Aufgabe 1. Sei F eine QBF. Wandeln Sie F in eine ¨ aquivalente QBF F

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Strukturelle Komplexit¨ atstheorie WS 2020/21

Ubungsblatt 10 ¨

Aufgabe 1. Sei F eine QBF. Wandeln Sie F in eine ¨ aquivalente QBF F

um, die keine Quantoren mehr enth¨ alt. Wie groß ist |F

| im Vergleich zu |F |?

L¨ osung. Wir verwenden Induktion, um F

zu definieren.

• Im Fall, dass F = 0, F = 1 oder F = x

, ist F = F

.

• Im Fall, dass F = (¬G), ist F

= (¬G

).

• Im Fall, dass F = (G ∧ H ), ist F = (G

∧ H

).

• Im Fall, dass F = (G ∨ H ), ist F = (G

∨ H

).

• Im Fall, dass F = ∀x

G, ist F

= (G

[x

/0] ∧ G

[x

/1]).

• Im Fall, dass F = ∃x

G, ist F

= (G

[x

/0] ∨ G

[x

/1]).

Die Gr¨ oße von F

liegt in O(2

). F¨ ur jeden Quantor wird die Gr¨ oße un- gef¨ ahr verdoppelt. Exponentielle Gr¨ oße wird zum Beispiel bei der Familie von Formeln F

= ∀x

· · · ∀x

(x

∧ · · · ∧ x

) erreicht.

Aufgabe 2. Das japanische Spiel Go-Moku wird auf einem 19x19 großen Spielbrett gespielt. Die Spieler platzieren abwechselnd Marker O bzw. X . Der Spieler, der als erstes f¨ unf Marker nebeneinander in einer Zeile, Spalte oder Diagonale hat, gewinnt.

Wir verallgemeinern dieses Spiel nun auf ein n × n großes Spielbrett f¨ ur n ∈ N . Wir schreiben im Folgenden n f¨ ur die Menge {0, . . . , n − 1}. Eine Konfiguration eines Spiels f¨ ur ein n × n großes Spielbrett besteht aus einer Abbildung von n × n auf {O , X , ⊥}, wobei ⊥ daf¨ ur steht, dass das Feld nicht besetzt ist, und aus einem Bit aus {1, 2}, das sagt, welcher Spieler gerade dran ist. Die Menge aller Konfigurationen bezeichnen wir mit C , also

C = [

n∈N

(n

→ {O , X , ⊥}) × {1, 2}.

Sei C

die Menge aller Konfigurationen dieses Spiels, in der Spieler 1 gerade dran ist, und Spieler 1 eine Gewinnstrategie hat. Das heißt, dass Spieler 1 immer die M¨ oglichkeit hat, zu gewinnen, egal welche Z¨ uge Spieler 2 macht.

Zeigen Sie, dass C

in PSPACE liegt.

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L¨ osung. Zun¨ achst sei v

: (n

→ {O , X , ⊥}) → {0, 1} f¨ ur n ∈ N die Funkti- on, welche uns sagt, ob Spieler 1 (aber nicht Spieler 2) in einer Konfiguration gewonnen hat. Diese l¨ asst sich leicht in polynomiellem Platz implementieren.

Sei n ∈ N und f : n

→ {O , X , ⊥}. Wir f¨ uhren die Notation f [d /(x , y)] mit d ∈ {O , X } f¨ ur das Platzieren von d auf einem freien Feld (x , y) ∈ n

ein.

Wir implementieren dann die Funktion

c

: (n

→ {O , X , ⊥}) × {1, 2} → {0, 1},

welche uns sagt, ob Spieler 1 eine Gewinnstrategie auf einer Konfiguration hat. Im Fall, dass Spieler 1 an der Reihe ist, sei

c

(f , 1) = v

(f ) ∨ _

(x,y)∈n²,f(x,y)=⊥

c

(f [O /(x , y)], 2)

F¨ ur den Fall, dass Spieler 2 an der Reihe ist, sei c

(f , 2) = v

(f ) ∨ ^

(x,y)∈n²,f(x,y)=⊥

c

(f [X /(x , y)], 1).

Die Rekursionstiefe der c

-Aufrufe l¨ asst sich mit n

absch¨ atzen. Jeder rekursi- ve Aufruf ben¨ otigt n

viel Speicher, weshalb der gesamte Speicherbedarf sich durch n

absch¨ atzen l¨ asst. Ein Element (f , t ) ∈ C , wobei f : n

→ {O , X , ⊥}, liegt genau dann in C

, wenn t = 1 und c

(f , 1) = 1.

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