Ubungsaufgaben Lineare Algebra f¨ ¨ ur Physiker WS 2009/2010 - 12. Serie
12.1 Bestimmen Sie ein orthonormiertes System von L¨osungsvektoren f¨ur das homogene lineare Gleichungssystem
−3x1 − x2 − x3 + 2x4 + 4x5 = 0 x1 − x2 + x3 + 2x5 = 0 2x1 + x3 − x4 − x5 = 0
.
12.2 Gegeben ist die Matrix A=
7 4 4
4 1 −8
4 −8 1
.
a) Bestimmen Sie s¨amtliche Eigenwerte und ein orthonormiertes System zugeh¨origer Eigenvektoren zur Matrix A.
b) Geben Sie f¨ur die MatrixA eine MatrixS und Werteλ1, λ2, λ3 an, so dass S−1·A·S =Diag{λ1, λ2, λ3}.
12.3 Gegeben ist die Matrix
A=
1 i
−i 2
.
Bestimmen Sie die Eigenwerte und eine unit¨are Matrix U, so dass UT ·A·U =Diag{λ1, λ2}.
12.4 Untersuchen Sie, ob sich die folgende Matrix
A=
1 i
i 2
mittels unit¨arer Matrix diagonalisieren l¨asst.
Begr¨unden Sie das Ergebnis.
(Abgabe am 21.1.2010)
