Aufgabe 2 8 Punkte

(1)

Klausuraufgaben, Studienleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, BB BB-WMT-S11–080628

Studiengang Betriebswirtschaft

Modul Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung Studienleistung Klausur-Kennzeichen BB-WMT-S11–080628

Datum 28.06.2008

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtli- ches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Auf- sichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Kor- rekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Die Klausur-Aufgaben können einbehalten werden. Dies bezieht sich nicht auf ausgeteilte Arbeitsblätter, auf denen Lösungen einzutragen sind.

Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelas- sen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden.

Bearbeitungszeit: 90 Minuten Hilfsmittel:

Anzahl Aufgaben: – 8 – HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: – 100 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Ergebnis

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Studienleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, BB HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-S11–080628 Seite 1/3

Aufgabe 1 15 Punkte

Bestimmen Sie alle Lösungen der Wurzelgleichung 1

3

3x− x+ =

(

^mit

{

^x^∈^R ^x^≥⁻³

} )

^.

Überprüfen Sie die Lösungen mit Hilfe einer Probe.

Aufgabe 2 8 Punkte

Bestimmen Sie im Bereich der reellen Zahlen R die Lösungsmenge der Gleichung

14 1 5

5625 , 4 0

3 ⁻ ₋

=



 



 x x

.

Aufgabe 3 20 Punkte

Ein Brückenträger in Form einer Parabel besitzt eine Spannweite von 200 m. Die Fahrbahn liegt 10 m über den Auflegern und 20 m unterhalb des Scheitelpunktes des Brückenträgers (vgl. Bild).

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x) des Brückenträgers und die Schnittpunkte von Fahrbahn und Brückenträger.

Fassen Sie hierzu die Linie zwischen den Auflagepunkten auf den Auflegern als x-Achse auf und legen Sie die y-Achse durch den Scheitelpunkt des Brückenträgers (vgl. Bild).

Hinweis:

Gehen Sie bei der Aufgabenbearbeitung von der allgemeinen Form f(x)=ax² +bx+c einer Parabel (quadratischen Gleichung) aus.

(3)

BB-WMT-S11–080628 Seite 2/3

Aufgabe 4 7 Punkte

Gegeben ist die Funktion

x x x

f

y= = 1+

ln )

( mit ^D⁼

{

^x ^x^<⁻¹^oder^x^>⁰

}

^.

Bestimmen Sie für x>0 die Umkehrfunktion von f(x).

Aufgabe 5 13 Punkte

Berechnen Sie den zusätzlichen Wert des Kapitalwerts einer Einmalzahlung von 6.500,00 €, die für 5 Jahre fest zu einem Zinssatz von 4 % p.a. angelegt wird, wenn

5.1 statt üblich einmal jährlich alle vier Monate die Zinsen gutgeschrieben werden. 8 5.2 statt üblich einmal jährlich alle Monate die Zinsen gutgeschrieben werden. 5

Aufgabe 6 22 Punkte

Herr Mustermann zahlt beginnend mit dem Jahre 2001 jährlich nachschüssig folgende Beiträge in seine Le- bensversicherung:

• 2001 – 2005: 5.000,00 €

• 2006 – 2010: 10.000,00 €

• 2011 – 2015: 20.000,00 €

• ab 2016: keine Beiträge.

Die Lebensversicherung wird im Erlebensfall am Ende des Jahres 2020 ausbezahlt. Die Verzinsung des ein- bezahlten Kapitals über die Laufzeit der Lebensversicherung beträgt 7 % p.a. (Zinseszins).

6.1 Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag der Lebensversicherung? 16

6.2 Welche konstanten jährliche nachschüssigen Beiträge zwischen 2001 und 2015 hätten zum gleichen Auszahlungsbetrag geführt?

6

Hinweis:

Sollten Sie bei Teilaufgabe 6.1 keine Lösung erhalten, so gehen Sie bitte bei der Lösung der Teilaufgabe 6.2 von einem Auszahlungsbetrag 300.000,00 € aus.

(4)

BB-WMT-S11–080628 Seite 3/3

Aufgabe 7 8 Punkte

Ein Kredit über 900.000,00 € wird in gleich großen Tilgungsraten zurückgezahlt.

Der Zinssatz beträgt 10 % p.a. Die Zinsen im elften Jahr betragen 30.000,00 €.

Berechnen Sie die Laufzeit des Kredites.

Aufgabe 8 7 Punkte

Frau Müller möchte eine Schuld von 50.000,00 € bei gleichbleibenden Annuitäten mit jährlich 6 % Zinsen nachschüssig in n Jahren tilgen.

Wie groß ist die Restschuld zu Beginn des vorletzten Jahres, wenn sie als Laufzeit n=5 Jahre und n=7 Jahre wählen?

(5)

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, BB BB-WMT-S11 – 080628

Korrekturrichtlinie zur Studienleistung Wirtschaftsmathematik am 28.06.2008

Betriebswirtschaft BB-WMT-S11 – 080628

Für die Bewertung und Abgabe der Studienleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungs- weg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Bitte legen Sie Ihrer Bewertung das folgende Bewertungsschema zugrunde:

Punktzahl

von bis einschl. Ergebnis

50 100 bestanden

0 49,5 nicht bestanden

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 16. Juli 2008

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist un- bedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040 / 35094-311 bzw.

birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(6)

Korrekturrichtlinie, Studienleistung 06/08, Wirtschaftsmathematik, BB HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 1/7

Bitte beachten Sie:

Die jeweils im Lösungstext angeführten Punkte ( ) geben an, für welche Antwort die einzelnen Teilpunkte für die Auf- gabe zu vergeben sind.

Lösung 1

vgl. SB 1, Abschn. 1.4.5

15 Punkte

1 3 3x− x+ =

x x+3 =1−3

− ¹

2 2 (1 3 ) )

3

(− x+ = − x 1

9 2

6 1

3 x x

x+ = − + 1

0 2 7

9x²− x− = 1

9 0 2 9

2−7x− =

x 1

Anwendung der p-q-Formel (Formelsammlung 7.4):

p q

x p  −



 



± 

−

=

2 2

,

1 2 2 1

18 11 18

7 324 121 18

7 324

72 324

49 18

7 9 2 18

7 18

7 ²

2 ,

1  + = ± + = ± = ±



 



± 

=

x 3

1=1 x ,

9

2 =−2

x 2

Probe:

Für 1x₁= folgt 3⋅1− 1+3 =3−2=1 (wahr). 1

Für 9

2 =−2

x folgt 1

3 7 9 25 3 3 2 9 ) 2 9 ( 2

3⋅ − − − + =− − =− ≠ (Widerspruch). 2

Also gibt es nur die eine Lösung x₁ =1. 1

(7)

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 2/7

Lösung 2

vgl. SB 1, Abschn. 1.4.7

8 Punkte

14 1 5

5625 , 4 0

3 ⁻ ₋

=



 



 x x

Gleichung logarithmieren zur Basis 10:

14 1 5

5625 , 0 4 lg

lg 3 ⁻ = ⁻



 



 ^x _x ⇒

(

⁵^x⁻¹⁴

)

^⋅^lg⁰^,⁷⁵⁼

(

^x⁻¹

)

^⋅^lg⁰^,⁵⁶²⁵ ²

Ausmultiplizieren, sortieren, ausklammern und nach x auflösen:

5625 , 0 lg 5625 , 0 lg 75 , 0 lg 14 75 , 0 lg

5x⋅ − ⋅ =x⋅ − 1

5625 , 0 lg 75 , 0 lg 14 5625 , 0 lg 75 , 0 lg

5x⋅ −x⋅ = ⋅ − 1

5625 , 0 lg 75 , 0 lg 14 ) 5625 , 0 lg 75 , 0 lg 5

( ⋅ − = ⋅ −

⋅

x 1

5625 4 , 0 lg 75 , 0 lg 5

5625 , 0 lg 75 , 0 lg

14 =

−

⋅

−

= ⋅

x 2

Somit ist ^L⁼

{ }

⁴ ^. ¹

Lösung 3

vgl. SB 4, Abschn. 3.3

20 Punkte

Gleichung des Brückenträgers:

Allgemeine Gleichung einer Parabel (quadratische Gleichung) nach Formelsammlung 7.4:

c bx ax x

f( )= ²+ + . 1

Gemäß der Festlegung zu den Koordinatenachsen folgt:

30 ) 0 ( =

f (1) ⇒ c=30 (1) 2

0 ) 100

( =

f (1) ⇒ a⋅100²+b⋅100+30=0 (1) (I) 2

0 ) 100

(− =

f (1) ⇒ a⋅100² −b⋅100+30=0 (1) (II) 2

Subtraktion der beiden Gleichungen (I) und (II) liefert:

0 100

2⋅b⋅ = (2) ⇒ b=0 (1) 3

Einsetzen von b=0 in (I) oder (II) liefert 0

30 100²+ =

⋅

a 2

000 . 1

3 000

. 10

30 =−

= −

a 1

Damit lautet die Gleichung der Parabel 000 30

. 1 ) 3

(x =− x²+

f 1

(8)

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 3/7

Schnittpunkte von Fahrbahn und Brückenträger:

Es sind die x-Werte zu ermitteln, für die f(x)=10 (Höhe der Fahrbahn) gilt.

000 30 . 1

10=− 3 x²+ 1

000 . 30 3

000 .

10 =− x² + 1

000 . 20

3x²= 1

3 000 .

2 =20

x 1

65 , 3 81

000 .

1= 20 ≈

x 1

65 , 3 81

000 .

2 =− 20 ≈−

x 1

Lösung 4

7 Punkte

x y= 1+x

ln zur Basis e potenzieren und nach x auflösen x x

y =1+x ⋅

e 3

x x

x⋅e^y =1+ − 1

1 e − =

⋅ x

x ^y 1

1 ) 1 e

( ^y − =

x 1

1 e

1

= _y −

x 1

Lösung 5

13 Punkte

5.1 Formel für Kapitalwert, vgl. Formelsammlung, Abschnitt 8.2:

1 100 mit

0q p

q K

K_n = ⁿ = + . 1

Formel für unterjährigen Kapitalwert, vgl. Formelsammlung, Abschnitt 8.4 (k Anzahl der unterjährigen Zinsperioden und m Anzahl der gleichlangen Zinsperioden pro Jahr):

1 100 mit

0q = + ⋅

= m

q p K

K_k ^k . 1

(9)

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 4/7

Kapitalwert übliche Verzinsung für 5 Jahre:

5

5 100

1 4 00 , 500 .

6 



 



 +

⋅

=

K . 1

Kapitalwert unterjährige Verzinsung 5 Jahre, m=3 (1) und k=15 (1): 2

15

15 3 100

1 4 00 , 500 .

6 



 



 + ⋅

⋅

=

K . 1

Berechnung zusätzlicher Kapitalwert:

39 , 100 20

1 4 300

1 4 00 , 500 . 6

5 15

=











 



 



 +

−



 



 +

⋅ €. 2

5.2 Kapitalwert unterjährige Verzinsung 5 Jahre, m=12 (1) und k=60 (1): 2

60

60 12 100

1 4 00 , 500 .

6 



 



 + ⋅

⋅

=

K . 1

Berechnung zusätzlicher Kapitalwert:

23 , 100 28

1 4 1200

1 4 00 , 500 . 6

5 60

=











 



 



 +

−



 



 +

⋅ €. 2

Lösung 6

vgl. SB 2, Abschn. 1.3/2.2 und SB 3, Abschn. 1.1

22 Punkte

6.1 2001 – 2005:

Rentenendwert für nachschüssige Einzahlungen von 5.000,00 € über 5 Jahre:

1 1

−

⋅ −

= q

r q R

n

n (Formelsammlung 9.1). 1

Mit r=5.000,00 €, n=5 und q=1,07 folgt 70 , 753 . 07 28

, 0

1 07 , 00 1 , 000 .

5 ⁵

5= ⋅ − =

R €. 2

Verzinsung des erhaltenen Rentenendwertes bis einschließlich 2020 (15 Jahre):

n K qn

K = ₀⋅ (Formelsammlung 8.2). 1

Mit 70K₀ =28.753, €, n=15 und q=1,07 folgt 36

, 332 . 79 07 , 1 70 , 753 .

28 ¹⁵

15= ⋅ =

K €. 2

(10)

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 5/7

2005 – 2010:

Rentenendwert für nachschüssige Einzahlungen von 10.000,00 € über 5 Jahre:

1 1

−

⋅ −

= q

r q

R_n ⁿ .

Mit 00r=10.000, €, n=5 und q=1,07 folgt 39 , 507 . 07 57

, 0

1 07 , 00 1 , 000 .

10 ⁵

5= ⋅ − =

R € 2

n K qn

K = 0⋅ .

Mit 39K₀ =57.507, €, n=10 und q=1,07 folgt 74

, 125 . 113 07

, 1 39 , 507 .

57 ¹⁰

10= ⋅ =

K €. 2

2011 – 2015:

Rentenendwert für nachschüssige Einzahlung von 20.000,00 € über 5 Jahre:

1 1

−

⋅ −

= q

r q R

n

n .

Mit 00r=20.000, €, n=5 und q=1,07 folgt 78 , 014 . 07 115

, 0

1 07 , 00 1 , 000 .

20 ⁵

5= ⋅ − =

R € 2

n K qn

K = ₀⋅ .

Mit 78K₀ =115.014, €, n=5 und q=1,07 folgt 18

, 314 . 161 07 , 1 78 , 014 .

115 ⁵

10= ⋅ =

K €. 2

Für den Auszahlungsbetrag folgt

28 , 772 . 353 18 , 314 . 161 74 , 125 . 113 36 , 332 .

5 79

10

15+ + = + + =

=K K K

K €. 2

6.2 Barwert der Verzinsung (bezogen auf das Jahr 2015):

qn

K₀ = K (Formelsammlung 8.2) 1

Mit 28K=353.772, €, n=5 und q=1,07 folgt 75

, 234 . 07 252

, 1

28 , 772 . 353

0 = 5 =

K €. 2

(11)

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 6/7

Der Barwert entspricht dem Rentenendwert einer nachschüssigen Renten mit Einzahlungen in den Jahren 2001 – 2015.

Für die Rentenrate folgt nach Formelsammlung 9.1:

1 ) 1 (

−

= ⁿ_n − q

q

r R . 1

Mit 75R₁₅=K₀ =252.234, €, n=15 und q=1,07 folgt 59

, 037 . 1 10

07 , 1

07 , 0 75 , 234 . 252

15 =

−

= ⋅

r €. 2

Hinweis:

Bei Verwendung von K=300.000,00€ ergibt sich eine Rate von r=8.511,90 €. Die Punkte sind entsprechend zu verteilen.

Lösung 7

8 Punkte

Da gleich große Tilgungsraten vereinbart sind, handelt es sich um eine Ratentilgung. 1 Für die Zinsen in der j-ten Periode einer Ratentilgung gilt (Formelsammlung 10.1):

[

^S ^j ^T

]

ⁱ

Z_j = ₀ −( −1) ⋅ . 1

Umstellen nach der Tilgungsrate T ergibt:

i j

Z i

T S ^j

⋅

−

= ⋅

) 1 (

0 . 1

Mit 00S₀ =900.000, € , j=11 , Z₁₁=30.000,00€ und 0,1 100=

= p

i (p=10%) folgt 00

, 000 . 1 60

, 0 ) 1 11 (

00 , 000 . 30 1 , 0 00 , 000 .

900 =

⋅

−

= ⋅

T €. 2

Für die Tilgungsrate gilt (Formelsammlung 10.1) n

T= S⁰ . 1

Umstellen nach n und Einsetzen ergibt 00 15

, 000 . 60

00 , 000 .

0 =900 =

= T

n S Jahre. 2

(12)

BB-WMT-S11 – 080628 Seite 7/7

Lösung 8

7 Punkte

Da gleichbleibende Annuitäten vereinbart sind, handelt es sich um eine Annuitätentilgung. 1 Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität, vgl. Formelsammlung 10.2:

−1

= ⁿ_n− ^j

j q

q Sq

S 1

Für die Bestimmung der Restschuld im vorletzten Jahr ist j=n−2 zu setzen. 1 Laufzeit 5n= :

04 , 762 . 1 21 06 , 1

06 , 1 06 , 0001 .

50 5

3 5

3 =

−

= −

S € 2

Laufzeit 7n= :

24 , 421 . 1 16 06 , 1

06 , 1 06 , 0001 .

50 7

5 7

5 =

−

= −

S € 2