SYNTAX und SEMANTIK

(1)

Teil I: Formale Grundlagen der Informatik I

Endliche Automaten und formale Sprachen

Teil II: Formale Grundlagen der Informatik II Logik in der Informatik

Martin Otto

Professor f¨ur Mathematische Logik und Grundlagen der Informatik TUD, Fachbereich Mathematik

Sommer 2010

Inhalt

1. Aussagenlogik Syntax und Semantik der AL Grundlegende semantische Begriffe AL und Boolesche Funktionen AL Kompaktheitssatz

AL Resolution AL Sequenzenkalk¨ul 2. Logik erster Stufe

(Pr¨adikatenlogik)

Strukturen und Belegungen Syntax und Semantik von FO Kompaktheitssatz

Resolution Sequenzenkalk¨ul Unentscheidbarkeit 3. (optionale Themen) Algorithmische Fragen

Analyse der Ausdrucksst¨arke Logiken f¨ur spez. Anwendungen

FGdI II Sommer 2010 M Otto 2/150

Logik und Logik in der Informatik

• formalisierte Aussagen

¨

uber Eigenschaften von Systemen

→ Spezifikation

• systematisches Nachpr¨ufen von Eigenschaften von Systemen

→ Verifikation, model checking

• logische Beziehungen & Kriterien – Folgerungen

– ¨Aquivalenzen

– Erf¨ullbarkeit/Allgemeing¨ultigkeit

SYNTAX und SEMANTIK

• formalisierte Eigenschaften von Elementen in Strukturen

→ z.B. DB Abfragen

• systematische Auswertung

→ z.B. Abfrageauswertung

• logische Beziehungen & Kriterien – Implikation (→)/Subsumption (⊆)

– ¨Aquivalenzen (z.B. zur Abfrageoptimierung) – Leerheitstest

SYNTAX und SEMANTIK

(2)

• systematisches logisches Schließen;

Deduktion, formales Beweisen

→ Wissensrepr¨asentation, KI

→ automatisches/interaktives Beweisen, . . .

SYNTAX und SEMANTIK

historisch: Grundlagen der Mathematik

formales Beweisen und seine Rechtfertigung von Grundlagenfragen der Mathematik zu:

Fragen der Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit (Church, Turing) Kernfragen der theoretischen Informatik (vorweggenommen) seither: immer neue praktische Anwendungen in der Informatik

Literatur

Burris: Logic for Mathematics and Computer Science Prentice-Hall 1998.

Ben-Ari: Mathematical Logic for Computer Science Springer 1993.

Ebbinghaus, Flum, Thomas:

Einf¨uhrung in die mathematische Logik Spektrum 1998.

Sch¨oning: Logik f¨ur Informatiker Spektrum 2000.

Teil 1: AL AL

Teil 1: Aussagenlogik, AL

Gegenstandsbereich:

Verkn¨upfungen elementarer Aussagen mittels Boolescher logischer Verkn¨upfungen

Boolesche Verkn¨upfungen (Junktoren): ¬,∧,∨,→, . . . Wesentlich:

• strukturierte Formalisierung komplexerer Eigenschaften

• modulare Semantik

• kombinatorisch-algebraischer Charakter der Logik (Boole)

• korrekte und vollst¨andige Beweiskalk¨ule

Teil 1: AL AL

George Boole (1815–1864)

Algebraisierung/Mathematisierung der Logik z.B. The Mathematical Analysis of Logic,

Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning 1847

An Investigation of the Laws of Thought, 1854

(3)

Teil 1: AL Syntax & Semantik AL 1

AL Syntax Definition 1.1

Symbole: 0,1;p,q,r, . . . ,p₁,p₂, . . .;¬,∧,∨, . . .; (,) AL(V), die Menge der AL-Formeln ¨uberV

zu geg.AL-VariablenmengeV, induktiv erzeugt:

atomare Formeln: 0, 1,p in AL(V) (wobeip∈ V).

Negation: f¨urϕ∈AL(V) ist auch¬ϕ∈AL(V).

Konjunktion: f¨urϕ, ψ ∈AL(V) ist auch (ϕ∧ψ)∈AL(V).

Disjunktion: f¨urϕ, ψ ∈AL(V) ist auch (ϕ∨ψ)∈AL(V).

Ubung: Kontextfreie Grammatik (f¨¨ urAL(V_n))

AL Syntax

evtl. weitere Junktoren, offiziell hier nur als Abk¨urzungen:

z.B. (ϕ→ψ) := (¬ϕ∨ψ),

(ϕ↔ψ) := (¬ϕ∧ ¬ψ)∨(ϕ∧ψ) .

statt allg.AL(V) oft auch f¨ur standardisierte Variablenmengen:

AL := AL(V), V ={p_i:i >1}

AL_n := AL(V_n), V_n ={p_i: 16i 6n}

AL Semantik Definition 1.4

Interpretationen

von BelegungenderAL-Variablen

zu Wahrheitswertenf¨urAL-Formeln: Wahrheitswerte inB={0,1}

V-Interpretation (Belegung): I:V −→ B p 7−→ I(p)

I interpretiertp als

“wahr” wennI(p) = 1,

“falsch” wennI(p) = 0.

zur Definition der Semantik von Formeln ϕ∈AL(V)

¨

uber geg. V-Interpretation I:

definiere Wahrheitswertfunktion Î:AL(V) −→ B ϕ 7−→ ϕÎ induktiv über den Aufbau der Formelnϕ

als Fortsetzung der Variablen-Belegung

AL Semantik: Wahrheitswerte Wahrheitswerte f¨ur Formelnϕ∈AL(V) bzgl. einer geg.V-Interpretatation I Funktion ϕ7−→ϕ^I induktiv:

atomare Formeln: 0Î:= 0; 1Î:= 1; pÎ:=I(p).

Negation: (¬ϕ)^I := 1−ϕ^I.

Konjunktion: (ϕ∧ψ)Î:=min(ϕÎ, ψÎ).

Disjunktion: (ϕ∨ψ)Î:=max(ϕÎ, ψÎ).

(4)

AL Semantik: Modellbeziehung aus Funktion ϕ7−→ϕ^I definiere:

Ierf¨ullt ϕ gdw. ϕ^I= 1 Schreibweise: I|=ϕ.

Sprechweisen: I erf¨ullt ϕ,

I ist Modell vonϕ, ϕist wahr unter I.

F¨ur Formelmengen Φ⊆AL(V) entsprechend:

I|= Φ gdw.I|=ϕf¨ur alleϕ∈Φ.

AL Semantik: Wahrheitstafeln

f¨urϕ∈AL_n schreiben wir auchϕ=ϕ(p₁, . . . ,p_n) f¨ur (b₁, . . . ,b_n)∈Bⁿ sei

ϕ[b₁, . . . ,b_n] :=

ϕ^I f¨ur Interpretation I mit (I(p_i) =b_i)_i=1,...,n der Wahrheitswert vonϕauf (b₁, . . . ,b_n).

Wahrheitstafel:

Wertetabelle der Funktion

Bⁿ −→ B

(b₁, . . . ,b_n) 7−→ ϕ[b₁, . . . ,b_n] Diese Information bestimmt die Semantik vonϕvollst¨andig!

AL Semantik: Wahrheitstafeln

Semantik der Junktoren anhand ihrer Wahrheitstafeln:

p ¬p

0 1

1 0

p q p∧q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

p q p∨q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p q p →q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p q p↔q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Teil 1: AL Semantik AL 2

grundlegende semantische Begriffe → Abschnitt 2.1 Folgerung, Äquivalenz, Allgemeingültigkeit, Erfüllbarkeit

(1) Folgerungsbeziehungϕ |=ψ f¨urϕ, ψ ∈AL(V):

ψfolgt ausϕ, wenn f¨uralleV-InterpretationenIgilt:

I|=ϕ ⇒ I|=ψ.

Entsprechend Φ|=ψf¨ur Formelmengen Φ (2) Allgemeing¨ultigkeit |=ϕ

ϕ∈AL(V) allgemeing¨ultig, wenn f¨ur alleV-InterpretationenIgilt:

I|=ϕ.

Beispiele

ϕ|=ϕ∨ψ, ϕ|= (ϕ∧ψ)∨(ϕ∧ ¬ψ), |=ϕ∨ ¬ϕ

(5)

(3) Logische Äquivalenzϕ ≡ψ ϕ, ψ ∈AL(V) logisch äquivalent, wenn für alleV-InterpretationenI gilt:

I|=ϕgdw.I|=ψ.

d.h.: identische Wahrheitstafeln!

Schreibweise: ϕ≡ψ

s¨amtlich ¨aquivalent:







ϕ≡ψ

|=ϕ↔ψ

ϕ|=ψ und ψ|=ϕ

Beispiele: logische ¨Aquivalenzen = Identit¨aten in BA

¬¬p ≡p, p∨0≡p, p∧0≡0, . . . p∨q≡q∨p, (p∨q)∨r ≡p∨(q∨r), . . . (p∨q)≡ ¬(¬p∧ ¬q), (p∧q)≡ ¬(¬p∨ ¬q)

p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r), p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)

Erf¨ullbarkeit

ϕ∈AL(V)erf¨ullbar,

wenn es mindestens eineV-Interpretation I gibtmitI|=ϕ.

analog f¨ur Formelmengen Φ⊆AL:

Φ erf¨ullbar, wennI|= Φ f¨ur mindestens einI.

wichtig:

ϕ erf¨ullbar gdw. ¬ϕ nicht allgemeing¨ultig

Erf¨ullbarkeit

Zentrale Rolle der Erf¨ullbarkeit (SAT):

• |=ϕ gdw. ¬ϕnichterf¨ullbar.

• ϕ|=ψ gdw. ϕ∧ ¬ψ nichterf¨ullbar.

• Φ|=ψ gdw. Φ∪ {¬ψ}nichterf¨ullbar.

• ϕ≡ψ gdw. wederϕ∧ ¬ψnoch¬ϕ∧ψerf¨ullbar.

AL Erf¨ullbarkeitsproblem (SAT(AL)) entscheidbar:

SAT(AL) ={ϕ ∈AL: ϕ erf¨ullbar }entscheidbar – wie?

– mit welchem Aufwand? (Komplexit¨at)

(6)

Teil 1: AL Boolesche Funktionen AL 3

AL und Boolesche Funktionen → Abschnitt 3 B_n: die Menge aller n-stelligen Booleschen Funktionen

f :Bⁿ −→ B

(b₁, . . . ,b_n) 7−→ f(b₁, . . . ,b_n) speziell f¨urϕ∈AL_n:

f_ϕ :Bⁿ −→ B

(b₁, . . . ,b_n) 7−→ ϕ[b₁, . . . ,b_n]

∈ B_n

beachte: f_ϕ=f_ψ gdw. ϕ≡ψ also: AL_n

≡ −→ B_n [ϕ]_≡ 7−→ f_ϕ

injektiv!

Fragen:

• wieviele n-stellige Boolesche Funktionen gibt es?;|B_n|=?

• ist jedesf ∈ B_n durchAL-Formelϕ∈AL_n darstellbar?

Disjunktive und konjunktive Normalformen, DNF, KNF Nomenklatur: p bzw. ¬p (f¨ur p∈ V) heißenLiterale

Disjunktionen von Konjunktionen von Literalen: DNF-Formeln Konjunktionen von Disjunktionen von Literalen: KNF-Formeln

“große” Konjunktion/Disjunktion (Schreibweisen):

f¨ur endliche Formelmenge Φ ={ϕ₁, . . . , ϕ_n}:

VΦ :=Vn

i=1ϕ_i = ϕ₁∧. . .∧ϕ_n WΦ :=Wn

i=1ϕ_i = ϕ₁∨. . .∨ϕ_n

Konvention: auch leereDisjunktionen/Konjunktionen zul¨assig mit der Interpretation: W

∅ ≡0 (!) V∅ ≡1 (!)

Funktionale Vollst¨andigkeit

Funktionale Vollst¨andigkeit von AL_n f¨ur B_n:

zu jedem f ∈ B_n existiert DNF-Formel ϕ∈AL_n mitf =f_ϕ. (⇒ bijektive Korrespondenz zw.B_n undAL_n

≡) Beweis:

betrachte ϕ_f :=_

ϕ_b:f(b) = 1 woϕ_b=^

{p_i:b_i = 1} ∧^

{¬p_i:b_i = 0}

Korollar: Satz ¨uber DNF und KNF

zu ϕ∈AL_n existieren stets:

(DNF-Formelϕ₁ ∈AL_n mitϕ₁≡ϕ, KNF-Formel ϕ₂∈AL_n mitϕ₂ ≡ϕ.

Dualit¨at Kunjunktion/Disjunktion → Abschnitt 3.2 n¨utzliche Umformungen/Rechenregeln

¬(ϕ₁∧ϕ₂)≡ ¬ϕ₁∨ ¬ϕ₂ verallgemeinert sich zu ¬ V Φ

≡W Φ^¬ wobei Φ^¬:=

¬ϕ:ϕ∈Φ

¬(ϕ₁∨ϕ₂)≡ ¬ϕ₁∧ ¬ϕ₂ verallgemeinert sich zu ¬ W Φ

≡V Φ^¬

f¨urKNF ←→DNF:

¬

k

^

i=1

_C_i

| {z } KNF

≡

k

_

i=1

^C_i^¬

| {z } DNF(^∗)

C₁, . . . ,C_k (endl.) Mengen von Literalen

∗Doppelnegationen in denC_i^¬ eliminieren

(7)

Beispiel f¨ur exponentiellen “blow-up”

ϕ_m =ϕ_m(p₁, . . . ,p_2m) := Vm

i=1¬(p_2i−1 ↔p_2i) ∈AL_2m

• ϕ_m hat genau 2^m erf¨ullende Interpretationen inB^2m

• KNF von L¨ange ∼m(linear in m):

ϕ_m≡V_m

i=1 (p_2i₋₁∨p_2i)∧(¬p_2i−1∨ ¬p_2i)

• DNF in L¨ange∼2m2^m (exponentiell in m):

ϕ_m≡W

ϕ_b:b∈B^2m, ϕ_m[b] = 1

• keine k¨urzere DNF:

keine k¨urzeren Disjunktionsglieder!

keine redundanten Disjunktionsglieder!

Vollst¨andige Systeme von Junktoren → Abschnitt 3.3 F¨urn >1 ist jede Funktion inB_n darstellbar durchAL_n-Formel, die nur die Junktoren ¬und∧(nur¬ und∨) benutzt.

Begr.: Eliminiere∨ oder∧mit

ϕ₁∨ϕ₂≡ ¬(¬ϕ₁∧ ¬ϕ₂) ϕ₁∧ϕ₂≡ ¬(¬ϕ₁∨ ¬ϕ₂) Systeme von Junktoren (Booleschen Funktionen)

mit dieser Eigenschaft heißenvollst¨andig.

weitere Beispiele vollst¨andiger Systeme:

• | mit der Definitionp|q :=¬(p∧q) (NAND) benutze z.B.: ¬p ≡p |p;p∧q ≡ ¬(p |q)≡(p|q)

(p |q).

• →zusammen mit 0

benutze z.B.: ¬p ≡p →0;p∨q ≡ ¬p→q≡(p→0)→q.

nicht vollst¨andig sind z.B.

∧,∨ (Monotonie);

{→} (0∈ B_n nicht darstellbar).

Teil 1: AL Kompakatheit AL 4

Kompaktheitssatz (Endlichkeitssatz) (Satz 4.1) Erf¨ullbarkeit von unendlichen Formelmengen

h¨angt nur von je endlich vielen ab, i.d.S.d.

f¨ur alle Φ⊆AL gilt:

Φ erf¨ullbar ⇔ jedes endlicheΦ₀ ⊆ Φ erf¨ullbar ^(∗)

f¨ur alle Φ⊆AL, ψ∈AL gilt:

Φ |= ψ ⇔ Φ₀ |= ψ f¨ur ein endliches Φ₀ ⊆Φ ^(∗∗)

Konsequenz:

Unerfüllbarkeit einer unendlichen Formelmenge lässt sich durch ein endliches Zertifikat nachweisen. (Warum?) Bemerkung: Aussagen (∗) und (∗∗) sind äquivalent.

Kompaktheitssatz: Beweis → Abschnitt 4 f¨ur Φ⊆AL(V),V ={p_i:i >1}

Sei jedes endliche Φ₀⊆Φ erf¨ullbar.

Konstruiere induktivI₀,I₁,I₂, . . .so, dass f¨ur jedesn:

•I_n eineV_n-Interpretation ist.

•I_n+1 vertr¨aglich ist mitI_n: I_n+1(p_i) =I_n(p_i) f¨ur 16i 6n.

•alle endlichen Φ₀⊆Φ erf¨ullbar sind durchI, die mit I_n vertr¨aglich sind.

Dann istI|= Φ f¨ur die Interpretation

I:V −→ B p_n 7−→ I_n(p_n) Frage: Wie kommt man vonI_n zu I_n+1?

(8)

Kompaktheitssatz: Konsequenzen

vgl. auch Skript u. Aufgaben

Lemma von K¨onig (Lemma 4.4)

Ein endlich verzweigter Baum mit unendlich vielen Knoten

muss einen unendlichen Pfad haben. beachte Voraussetzung!

k-F¨arbbarkeit

Ein Graph ist genau dann k-f¨arbbar, wenn jeder endliche Teilgraphk-f¨arbbar ist.

Domino-Parkettierungen

Ein endliches Domino-System erlaubt genau dann eine Parkettierung der Ebene, wenn sich beliebig große endliche Quadrate parkettieren lassen.

Domino-Parkettierung

ein interessantes, algorithmisch unentscheidbares Problem Zu gegebener Menge von Kacheln mit gef¨arbten R¨andern:

Kann man damit beliebig große Quadrate kacheln?

Beispiel: •¹

•••, •²

•••, •³

•••, •⁴

•••, •⁵

••• −→

•2

••• 5

•

••• 2

•

••• 5

•

•••

•3

••• 1

•

••• 3

•

••• 1

•

•••

•2

••• ⁵

•

••• ²

•

••• ⁵

•

•••

•3

••• •¹

••• •³

••• •¹

••• Mit AL-Kompaktheit l¨asst sich zeigen:

Ein endlicher Kachel-Satz erlaubt genau dann eine Parkettierung der unendlichenN×N-Ebene (oder auch der Z×Z-Ebene), wenn sich beliebig große endliche Quadrate parkettieren lassen. (wie?)

Lemma von K¨onig aus AL-Kompaktheit Betrachte T = (V,E, λ) Baum mit

– Wurzel λ und abz¨ahlbar unendlicher KnotenmengeV, – endlich verzweigter KantenrelationE:

E[u] ={v ∈V: (u,v)∈E} endlich f.a. u∈V. – Pfaden λ→Ê . . . →Ê u jeder endlichen Länge,

da sonst V endlich.

Lemma von K¨onig aus AL-Kompaktheit Kodierung inAL(V) mit V :={p_u:u ∈V}:

ϕ_u :=p_u →W

{p_v:v ∈E[u]}

“wennugew¨ahlt wird,

dann auch mindestens ein direkter Nachfolger vonu”

F¨ur Φ :={p_λ} ∪ {ϕ_u:u∈V} gilt:

• jedes endliche Φ₀ ⊆Φ ist erf¨ullbar, also auch Φ insgesamt.

• wennI|= Φ, so existiert ein unendlicher Pfad λ=u₀ →Ê u₁→Ê u₂ →Ê . . . mitI(u_i) = 1.

Bem.: mitϕ⁰_u :=p_u → “. . . genau ein direkter Nachfolger vonu”

beschreibt jedes I|= Φ⁰ exakt einenunendlichen Pfad.

(9)

Teil 1: AL Kalk¨ule

Logikkalk¨ule: Deduktion und Refutation

Logikkalk¨ule: rein syntaktische Formate f¨ur formale Beweise.

Formale Beweise: syntaktische Zeichenketten,

nach einfach nachpr¨ufbaren syntaktischen Regeln aufgebaut (Regelsystem: Kalk¨ul).

Ableitung: Erzeugung von (regelkonformen) formalen Beweisen.

Korrektheit nur semantisch korrekte Sachverhalte sind formal beweisbar (ableitbar).

Vollst¨andigkeit jeder semantisch korrekte Sachverhalt ist formal beweisbar (ableitbar).

Resolution: ein Widerlegungskalkül für die Unerfüllbarkeitvon KNF-Formeln.

Sequenzenkalkül: ein Deduktionskalkül für

Allgemeing¨ultigkeit beliebigerAL-Formeln.

Teil 1: AL AL Resolution

KNF in Klauselform → Abschnitt 5.1 KNF: Konjunktionen von Disjunktionen von Literalen.

Notation: Lfür Literal;Lfür komplementäres Literal;L≡ ¬L.

Klausel: endliche Menge von Literalen C ={L₁, . . . ,L_k} steht f¨urW

C ≡L₁∨. . .∨L_k 2steht f¨ur die leere Klausel.

Erinnerung: 2≡W∅ ≡0.

Klauselmenge: Menge von Klauseln

K ={C₁, . . . ,C_`} steht f¨urV

K ≡C₁∧. . .∧C_` Erinnerung: V∅ ≡1.

endliche Klauselmengen ≈ KNF-Formeln Resolutionskalk¨ul arbeitet mit KNF in Klauselform

Ableitungsziel: Nachweis der Unerf¨ullbarkeit einer geg. Klausel- menge durch Ableitung der leeren Klausel2

Resolution → Abschnitt 5.2

Beispiele: L,L∈C ⇒ C ≡1 allgemeing¨ultig.

C ≡1 ⇒ K ≡K \ {C}.

2∈K ⇒ K ≡0 (unerf¨ullbar).

Resolventen und Resolutionslemma L∈C₁,L∈C₂ ⇒ {C₁,C₂} ≡ {C₁,C₂,C}

wobeiC = (C₁\ {L})∪(C₂\ {L})

| {z } Resolvente

Resolution

diagrammatisch:

C₁={. . . ,L}

%%K

KK KK KK

K C₂ ={. . . ,L}

yyssssssss

C = (C₁\ {L})∪(C₂\ {L})

{p,¬q,r}

##F

FF FF FF

FF {p,q,s,t}

{{wwwwwwwww

{p,r,s,t}

(10)

Resolutionslemma (Lemma 5.5)

SeienC₁,C₂ ∈K,C Resolvente von C₁ und C₂. Dann istK ≡K ∪ {C}. [alsoK |=C] Res(K) und Res^∗(K)

Res(K) :=K ∪ {C: C Resolvente von Klauseln in K }.

KlauselC heißt (im Resolutionskalk¨ul)ableitbaraus K, gdw.

C ∈Res· · ·Res

| {z }

n-mal

(K) f¨ur einn∈N.

Res^∗(K): die Menge aller aus K ableitbaren Klauseln.

Korrektheit / Vollst¨andigkeit

Korrektheit: 2∈Res^∗(K) ⇒ K ≡0 (unerf¨ullbar). [R-Lemma]

Vollst¨andigkeit: K unerf¨ullbar ⇒ 2∈Res^∗(K).

Resolutionskalkül: Vollständigkeit → Abschnitt 5.3 z.z.: K über V_n ={p₁, . . . ,p_n}unerfüllbar ⇒ 2∈Res^∗(K).

Beweis durch Induktion ¨uber n.

Induktionsschritt von n nach n + 1

Aus K ={C₁, . . . ,C_k} überV_n+1 gewinne K₀ und K₁ überV_n: K₀ ≡K∪ {{¬p_n+1}} K₁ ≡K∪ {{p_n+1}} (wie?) K unerfüllbar ⇒ K₀ und K₁ unerfüllbar

⇒ 2∈Res^∗(K₀) und2∈Res^∗(K₁).

Dann ist2∈Res^∗(K) oder







{p_n+1} ∈Res^∗(K) und

{¬p_n+1} ∈Res^∗(K) und demnach jedenfalls2∈Res^∗(K).

Resolutionsalgorithmus

breadth-first-search, Breitensuche

Eingabe: K [Klauselmenge, endlich]

R :=K

WHILE Res(R)6=R and26∈R

DOR :=Res(R) OD IF2∈R THEN output “unerf¨ullbar”

ELSE output “erf¨ullbar”

Beweis im Resolutionskak¨ul Ableitungsbaum f¨ur2:

– Knoten mit Klauseln beschriftet –2 an der Wurzel

– Resolventen an bin¨aren Verzweigungen – Klauseln ausK an den Bl¨attern

Hornklauseln → Abschnitt 5.4

•interessanter Spezialfall f¨ur KI Anwendungen,

•AL-HORN-SAT-Problem effizient entscheidbar

•logische Programmierung (Prolog: FOHorn-Formeln) Hornklausel:

Klausel mith¨ochstens einem positivenLiteral z.B.C ={¬q₁, . . . ,¬q_r,q} ≡ q₁∧. . .∧q_r

→q;

auch2ist Hornklausel.

Spezialf¨alle: C besteht nur aus positivem Literal: positiv.

C ohne positive Literale: negativ.

Beobachtungen:

Mengen von negativen Hornklauseln trivial erf¨ullbar (p_i 7→0).

Mengen von nicht-negativen Hornklauseln besitzen eindeutige minimaleerf¨ullende Interpretationen.

(11)

Hornklauseln

Effizienter Horn-Erf¨ullbarkeitstest: Grundidee

H Hornklauselmenge; H⁻⊆H negative Klauseln in H H₀:=H\H⁻ nicht negative Klauseln 1. Schritt: Berechne minimale InterpretationI₀ |=H₀. 2. Schritt: Pr¨ufe, obI₀|=H⁻.

Korrektheit

I₀ |=H⁻ ⇒ I₀ |=H.

I|=H ⇒ I|=H₀, also I₀ 6I.

I|=H⁻ ⇒ I₀ |=H⁻ (und I₀|=H).

Teil 1: AL Sequenzenkalk¨ul AL 6

Sequenzenkalk¨ul allgemeiner Beweiskalk¨ul Sequenzen

Γ`∆ Γ,∆⊆AL, endlich auch: Γ; ∆ oder Γ,∆

Γ,∆ als ungeordnete Listen . . . Γ`∆ allgemeing¨ultiggdw. V

Γ|=W

∆

wichtig: links Konjunktion (der Voraussetzungen) rechts Disjunktion (m¨oglicher Konsequenzen) Bsp.: ϕ`ψallgemeing¨ultig gdw.ϕ|=ψ.

∅ `ψ allgemeing¨ultig gdw.ψ allgemeing¨ultig.

ϕ` ∅allgemeing¨ultig gdw.ϕunerf¨ullbar.

Sequenzenkalk¨ul

Regeln zur Erzeugung aller allgemeing¨ultigen Sequenzen.

AL Sequenzenkalk¨ul → Abschnitt 6.2 Erzeugung allgemeing¨ultiger Sequenzen durch Sequenzenregeln Sequenzenregeln

neue Sequenzen aus bereits abgeleiteten Sequenzen Format: Pr¨amissen

Konklusion Beispiele:

Γ, ϕ`∆, ϕ oder Γ `∆, ϕ Γ,¬ϕ `∆ Korrektheit

des Kalk¨uls: jede ableitbare Sequenz ist allgemeing¨ultig.

einer Regel: sind die Pr¨amissen allgemeing¨ultig, so auch die Konklusion.

AL Sequenzenkalk¨ul SK

(Ax) Γ, ϕ`∆, ϕ (0-Ax)

Γ,0`∆ (1-Ax)

Γ`∆,1 (¬L) Γ`∆, ϕ

Γ,¬ϕ`∆ (¬R) Γ, ϕ`∆

Γ`∆,¬ϕ (∨L) Γ, ϕ`∆ Γ, ψ`∆

Γ, ϕ∨ψ`∆ (∨R) Γ`∆, ϕ, ψ Γ`∆, ϕ∨ψ (∧L) Γ, ϕ, ψ`∆

Γ, ϕ∧ψ`∆ (∧R) Γ`∆, ϕ Γ`∆, ψ Γ`∆, ϕ∧ψ Korrektheit nachpr¨ufen!

sogar r¨uckw¨arts (ohne Informationsverlust!)