SYNTAX und SEMANTIK

(1)

Teil I: Formale Grundlagen der Informatik I

Endliche Automaten und formale Sprachen

Teil II: Formale Grundlagen der Informatik II Logik in der Informatik

Martin Ziegler

Professor f¨ur Angewandte Logik

TU Darmstadt, Fachbereich Mathematik

Sommer 2011

(Folien wesentlich basierend auf Prof. M Otto)

Inhalt

1. Aussagenlogik Syntax und Semantik der AL Grundlegende semantische Begriffe AL und Boolesche Funktionen AL Kompaktheitssatz

AL Resolution AL Sequenzenkalk¨ul 2. Logik erster Stufe

(Pr¨adikatenlogik)

Strukturen und Belegungen Syntax und Semantik von FO Kompaktheitssatz

Resolution Sequenzenkalk¨ul Unentscheidbarkeit 3. (optionale Themen) Algorithmische Fragen

Analyse der Ausdrucksst¨arke Logiken f¨ur spez. Anwendungen

FGdI II Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 2/155

Logik und Logik in der Informatik

• formalisierte Aussagen

¨

uber Eigenschaften von Systemen

→ Spezifikation

• systematisches Nachpr¨ufen von Eigenschaften von Systemen

→ Verifikation, model checking

• logische Beziehungen & Kriterien – Folgerungen

– ¨Aquivalenzen

– Erf¨ullbarkeit/Allgemeing¨ultigkeit

SYNTAX und SEMANTIK

• formalisierte Eigenschaften von Elementen in Strukturen

→ z.B. DB Abfragen

• systematische Auswertung

→ z.B. Abfrageauswertung

• logische Beziehungen & Kriterien – Implikation (→)/Subsumption (⊆)

– ¨Aquivalenzen (z.B. zur Abfrageoptimierung) – Leerheitstest

SYNTAX und SEMANTIK

(2)

• systematisches logisches Schließen;

Deduktion, formales Beweisen

→ Wissensrepr¨asentation, KI

→ automatisches/interaktives Beweisen, . . .

SYNTAX und SEMANTIK

historisch: Grundlagen der Mathematik

formales Beweisen und seine Rechtfertigung von Grundlagenfragen der Mathematik zu:

Fragen der Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit (Church, Turing) Kernfragen der theoretischen Informatik (vorweggenommen) seither: immer neue praktische Anwendungen in der Informatik

Literatur

Burris: Logic for Mathematics and Computer Science Prentice-Hall 1998.

Ben-Ari: Mathematical Logic for Computer Science Springer 1993.

Ebbinghaus, Flum, Thomas:

Einf¨uhrung in die mathematische Logik Spektrum 1998.

Sch¨oning: Logik f¨ur Informatiker Spektrum 2000.

Teil 1: AL AL

Teil 1: Aussagenlogik, AL

Gegenstandsbereich:

Verkn¨upfungen elementarer Aussagen mittels Boolescher logischer Verkn¨upfungen

Boolesche Verkn¨upfungen (Junktoren): ¬,∧,∨,→, . . . Wesentlich:

• strukturierte Formalisierung komplexerer Eigenschaften

• modulare Semantik

• kombinatorisch-algebraischer Charakter der Logik (Boole)

• korrekte und vollst¨andige Beweiskalk¨ule

Teil 1: AL AL

George Boole (1815–1864)

Algebraisierung/Mathematisierung der Logik z.B. The Mathematical Analysis of Logic,

Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning 1847

An Investigation of the Laws of Thought, 1854

(3)

Teil 1: AL Syntax & Semantik AL 1

AL Syntax Definition 1.1

Symbole: 0,1;p,q,r, . . . ,p₁,p₂, . . .;¬,∧,∨, . . .; (,) AL(V), die Menge der AL-Formeln ¨uberV

zu geg.AL-VariablenmengeV, induktiv erzeugt:

atomare Formeln: 0, 1,p in AL(V) (wobeip∈ V).

Negation: f¨urϕ∈AL(V) ist auch¬ϕ∈AL(V).

Konjunktion: f¨urϕ, ψ ∈AL(V) ist auch (ϕ∧ψ)∈AL(V).

Disjunktion: f¨urϕ, ψ ∈AL(V) ist auch (ϕ∨ψ)∈AL(V).

Ubung: Kontextfreie Grammatik (f¨¨ urAL(Vn))

AL Syntax

evtl. weitere Junktoren, offiziell hier nur als Abk¨urzungen:

z.B. (ϕ→ψ) := (¬ϕ∨ψ),

(ϕ↔ψ) := (¬ϕ∧ ¬ψ)∨(ϕ∧ψ) .

statt allg.AL(V) oft auch f¨ur standardisierte Variablenmengen:

AL := AL(V), V ={pi:i >1} ALn := AL(Vn), Vn ={pi: 16i 6n}

AL Semantik Definition 1.4

Interpretationen

von BelegungenderAL-Variablen

zu Wahrheitswertenf¨urAL-Formeln: Wahrheitswerte inB={0,1} V-Interpretation (Belegung): I:V −→ B

p 7−→ I(p)

I interpretiertp als

“wahr” wennI(p) = 1,

“falsch” wennI(p) = 0.

zur Definition der Semantik von Formeln ϕ∈AL(V)

¨

uber geg. V-Interpretation I:

definiere Wahrheitswertfunktion Î:AL(V) −→ B ϕ 7−→ ϕÎ induktiv über den Aufbau der Formelnϕ

als Fortsetzung der Variablen-Belegung

AL Semantik: Wahrheitswerte Wahrheitswerte f¨ur Formelnϕ∈AL(V) bzgl. einer geg.V-Interpretatation I Funktion ϕ7−→ϕ^I induktiv:

atomare Formeln: 0Î:= 0; 1Î:= 1;pÎ:=I(p).

Negation: (¬ϕ)^I:= 1−ϕ^I.

Konjunktion: (ϕ∧ψ)Î:=min(ϕÎ, ψÎ).

Disjunktion: (ϕ∨ψ)Î:=max(ϕÎ, ψÎ).

(4)

AL Semantik: Modellbeziehung aus Funktion ϕ7−→ϕ^I definiere:

Ierf¨ullt ϕ gdw. ϕ^I= 1 Schreibweise: I|=ϕ.

Sprechweisen: I erf¨ullt ϕ,

I ist Modell vonϕ, ϕist wahr unter I.

F¨ur Formelmengen Φ⊆AL(V) entsprechend:

I|= Φ gdw.I|=ϕf¨ur alleϕ∈Φ.

AL Semantik: Wahrheitstafeln

f¨urϕ∈AL_n schreiben wir auchϕ=ϕ(p₁, . . . ,p_n) f¨ur (b₁, . . . ,b_n)∈Bⁿ sei

ϕ[b₁, . . . ,b_n] :=

ϕ^I f¨ur Interpretation I mit (I(p_i) =b_i)_i=1,...,n der Wahrheitswert vonϕauf (b₁, . . . ,b_n).

Wahrheitstafel:

Wertetabelle der Funktion

Bⁿ −→ B

(b₁, . . . ,b_n) 7−→ ϕ[b₁, . . . ,b_n] Diese Information bestimmt die Semantik vonϕvollst¨andig!

AL Semantik: Wahrheitstafeln

Semantik der Junktoren anhand ihrer Wahrheitstafeln:

p ¬p

0 1

1 0

p q p∧q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

p q p∨q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p q p →q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p q p↔q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Teil 1: AL Semantik AL 2

grundlegende semantische Begriffe _→ Abschnitt 2.1 Folgerung, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit

(1) Folgerungsbeziehungϕ |=ψ f¨urϕ, ψ ∈AL(V):

ψfolgt ausϕ, wenn f¨urjede V-Interpretation Igilt:

aus I|=ϕ folgt I|=ψ.

Entsprechend Φ|=ψf¨ur Formelmengen Φ (2) Allgemeing¨ultigkeit |=ϕ

ϕ∈AL(V) allgemeing¨ultig, wenn f¨ur alleV-InterpretationenIgilt:

I|=ϕ.

Beispiele

ϕ|=ϕ∨ψ, ϕ|= (ϕ∧ψ)∨(ϕ∧ ¬ψ), |=ϕ∨ ¬ϕ

(5)

(3) Logische ¨Aquivalenzϕ ≡ψ

ϕ, ψ ∈AL(V) heißen logisch ¨aquivalent (Schreibweise: ϕ≡ψ) wenn f¨ur alleV-InterpretationenI gilt:

I|=ϕgdw.I|=ψ d.h. identische Wahrheitstafeln!

Es gilt:

ϕ≡ψ gdw. ϕ|=ψ und ψ|=ϕ gdw. |=ϕ↔ψ Beispiele: ¬¬p ≡p, p∨0≡p, p∧0≡0, . . . p∨q ≡q∨p, (p∨q)∨r≡p∨(q∨r), . . .

(p∨q)≡ ¬(¬p∧ ¬q), (p∧q)≡ ¬(¬p∨ ¬q)

p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r), p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)

Erf¨ullbarkeit

ϕ∈AL(V) erf¨ullbar,

wenn es mindestens eineV-Interpretation Igibt mitI|=ϕ.

analog f¨ur Formelmengen Φ⊆AL:

Φ erf¨ullbar, wennI|= Φ f¨ur mindestens einI.

wichtig:

ϕ erf¨ullbar gdw. ¬ϕ nicht allgemeing¨ultig

Erf¨ullbarkeit

Zentrale Rolle der Erf¨ullbarkeit (SAT):

• |=ϕ gdw. ¬ϕnichterf¨ullbar.

• ϕ|=ψ gdw. ϕ∧ ¬ψnicht erf¨ullbar.

• Φ|=ψ gdw. Φ∪ {¬ψ} nichterf¨ullbar.

• ϕ≡ψ gdw. wederϕ∧ ¬ψ noch ¬ϕ∧ψ erf¨ullbar.

AL Erf¨ullbarkeitsproblem (SAT(AL)) entscheidbar:

SAT(AL) ={ϕ∈AL: ϕ erf¨ullbar} entscheidbar – wie?

– mit welchem Aufwand? (Komplexit¨at)

– wie sieht ein Zertifikat aus f¨ur Un-/Erf¨ullbarkeit? (P vs. N P)

Teil 1: AL Boolesche Funktionen AL 3

AL und Boolesche Funktionen _→ Abschnitt 3 Bn: die Menge aller n-stelligen Booleschen Funktionen

f :Bⁿ −→ B

(b₁, . . . ,b_n) 7−→ f(b₁, . . . ,b_n) speziell f¨ur ϕ∈AL_n:

f_ϕ :Bⁿ −→ B

(b₁, . . . ,b_n) 7−→ ϕ[b₁, . . . ,b_n]

∈ Bn

beachte: f_ϕ =f_ψ gdw. ϕ≡ψ also: ALn

≡ −→ Bn

[ϕ]_≡ 7−→ f_ϕ

injektiv!

Fragen:

• wievielen-stellige Boolesche Funktionen gibt es?;|Bn|=?

• ist jedesf ∈ Bn durchAL-Formel ϕ∈ALn darstellbar?

(6)

Disjunktive und konjunktive Normalformen, DNF, KNF Nomenklatur: p bzw.¬p (f¨urp ∈ V) heißen Literale

Disjunktionen von Konjunktionen von Literalen: DNF-Formeln Konjunktionen von Disjunktionen von Literalen: KNF-Formeln

“große” Konjunktion/Disjunktion (Schreibweisen):

f¨ur endliche Formelmenge Φ ={ϕ₁, . . . , ϕ_n}: VΦ :=Vn

i=1ϕ_i = ϕ₁∧. . .∧ϕ_n WΦ :=Wn

i=1ϕ_i = ϕ₁∨. . .∨ϕ_n

Konvention: auch leere Disjunktionen/Konjunktionen zul¨assig mit der Interpretation: W

∅ ≡0 (!) V∅ ≡1 (!)

Funktionale Vollst¨andigkeit

Funktionale Vollst¨andigkeit vonALn f¨ur Bⁿ:

zu jedemf ∈ Bn existiert DNF-Formelϕ∈AL_n mitf =f_ϕ. (⇒ bijektive Korrespondenz zw. Bn und AL_n

≡) Beweis:

betrachte ϕf :=_

ϕb:f(b) = 1 woϕ_b=^

{p_i:b_i = 1} ∧^

{¬p_i:b_i = 0} Korollar: Satz ¨uber DNF und KNF

zuϕ∈AL_n existieren stets:

(DNF-Formelϕ₁ ∈AL_n mitϕ₁ ≡ϕ, KNF-Formelϕ2 ∈ALn mitϕ2≡ϕ.

Dualit¨at Konjunktion/Disjunktion _→ Abschnitt 3.2 n¨utzliche Umformungen/Rechenregeln

¬(ϕ1∧ϕ2)≡ ¬ϕ1∨ ¬ϕ2 verallgemeinert sich zu ¬ V Φ

≡W Φ^¬ wobei Φ^¬ :=

¬ϕ:ϕ∈Φ

¬(ϕ₁∨ϕ₂)≡ ¬ϕ₁∧ ¬ϕ₂ verallgemeinert sich zu ¬ W Φ

≡V Φ^¬

f¨ur KNF←→^¬ DNF:

¬

^k i=1

_Ci

| {z } KNF

≡ _k i=1

^C_i^¬

| {z } DNF⁽^∗⁾ C₁, . . . ,C_k (endl.) Mengen von Literalen

∗ Doppelnegationen in denC_i^¬ eliminieren

Beispiel f¨ur exponentiellen “blow-up”

ϕm =ϕm(p1, . . . ,p2m) := Vm

i=1¬(p2i−1 ↔p2i) ∈AL2m

• ϕ_m hat genau 2^m erf¨ullende Interpretationen in B^2m

• KNF von L¨ange∼m (linear inm):

ϕm ≡Vm

i=1 (p_2i₋₁∨p_2i)∧(¬p_2i₋₁∨ ¬p_2i)

• DNF in L¨ange∼2m2^m (exponentiell inm):

ϕ_m ≡W

ϕ_b:b∈B^2m, ϕ_m[b] = 1

• keine k¨urzere DNF:

keine k¨urzeren Disjunktionsglieder!

keine redundanten Disjunktionsglieder!