ZV X1

Mathematik für Pharmazeuten W. Nagel

WS 2015/16

Lösungen zu den Übungsaufgaben, 8. Serie

Wie bei allen Serien sind dies nur Stichworte und Hinweise zu den Lösungen.

Es sind keine Muster für komplette Lösungen!

1. ZV X₁, ..., X₁₀₀, wobeiX_i = 1, fallsi-te Rosine im ausgewählten Stück, sonst X_i = 0.

Annahme: X₁, ..., X₁₀₀ unabhängig und P(X_i = 1) = 1−P(X_i = 0) = 0,05.

ZV X =P100

i=1X_i ... Anzahl der Rosinen im ausgewählten Stück.

Nach Vorlesung X ∼ B_n,p mit n = 100, p= 0,05.

P(X = 5) = n

5

p⁵(1−p)ⁿ⁻⁵ ≈0,18.

2. Analog zur ’Rosinenaufgabe’.n = 100, p= 0,95.

3. ZV X₁, ..., X₁₀, wobei X_i = 1, fallsi-te Aufgabe richtig gelöst, sonst X_i = 0.

Annahme: X1, ..., X10 unabhängig undP(Xi = 1) = 1−P(Xi = 0) = ¹₃. ZV X =P10

i=1Xi ... Anzahl der richtig gelösten Aufgaben.

Nach Vorlesung X ∼ B_n,p mit n = 10, p= ¹₃.

P(X ≥3) = 1−P(X ≤2) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)−P(X= 2) =. . .

4. (a) P(X ∈ A^c und X ∈ B^c) = P(X ∈ A^c∩B^c) = P(X ∈ (A∪B)^c) = 1−P(X ∈ A∪B) = 1/4.

P(X ∈ A und X ∈ B) = P(X ∈ A ∩B) = P(X ∈ A) +P(X ∈ B)−P(X ∈ A∪B) = 1/12.

P(X ∈C^c) = 1−P(X ∈C) = 1/2.

Nebenrechnung: A= (A∩B)∪(A∩B^c) und (A∩B)∩(A∩B^c) =∅.

DamitP(X ∈A) =P(X ∈A∩B) +P(X ∈A∩B^c).

P(X ∈A und X ∈B^c) = P(X ∈A∩B^c) =P(X ∈A)−P(X ∈A∩B) = 1/4.

(b) P(X ∈A∩B) = 1/12>0 und deshalbA∩B 6=∅.

P(X ∈ A∪B) +P(X ∈ C) = 5/4 > 1 und deshalb (A ∪B)∩C 6= ∅. Folglich A∩C 6=∅oder B∩C 6=∅.

5. Annahme: (X₁, X₂)gleichverteilt auf {1, ...,6}². (a) ZV S =X₁+X₂, W_S ={2, ...,12}.

VG vonS: Für k ∈W_S:

P(S =k) =P((X₁, X₂)∈ {(a₁, a₂)∈ {1, ...,6}² :a₁ +a₂ =k}).

Daraus folgt: P(S = k) = (k −1)/36 für k = 2, ...,7 und P(S = k) = (13−k)/36 für k = 8, ...,12.

(b) ZV M = max{X₁, X₂}, W_M ={1, ...,6}.

VG vonM: Für k ∈W_M:

P(M =k) =P((X₁, X₂)∈ {(a₁, a₂)∈ {1, ...,6}² : max{a₁, a₂}=k}).

Daraus folgt: P(M =k) = (2k−1)/36für k∈W_M.