8. ¨ Ubungsblatt zur Experimentalphysik IV
Prof. Dr. U. Pietsch, Dr. S. Gorfman E. Krause, A. H¨usecken, N. Hillebrand
Ausgabe: 31.05.2012 Abgabe: 7.05.2012 SS 2012
Aufgabe 20 : Potentialenergiekurven (6 Punkte)
(a) (2Pkt) Es seien zwei Protonen eines H2+ Molek¨uls mit ihrem Normalabstand von 1.06˚A voneinander getrennt. Skizzieren Sie die potentielle Energie (V ¨uber x - Plot) eines Elektrons, das (entlang der x-Achse)
”durch“ die beiden Protonen l¨auft.
(b) (2Pkt) Skizzieren Sie die Elektronenwellenfunktionen f¨ur die beiden niedrigsten Zust¨ande imH2+. Wie h¨angen die Wellenfunktionen mit den bekannten Wasserstoff- Wellenfunktionen zusammen? Welche der Wellenfunktionen geh¨ort zum Grundzu- stand des H2+ und warum?
(c) (2Pkt) Was geschieht mit den beiden niedrigsten Energie Leveln des H2+, wenn die Protonen weit voneinander entfernt werden? (z.B. Proton 1 fixiert, Proton 2 → ∞)
Aufgabe 21 : Rotations- und Vibrationsenergielevel (9 Punkte) Betrachten Sie ein Diatomisches Molek¨ul mit den Kernmassen m1 und m2. Gegeben sei der Radialteil der Schr¨odingergleichung f¨ur das Zentralpotential:
−~2 2µ
1 r2
d dr
r2dΨ(r) dr
+
V(r) + l(l+ 1)~2 2µr2
Ψ(r) =EΨ(r) Eine gute Approximation f¨ur das Molek¨ul Potential ist gegeben durch :
V(r) =−2V0 1
ρ − 1 2ρ2
mit ρ =r/a und a als ein charakteristischer L¨angenparameter.
(a) (5Pkt) Zeigen Sie, das f¨ur kleines B die Wellengleichung sich auf die eines simplen harmonischen Oszillators mit der Frequenz:
ω =
2V0 µa2(1 +B)3
1/2
, mitB = l(l+ 1)~2 2µa2V0
vereinfacht. Erweitern Sie dazu das effektive Potential aus der Schr¨odingergleichung um sein Minimum.
(b) (4Pkt) Angenommen das~2/2µ >> a2V0, finden Sie die Rotations-, Vibrations- und Rotations-Vibrations-Energielevel f¨ur kleine Oszillationen.
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Aufgabe 22 : Hybridorbitale (5 Punkte) Die Bindung zwischen C und H Atomen verschiedener Molek¨ule soll untersucht werden.
Die Molek¨ule seien Acetylen (C2H2) und Methan (CH4). Verglichen werden sollen die Uberlapp-Integrale des 1s-Wasserstoff Orbitals mit dem Hybridorbital Ψ(sp) des Acetylen-¨ Molek¨uls und dem Hybridorbital Ψ(sp3) des Methan-Molek¨uls.
Das ¨Uberlapp-Integral zwischen Wasserstoff 1s-Orbital und Kohlenstoff 2s-Orbital (ge- trennt durch die C-H Bindungsl¨ange) ist
Z
Ψ(1sH)Ψ(2sC)dr = 0.57 das zwischen Wasserstoff 1s- und Kohlenstoff 2pz-Orbital ist
Z
Ψ(1sH)Ψ(2pzC)dr= 0.46 .
(a) (2Pkt) Wie lauten die Wellenfunktionen der Hybridorbitale Ψ(sp) und Ψ(sp3) ? (b) (3Pkt) Berechnen Sie das ¨Uberlapp-Integral zwischen dem Wasserstoff 1s und den
Kohlenstoff sp und sp3 Hybridorbitalen, unter der Annahme gleicher Bindungsdi- stanzen, f¨ur Acetylen und Methan. Welche Bindung ist die st¨arkere?
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