Wirtschaftsmathematik Seminar 10 1
Wirtschaftsmathematik Seminar 10: Rentenrechnung
Wiederholung:
Voraussetzungen:
• n konstante Raten der Höhe R, nŒN
• konstante Verzinsung
• Ratenperiode = Zinsperiode
Endwert bei einfacher Verzinsung:
2 ) 1 1
( n i
nR
Kn = + − )
2 1 1
( n i
nR
Kn′ = + + Endwert bei Verzinsung mit Zinseszinsen:
=
− >
−
=
. 0 falls
, 0 falls 1
1
i Rn
q i Rq K
n
n
=
− >
−
′ =
. 0 falls
, 0 falls 1
1
i Rn
q i Rqq K
n
n
S10
Raten einer nach- schüssigen Rente
0
n Zinsperioden
Zinszu- schlags- termine
Verzinsung 1 2 n-1 n
R R R R
Verzinsung Verzinsung 3 Verzinsung
Zeit n Rentenperioden
R
R R R R R Raten einer vor- schüssigen Rente
Mit Strich
Wirtschaftsmathematik Seminar 10 2
Aufgaben:
1. Alfons spart sein Taschengeld von 10 €, indem er es jeweils am Monatsanfang auf ein Konto einzahlt, das mit 4,2% p.a. einfach verzinst wird. Welchen Kontostand erreicht er nach einem Jahr?
Wie viel weniger hätte Alfons bei Einzahlung am Monatsende?
2. Beginnend am 31.12.2006 wird jährlich ein Betrag R auf einem
Konto (i = 7% p.a., jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen) angelegt, insgesamt werden 6 Raten eingezahlt.
a) Welchen Kontostand weist das Konto am 31.12.2016 auf, wenn bis dahin keine weiteren Ein- oder Auszahlungen stattfinden?
b) Welchen Einmalbetrag hätte man äquivalent zu dieser Rente am 31.12.2001 zu gleichen Konditionen anlegen müssen?
3. Huber und Moser vergleichen ihre finanziellen Zukunftsaussichten.
Huber ist Beamter, er hat noch 35 Dienst- und (geschätzt) 15
Ruhestandsjahre vor sich. Moser ist hingegen Angestellter, auch er plant noch 35 Berufs- plus 15 Rentnerjahre ein.
Moser verdient jährlich 2.500 € mehr als Huber, muss jedoch (im Ggs.
zu Huber) Beiträge in die GRV (Gesetzliche Rentenversicherung) abführen, jährlich 4.200 €.
Die Höhe der Altersrente bzw. Pension ist bei beiden gleich, nur muss der Beamte Huber jährlich 7.000 € Steuern auf seine Pension zahlen, Mosers Altersrente ist hingegen steuerfrei.
Alle Zahlungen mögen (vereinfachend) jeweils am Jahresende erfol- gen, wir rechnen mit jährlicher geometrischer Verzinsung zu i = 6%
p.a. Wer von beiden steht sich finanziell besser und um wie viel?
Wirtschaftsmathematik Seminar 10 3
4. Erbgroßtante Amanda will ihr Vermögen schon zu Lebzeiten an ihren Neffen Alfons verschenken und verspricht, ihm am 1.1.2007, 2009 und 2013 jeweils 100.000 € zu übertragen. Alfons liebt jedoch keine sprunghaften Verhältnisse und möchte stattdessen lieber eine
jährliche Rente mit 30 Raten, Zahlungsbeginn am 1.1.2006. Tante Amanda willigt ein.
a) Welche Jahresraten erhält Alfons bei i = 5% p.a. mit Zinseszinsen?
b) Nach 12 gezahlten Raten möchte Alfons am Tag der 13. Ratenzah- lung lieber den Wert der restlichen Raten ausgezahlt bekommen.
Wie viel wäre das?
c) Alfons möchte doch lieber Jahresraten von 20.000 €. Wie viel Jahre kann er die erhalten?
5. Sieglinde Sauerbier zahlt – seit dem 1.1.2003 – 22 Jahre lang je 9.000 € ein, um anschließend 25 Jahre lang eine Rente beziehen zu können (i = 7,5% p.a. mit Zinseszinsen, Beginn 1 Jahr nach letzter Einzahlung).
a) Welche jährliche Rentenrate ergibt sich bei jährlicher Verzinsung?
b) Welche jährliche Rentenrate ergäbe sich bei monatlichen
Einzahlungen von 750 € und monatlicher Verzinsung zum linear proportionalen Zinssatz?
c) Wandeln Sie die Rente aus b) in äquivalente monatliche Zahlungen um (Beginn 1 Monat nach letzter Einzahlung)!
Welche vorschüssige Monatsrate ergibt sich?
