1 a)
Flu: = Z
A(r)nda
Betrahte dieWurfelahe jj zur y-z-Ebene:
n=e
x
; A(r)=r ; An=A
x
=x= L
2
Der Beitrag zu ist damit
Z
da L
2
= L
2 (L)
2
= 1
2 L
3
Die 5 anderen Wurfelahen lieferndenselben Beitrag, alsoist
=3L 3
=3Volumen
b)
Koordinaten auf der Kugeloberahe, Radius R:
r= 0
B
B
Rsin()os(')
Rsin()sin(')
Ros () 1
C
C
A
; n= r
r
= 0
B
B
sin()os(')
sin()sin(')
os () 1
C
C
A
; da=R 2
sin()dd'
Flu: A(r)=r, aufder Oberahe: A(r) =R n,
= Z
F
R (nn)da=R Z
F da
| {z }
4R 2
=4R 3
=3 4
3 R
3
=3Volumen
wie bei dem Wurfel. Das Ergebnis ist von der Form der geshlossenen Oberahe unabhangig,
siehe d).
)
Alles wie inb), aber0 <=2(Halbkugel) und
A(r)= 0
B
B
2x
2yz
z 2
1
C
C
A
Kugelob.
= 0
B
B
2Rn
x
2R 2
n
y n
z
R 2
n 2
z 1
C
C
A
; n = 0
B
B
n
x
n
y
n
z 1
C
C
A
damit wird der Flu
=
Z
da[2R (n
x )
2
+2R 2
(n
y )
2
n
z R
2
(n
z )
3
℄ ; da=R 2
sin()dd'
= R Z
da[2sin 2
()os 2
(')+2Ros ()fsin 2
()sin 2
(') 1
os 2
()g℄
Erstmal die'-Integrale ausfuhren:
Z
da=R 2
Z
=2
0
d sin() Z
2
0
d' ;
Z
2
0
d' os 2
(')= ; Z
2
0
d' sin 2
(')= ; Z
2
0
d' =2
Mit sin 2
()=1 os 2
() ergibt sih jetzt
= 2R
3 Z
=2
0
d sin()[1 os 2
()+R fos () 2os 3
()g℄
= 2R 3
Z
1
0
dx[1 x 2
+R (x 2x 3
)℄ ; x=os () ; dx= sin()d
) =
4
3 R
3
Zum Vergleihkonnen wir noh den Flu durhdie untere Halbkugelausrehnen:
e
= 2R
3 Z
=2
d sin()[1 os 2
()+R fos () 2os 3
()g℄
= 2R 3
Z
0
1
dx[1 x 2
+R (x 2x 3
)℄ ; x=os () ; dx= sin()d
= 4
3 R
3
Der Flu durhdieVollkugel ergibt sih also, der Vollstandigkeithalber:
tot
=+ e
=2 4
3 R
3
=2Volumen
Oenbar ist der Flu
z
durh die Kreissheibe bei z = 0 mit Radius R gleih
z
= 0. In der
Tat,denn der Normalenvektor ist jetzt n = (0;0;1) und A = (2x;0;0), alsonA =0 und damit
z
=0.
d)
Gau:
Z
V
A(r)da= Z
V
(rA(r))d 3
r
Fura) und b) gilt:A=r, alsorA=3,also =3 Z
V d
3
r=3Volumen. Diesunabhangig von
der Form der Oberahe bzw. Volumen!
Fur ) erhalt man auh eine konstante Divergenz, rA = 2, und somit fur den Flu durh die
Halbkugel inklusive Kreissheibe bei z = 0: =2Volumen = 2( 1
2 4
3 R
3
) = 4
3 R
3
. Allerdings
war nah der oenen Halbkugel gefragt, und dafur ist Gau niht anwendbar! Gau giltnur fur
geshlossene Oberahen! Man mualsoextra
z
=0 zeigen,um Gau verwenden zu konnen.
2
Gaushes Gesetz (ohne ' nah dem ): Folgt durh Anwendung des Gaushen Satzes auf
die Maxwell-Gleihung,
rE(r)= 1
"
(r) )
Z
V
E(r)da= 1
"
q ; q = Z
V
(r)d 3
r
a)
Symmetrie: E(r)=E(r)e
r
;e
r
= r
r
=radialerEinheitsvektor. Bei gegebenem r ist
V =Kugel mitRadius r ; V =Oberahe dieser Kugelmit n=e
r
Also:
Z
V
E(r)da=E(r) Z
V
da=E(r)4r 2
Die in V enthaltene Ladung hangt von r ab:
r >R: q=Gesamtladungder Kugel,q =Q, alsoist E(r)= Q
4"
0 1
r 2
Diesentspriht dem Ergebnisfureine Punktladung
und giltfur jedekugelsymmetrishe Ladungsdihte, furr auerhalb der Ladung.
r <R: q=Ladung im Volumen mitRadius r, also
q= Z
r 0
r (r
0
)d 3
r 0
=
0 4
3 r
3
;
0
= Q
V
= 3Q
4R 3
,
also istq =Q(r=R ) 3
,und damit E(r)= Q
4"
0 r
R 3
b)
SelbeTaktik und Symmetriewie a),E(r) =E(r)e
r ,
r<R
<
: E(r)=0
R
<
<r<R
>
: E(r)= q
4"
0 1
r 2
R
>
<r : E(r)=
q+( q)
4"
0 1
r 2
=0
)
Symmetrie: E(r) =E(x)e
x
und E( x) = E(x). Betrahte Ausshnitt der y-z-Ebene mit
Flahe A. Bei gegebenem x ist dann das Volumen, durh das der Flu berehnet werden mu,
gegeben durh einePlatte mitAusdehnung A undStarke 2jxj, dieinx-Rihtung symmetrishist
(eine Skizze wurde hier helfen). Zum Flu tragen nur die beiden Flahen A bei, da Ejje
x , und
beide Flahen A liefern den gleihenBeitrag, wegen E( x)= E(x):
Z
V
E(r)nda=2jE(x)j Z
A
da=2jE(x)jA= 1
"
0
Die eingeshlossene Ladung q hangt von jxj ab:
jxj>L : q=Q=A(2L)
0
; 2jE(x)jA=
0
"
0
A2L ; E(x)=
0 L
"
0
sgn(x)
jxj<L : q=A(2jxj)
0
; 2jE(x)jA=
0
"
A2jxj ; E(x)=
0
"
x
d)
Ameinfahstenistwohl: Raten undmitdem NablainKugelkoordinaten
uberprufen. Da das
E-Feldnureine radialeKomponentehatund auhnurvonrabhangt,wirddas Potentialnurvon
r abhangen(auhintuitivklar),(r)=(r).Dier-KomponentedesNablalautet(ausnemBuh)
r
r
=
r
, alsomugelten
E(r)=
r (r)
Dies wird gelostdurh
(r)= 8
>
>
>
<
>
>
>
:
r>R : Q
4"
0 1
r +K
>
r<R :
Q
4"
0 r
2
2R 3
+K
<
Die Integrationskonstanten K
>
; K
<
bestimmtmanso,da (r)
uberall stetigist,unddas (r !
1)=0.Letzteres isteine reine Konvention fur den Energienullpunkt.Also:
(r !1)=0 ) K
>
=0 ;
(r =R ) =stetig )
Q
4"
0 1
R
= Q
4"
0 1
2R +K
<
) K
<
= Q
4"
0 3
2R
Also lautet das Potential:
(r)= 8
>
>
>
<
>
>
>
:
r>R : Q
4"
0 1
r
r<R : Q
4"
0 1
R [
3
2 1
2 r
2
R 2
℄
Die obere Zeile entspriht naturlih (wie beimE-Feld) der Punktladung.
3 a)
Symmetrie:
E(r)=E(x)e
x
) rE=
x
E(x) ) Maxwell:
x
E(x)= 1
"
0 (x)
x>L : (x)=0 ) E(x)=onst:=E
0
0x<L : (x)=
0
)
x
E(x)=
0
"
0
) E(x)=
0
"
0 x+E
1
Randbedingungen:
E(L )=E(L
+
) ) E
0
=
0
"
L+E
1
Und: SymmetrieE( x)= E(x) verlangt E(0) =0, wasdurh E
1
=0 eingebaut wird. Alsoist
E(x)= 8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
x>L :
0
"
0 L
0x<L :
0
"
0 x
b)
Das E-Feld ist nur dann eine Losung der Maxwell-Gleihung, wenn auh die Rotation ver-
shwindet:
rE(r)= 0
B
B
x
y
z 1
C
C
A
0
B
B
E(x)
0
0 1
C
C
A
=0 ) O.K.
4
Zylinderkoordinaten:
x 0
=r 0
os(' 0
) ; y 0
=r 0
sin(' 0
) ; z 0
=z 0
; d 3
r 0
=r 0
dr 0
d' 0
dz 0
Furr auf der z-Ahse ist der Abstand von r und r 0
gegeben durh
jr r 0
j= q
(x 0
) 2
+(y 0
) 2
+(z z 0
) 2
= q
(r 0
) 2
[sin 2
(' 0
)+os 2
(' 0
)℄+(z z 0
) 2
= q
(z z 0
) 2
+(r 0
) 2
und das Potentiallautet
(r;';z)=(z) = 1
4"
0 Z
1
0 r
0
dr 0
Z
2
0 d'
0 Z
1
1 dz
0
0 Æ(z
0
)Æ(r 0
R )
q
(z z 0
) 2
+(r 0
) 2
=
0
2"
0 R
p
z 2
+R 2
