U) eine offene Umgebung von A. Weil A_n bez¨uglich T_V gegen A konvergiert, existiert ein N ∈N, sodass

A_n∈Λ(U) f¨ur alle n≥N.

Insbesondere gilt f¨ur n ≥N, dass An∩U 6= ∅ und somit p ∈ lim infAn. Weil p beliebig war, haben wir A ⊆ lim infA_n bewiesen. Nur der Beweis von lim supA_n ⊆ A steht noch aus. Der Fall A =X ist trivial. Andernfalls sei x ∈X\A. Aufgrund von (T₂) und weil X kompakt ist, erf¨ulltX auch (T4); siehe [K, 12.11.10]. Also gibt es V ∈ T mit A ⊆V und x /∈ V. Dann ist

Γ(V) eine offene Umgebung vonA in H(X), und infolge gibt es ein N ∈N, sodass A_n∈Γ(V) bzw. A_n ⊆V f¨ur alle n≥ N. Das impliziert A_n∩(X\V) = ∅ f¨ur fast alle n ∈ N. Daher gilt x /∈lim supAn, dennX\V ist eine offene Umgebung vonx.

Nun stellt sich die Frage, ob man f¨ur den Beweis der R¨uckrichtung in Satz2.3wirklich ben¨otigt, dass X Hausdorff ist. Das folgende einfache Beispiel zeigt, dass man diese Voraussetzung nicht weglassen kann.

Beispiel 2.4. SeiX:={1,2}versehen mit der Topologie T :={∅,{1},{1,2}}. Man sieht sofort, dass H(X) = {{2},{1,2}}. Die Mengen h{1}i = ∅, h{1,2}i = H(X) sowie h{1},{1,2}i = {{1,2}} bilden eine Basis der Topologie T_V auf H(X). Betrachte nun die konstante Folge An:={1,2}, n∈N. Diese konvergiert offensichtlich bzgl. T_V gegen{1,2}. Allerdings konver- giert sie auch gegen {2}, weil jede Umgebung von {2} auch {1,2} = A_n enth¨alt. Gleichzeitig erkennt man sofort, dass limAn, so wie er oben definiert wurde, eindeutig ist, falls er existiert.

In diesem Beispiel haben wir offensichtlich das Problem, dass H(X) nicht Hausdorff ist und daher Grenzwerte nicht eindeutig sein m¨ussen. Folgendes Lemma ist naheliegend:

Lemma 2.5 Sei(X,T)ein kompakter(T2)-Raum. Dann erf¨ullt(H(X),T_V)ebenfalls das Tren- nungsaxiom (T₂).

Beweis. F¨ur A, B ∈ H(X), A 6= B ist zu zeigen, dass A und B sich durch offene Mengen trennen lassen. O.B.d.A. sei x∈ A\B. Wegen [K, 12.11.10] erf¨ullt ist X sogar ein (T4)-Raum.

Wir k¨onnen also disjunkte U, V ∈ T w¨ahlen, sodass {x} ⊆U und B ⊆V. Es folgt B ∈Γ(V), A ∈ Λ(U). Wegen U ∩V = ∅ gilt auch Γ(V)∩Λ(U) = ∅, womit wir A und B durch offene

Mengen getrennt haben.

Bemerkung 2.6. Falls (X, d) ein kompakter metrischer Raum ist, liefert die Gr¨oßenfunktionµ aus Bemerkung 1.5 eine weitere Veranschaulichung der Konvergenz in H(X). F¨ur jede solche Funktion gilt n¨amlich, dass eine Folge (A_n)n∈N aus H(X) genau dann gegen ein A ∈ H(X) konvergiert, wenn f¨ur jedes >0 eine nat¨urliche ZahlN existiert, sodass

A_n⊆N(A) und |µ(A_n)−µ(A)|<

f¨ur alle n≥N.

3 Kompaktheit in H(X )

Lemma 3.1 (Tukey) ² Man sagt, dass eine Familie F von Mengen endlichen Charakter hat, wenn folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

• F ∈ F.

• Jede endliche Teilmenge vonF liegt in F.

F¨ur ein F mit dieser Eigenschaft gilt dann, dass f¨ur jedes D aus F ein FD ⊇D existiert, das maximal in F ist.

2Das Lemma von Tukey ist ¨aquivalent zum Auswahlaxiom.

Beweis. Siehe [Ke, 0.25].

Satz 3.2 (Alexander Subbase Lemma) Sei(X,T)ein topologischer Raum undS eine Sub- basis von T. Hat jede ¨Uberdeckung von X durch Mengen aus S eine endliche Teil¨uberdeckung, dann ist X kompakt.

Beweis. F¨ur diesen Beweis nennen wir eine Familie C von Teilmengen von X

• inad¨aquat, falls C nicht ganzX ¨uberdeckt

• endlich inad¨aquat, falls keine endliche Teilmenge von C ganzX ¨uberdeckt.

Damit l¨asst sich die Kompaktheit vonXwie folgt formulieren: Jede endlich inad¨aquate Familie offener Mengen ist inad¨aquat.

Betrachte nun die Menge der endlich inad¨aquaten Familien offener Mengen. Man sieht sofort, dass diese endlichen Charakter hat. Lemma3.1garantiert die Existenz einer maximalen endlich inad¨aquaten FamilieA. Diese Familie hat dann folgende Eigenschaften: F¨ur jedesO∈ T, O /∈ A gibt es wegen der Maximalit¨at vonA endlich viele A1, ..., Am ∈ Amit O∪A1∪...∪Am =X.

A kann damit auch keine offene Obermenge vonO enthalten.

F¨ur eine weitere nicht inAenthaltene offene MengeU finden wir genausoB₁, ..., B_n∈ A, sodass U ∪B₁ ∪...∪B_n =X. Dann folgt (O∩U)∪A₁ ∪...∪A_m∪B₁∪...∪B_n =X. Auch O∩U kann also nicht inAliegen. Induktiv zeigt man, dass auch der Schnitt von endlich vielen offenen Mengen, die nicht inA liegen, nicht in A liegt. Das l¨asst sich umformulieren zu: Wenn f¨ur ein A∈ Aendlich viele C₁, ..., C_k ∈ T mitTk

i=1C_i ⊆A existieren, dann liegt mindestens eines der Ci inA.

Nun w¨ahlen wir eine endlich inad¨aquate FamilieDoffener Teilmengen vonX. SeiAeine maxi- male endlich inad¨aquate Familie, dieDenth¨alt. Dann ist auchS ∩ A endlich inad¨aquat. Dieser Schnitt besteht nur aus Elementen von S und deshalb ist nach Voraussetzung S ∩ A sogar inad¨aquat, ¨uberdeckt also nicht ganz X.

Sei schlussendlich A ∈ A, x ∈ A beliebig, dann gibt es aufgrund der Subbasiseigenschaft von S endlich viele Mengen C1, ..., Ck ∈ S mit x ∈ Tk

i=1Ci ⊆ A. Wie oben gezeigt, ist dann x∈C_i ∈ A ∩ S f¨ur ein 1≤i≤n. Wir haben damit gezeigt, dass

[

A∈A

A= [

A∈S∩A

A (X.

Also ist auchA inad¨aquat.D ist es als Teilfamilie vonA genauso, womitX kompakt ist.

Satz 3.3 Ein beliebiger topologischer Raum(X,T) ist genau dann kompakt, wenn(H(X),T_V) kompakt ist.

Beweis. Wir beweisen zuerst, dass die Kompaktheit von X die von H(X) impliziert. Sei P die Subbasis vonT_V aus Satz1.8. Nach Satz3.2gen¨ugt es, f¨ur jede ¨Uberdeckung vonH(X) durch Mengen aus P eine endliche Teil¨uberdeckung zu finden. Sei also

L={Γ(U_i) :i∈I} ∪ {Λ(V_j) :j∈J} (6) so eine ¨Uberdeckung, d.h. S

L∈LL = H(X). Wir setzen Y := X\(S

j∈JV_j) und unterscheiden zwei F¨alle:

1. Fall:Y =∅bzw.X =S

j∈JV_j. Aus der Kompaktheit vonXerhalten wir endlich viele Indizes j₁, ..., j_n∈J mitX =Sn

k=1V_jk. Klarerweise impliziert das H(X) =

n

[

k=1

Λ(V_jk).

2. Fall:Y 6=∅. Nach Definition vonY ist in diesem FallY ∈ H(X) undY /∈Λ(V_j) f¨ur allej∈J.

Nachdem L ganz H(X) ¨uberdeckt, gibt es ein i0 ∈ I mit Y ∈ Γ(Ui0). Das bedeutet Y ⊆Ui0

und weiter

X\U_i0 ⊆X\Y = [

j∈J

Vj.

WeilX\U_i0 abgeschlossen und daher kompakt ist, gibt es j1, ..., jn∈J mit X\U_i0 ⊆

n

[

k=1

V_jk.

JedesA∈ H(X), das nicht in Γ(U_i0) liegt, besitzt ein Element inX\U_i0, woraus zusammen mit dem bereits Gezeigten folgt, dass

H(X) = Γ(U_i0)∪ n

[

k=1

Λ(Vjk)

.

Das beweist die Kompaktheit von H(X).

F¨ur die R¨uckrichtung sei angenommen, dassH(X) kompakt ist, und sei (x_i)i∈I ein Netz aus X.

Dann ist ({x_i})_i∈I ein Netz in H(X), zu dem es ein konvergentes Teilnetz ({x_i(j)})_j∈J geben muss. Sei Y ∈ H(X) der Grenzwert davon und x ∈Y; wegen Y ∈ H(X) istY nicht leer. F¨ur eine beliebige offene UmgebungU ∈ T von xist offenbar Λ(U) eine offene Umgebung vonY in H(X). Es gibt daher einen Index j₀∈J, sodass

{x_i(j)} ∈Λ(U) f¨ur alle jj0

bzw. {x_i(j)} ∩U 6= ∅ f¨ur alle j j0. Dann folgt auch {x_i(j)} ∩U 6= ∅, denn andernfalls w¨are {x_i(j)} ⊆ U^c. Wegen der Abgeschlossenheit von U^c erhalten wir {x_i(j)} ⊆U^c im Widerspruch zur vorigen Aussage. Es folgt die Konvergenz von x_i(j) gegen x, denn{x_i(j)} ∩U 6=∅ ist offen- sichtlich ¨aquivalent zu x_i(j)∈U.X ist folglich kompakt.

Bemerkung 3.4. F¨ur einen kompakten metrischen Raum (X, d) und A ⊆ H(X) abgeschlossen folgt aus dem soeben bewiesenen Satz 3.3, dass A sogar kompakt ist. Weil µ aus Bemerkung 1.5 stetig ist, nimmt µ ein MaximumA auf A an. Aufgrund der Eigenschaft µ(A)< µ(B) f¨ur A ( B ist A dann auch ein maximales Element von A in dem Sinne, dass jedes B ∈ A mit B ⊇A schon mitA ¨ubereinstimmen muss.

Korollar 3.5 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Dann hat jede Folge in H(X) eine konvergente Teilfolge. Es gilt sogar, dass jede beliebige Folge (A_n)n∈N nichtleerer Teilmengen von X eine Teilfolge hat, f¨ur die limA_j(n) existiert und in H(X) liegt.

Beweis.Die erste Aussage gilt, weil (H(X), H_d) nach Satz3.3ein kompakter metrischer Raum ist. F¨ur die zweite bleibt zu zeigen, dass lim infA_n= lim infA_nund lim supA_n= lim supA_n. Der

Rest folgt dann aus der soeben bewiesenen ersten Aussage, angewandt auf die Folge (A_n)n∈N. Aber auch dieser Beweis ist nicht schwierig: SeiU ∈ T mitU ∩A_n6=∅. Angenommen, es w¨are An⊆U^c, dann w¨urde die Abgeschlossenheit vonU^csogarAn⊆U^cnach sich ziehen. Wir hatten aber U ∩A_n 6=∅ vorausgesetzt. Somit gilt A_n * U^c bzw. U ∩A_n 6=∅. Also folgt die Aussage aus

U ∩An6=∅ ⇔U ∩An6=∅.

Zum Abschluss dieser Seminararbeit sollen noch die zusammenh¨angenden Teilmengen von X in Hinblick auf die Hausdorff-Metrik untersucht werden. Zur Erinnerung: Eine Teilmenge Y von X heißtzusammenh¨angend, falls man sie nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer abgeschlossener³ Mengen schreiben kann.

Definition 3.6 Ist (X,T) ein topologischer Raum, so schreiben wir C(X) :={A∈ H(X) :A ist zusammenh¨angend}.

Definition 3.7 Sei (X, d) ein metrischer Raum und >0. Eine(d, )-Kette ist eine endliche, nichtleere Teilmenge {x₁, ..., xn} von X mit

d(x_i, x_i+1)< f¨ur allei= 1, ..., n−1.

Ist dabeip=x1 und q=xn, dann sagen wir, dass die(d, )-Kette vonpnach q geht bzw. p und q verbindet.

Eine TeilmengeZ vonX nennen wir(d, )-verkettet⁴, wenn f¨ur jede Auswahl von zwei Punkten ausZ eine(d, )-Kette existiert, die beide Punkte verbindet. IstZ ⊆X sogar(d, )-verkettet f¨ur jedes >0, dann heißt Z d-stark-verkettet⁵.

Lemma 3.8 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Dann ist jedes A ∈ C(X) d-stark- verkettet.

Beweis. Nach [K, 12.14.3] ist A total beschr¨ankt. Das bedeutet, dass f¨ur jedes > 0 endlich viele M1, ..., Mn ⊆ A mit Durchmessern jeweils kleiner als existieren, sodass A = Sn

i=1Mi. O.B.d.A. seien M₁, ..., M_n nichtleer und abgeschlossen. W¨ahle x ∈ A und sei A_x die Menge aller Punkte in A, die ¨uber eine (d, )-Kette mit x verbunden werden k¨onnen. Wenn A nicht (d, )-verkettet w¨are, dann g¨abe es einy∈A\A_x. Wir behaupten, dass dannd(z, y)≥f¨ur alle z∈A_x folgt. Um das einzusehen, nehmen wir das Gegenteil an, d.h. d(z, y)< f¨ur einz∈A_x. Weilz inAx liegt, existiert eine (d, )-Kette{x=x1, ..., xn=z}, diex mitzverbindet. Damit w¨are aber {x = x1, ..., xn = z, y} eine (d, )-Kette von x nach y. Das ist nicht m¨oglich, weil y kein Element von A_x ist. Wir folgern: F¨ur alle ˜x ∈ A_x und ˜y ∈ A\A_x ist d(˜x,y)˜ ≥ . Also enth¨alt jedes Mi,i= 1, ..., n, entweder nur Punkte aus Ax oder nur Punkte ausA\A_x. Daraus folgt im Widerspruch zum Zusammenhang von A

A=

[

Mi∩Ax6=∅

M_i

∪˙

[

Mj∩(A\Ax)6=∅

M_j

.

Beide Mengen sind n¨amlich abgeschlossen, nichtleer und disjunkt. A_x muss also schon mit A

¨

ubereinstimmen.

3Abgeschlossen bez¨uglich der Spurtopologie.

4engl. ”(d, )-chained”

5engl. ”d-well-chained”

Lemma 3.9 Sei(X, d)ein kompakter metrischer Raum und(A_n)n∈Neine Folge ausH(X), die gegen ein A ∈ H(X) konvergiert. Sei (_n)n∈N ⊆(0,+∞) mit limn→∞_n = 0 und A_n f¨ur jedes n∈Neine (d, n)-verkettete Menge. Dann ist A zusammenh¨angend, also A∈ C(X).

Beweis.Angenommen,Aw¨are nicht zusammenh¨angend. SchreibeA=K∪L˙ mitK, L∈ H(X)⁶, K∩L=∅. Da K und Lkompakt sind, ist

0< δ:=d(K, L) = inf{d(x, y) :x∈K, y ∈L}. (7) Wie man unmittelbar nachpr¨uft, sind dann U := Nδ

3(K) und V := Nδ

3(L) offen in X mit K ⊆U undL⊆V. Außerdem sindU undV disjunkt mitd(U , V)≥ ^δ₃. Es isthU, Vieine offene Umgebung von A in H(X). Aus der Konvergenz von An gegen A sehen wir, dass ein N ∈ N existiert, sodass f¨ur allen≥N giltAn∈ hU, Vi. Weil (_n)n∈Neine Nullfolge ist, kannk≥N mit _k< ^δ₃ gew¨ahlt werden. Es gilt dannA_k∈ hU, Vi, und das bedeutet, dass sowohlA_k∩U 6=∅als auchAk∩V 6=∅. SeixU ∈Ak∩U undxV ∈Ak∩V. WeilAk eine (d, k)-verkettete Menge ist, gibt es eine (d, _k)-Kette{x_U =x1, ..., xn=xV} inA_k. W¨ahle i∈ {1, ..., n−1} als die kleinste Zahl, f¨ur diex_i∈U, x_i+1∈V gilt. Wir erhalten den Widerspruchd(U , V)≤d(x_i, x_i+1)≤_k.

Satz 3.10 Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum. Dann ist C(X) kompakt in H(X).

Beweis.Nach Satz3.3m¨ussen wir nur zeigen, dassC(X) abgeschlossen inH(X) ist. Sei (A_n)n∈N

eine Folge ausC(X), die gegen einA∈ H(X) konvergiert. Nach Lemma 3.8ist dann jedes A_n d-stark-verkettet. Es l¨asst sich also Lemma3.9 anwenden, woraus wirA∈ C(X) erhalten.

Es sei noch angemerkt, dass es zu diesem Thema weitere interessante Resultate gibt, beispiels- weise, dass f¨ur einen zusammenh¨angenden und kompakten metrischen Raum auch C(X) und H(X) zusammenh¨angend sind.

6WeilAabgeschlossen ist, ist die Abgeschlossenheit bzgl.d¨aquivalent zur Abgeschlossenheit bzgl. der Spur- topologie aufA

Literatur

[N] Sam B. Nadler Jr.:Continuum Theory: An Introduction.Taylor & Francis, 1992.

[K] Michael Kaltenb¨ack:Analysis 2. Vorlesungsskript SS 2015 [Ke] John L. Kelley:General Topology. Springer, 1975. (Neuauflage)